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    例談利用對稱法解題的三種技巧

    2017-06-05 14:52:05湖南省衡陽幼兒師范學(xué)校421008
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:換元對稱性中點

    湖南省衡陽幼兒師范學(xué)校(421008)

    丁白英●

    ?

    例談利用對稱法解題的三種技巧

    湖南省衡陽幼兒師范學(xué)校(421008)

    丁白英●

    對稱法是一種富有創(chuàng)造性的思維活動, 本文通過舉例的方法,介紹了在數(shù)學(xué)解題中恰當利用對稱的思想對三角、代數(shù)或幾何問題在內(nèi)部進行靈活轉(zhuǎn)化,會收到意想不到的效果.該方法打破了常規(guī)的數(shù)學(xué)解題思路,通過觀察、聯(lián)想,使復(fù)雜的問題簡單化,對學(xué)生解答數(shù)學(xué)難題,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有幫助.

    對稱法;換元;結(jié)構(gòu);證明

    一、利用對稱法對題設(shè)部分實施均值換元

    例2 求函數(shù)Z=xy(x>0,y>0)滿足條件x+y=1的最大值.

    二、利用對稱法對結(jié)論部分實施均值換元

    分析 直接證明無從下手,觀察變量a,b,c可知:它們在條件及要證明的結(jié)論式中具有對稱性.

    二、利用對稱法實施添補所求式的對稱式

    有些數(shù)學(xué)問題,表面上看不具有對稱性,但用對稱的眼光去觀察、審視,通過形、式添補造成對稱,可得到巧妙解法.

    例5 設(shè)a,b(a>b)是方程x2+x-1=0的兩實根,

    求a4-3b的值.

    例6 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

    解 設(shè)x=sin10°sin30°sin50°sin70°,y=cos10°cos30°cos50°cos70°,

    三、利用對稱法實施對稱坐標法

    有些數(shù)學(xué)問題,若能洞察到問題所具有的對稱性,根據(jù)有關(guān)點的對稱性進行對稱坐標法可以簡化運算,特別是對一些解析幾何的問題會收到意想不到的效果.

    求過點A(2,1)的弦P1P2的中點P的軌跡方程.

    例8 直線l與圓相切,切點M恰為直線l交雙曲線(x-1)2-y2=1所得弦AB的中點,求直線l的方程.

    解 設(shè)M(x,y),A(x-m,y-n),B(x+m,y+n).

    總之,用對稱性解題的關(guān)鍵是敏銳地抓住事物在某一方面的對稱性,這些對稱性往往就是通往答案的捷徑,利用對稱法分析解決數(shù)學(xué)問題,可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo),直接抓住問題的實質(zhì),出奇制勝,快速簡便地求解問題.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0036-02

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