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    巧用二項式定理證明不等式

    2017-06-05 14:52:04貴州省盤縣十二中553539
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:世雄盤縣二項式

    貴州省盤縣十二中(553539)

    阮世雄●

    ?

    巧用二項式定理證明不等式

    貴州省盤縣十二中(553539)

    阮世雄●

    二項式定理是高中數(shù)學(xué)中很重要的一部分內(nèi)容,它的應(yīng)用范圍非常廣泛,用法非常靈活.證明與n(n∈N)次方有關(guān)的不等式是其重要用途之一,這里略舉幾例供大家參考.

    證明 應(yīng)用二項式定理(注意這里n≥2),結(jié)合放縮法有

    反思 先利用二項式定理把乘方式展開,再恰當(dāng)使用放縮法,是解決這類問題的常用思路.

    例2 已知n∈N,n≥2,求證3n>(n+2)·2n-1.

    分析 本題不如上題的結(jié)構(gòu)明朗,似乎與二項式定理的形式有很大的出入.我們可以把3n進(jìn)行變形構(gòu)造出定理的形式,注意到不等式右邊含有2n-1,因此可以考慮把3n變形為3n=(2+1)n.

    證明 在條件n∈N,n≥2下:

    即有3n>(n+2)·2n-1(n∈N,n≥2).

    反思 本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合二項式定理的形式,這是我們應(yīng)用二項式定理證明不等式的主要技巧.

    例3 已知n∈N,n≥1,求證:(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n.

    分析 本題的證明思路很容易尋找,我們先把所要證的式子簡單變形為(2n+1)n-(2n-1)n≥(2n)n,再運用二項式定理把左邊兩項展開即可.

    證明 ∵(2n+1)n-(2n-1)n

    ∴(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n(n∈N,n≥1).

    反思 對于(1+x)n±(1-x)n的計算應(yīng)該注意符號上的規(guī)律.

    例4 已知i、m、n是正整數(shù),且1

    分析 問題(1)用排列數(shù)公式即可解決;問題(2)應(yīng)該建立在問題(1)的基礎(chǔ)上,再借助二項式定理進(jìn)行解決.

    只要證ni·m(m-1)…(m-i+1)

    由二項式定理可知:

    反思 這一道試題,綜合考查了排列數(shù)公式、組合數(shù)公式及二項式定理等知識,有一定的難度.很多同學(xué)在平時的學(xué)習(xí)中只注意了二項式定理的其他應(yīng)用,忽視了證明不等式這一方面的訓(xùn)練,造成了嚴(yán)重失分.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0009-01

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