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    解壓軸題:熟記定論 引領(lǐng)思路

    2017-06-05 14:52:05福建省泉州外國語中學(xué)362000福建省泉州第五中學(xué)362000
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:壓軸泉州實數(shù)

    福建省泉州外國語中學(xué)(362000) 福建省泉州第五中學(xué)(362000)

    許銀伙● 楊蒼洲●

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    解壓軸題:熟記定論 引領(lǐng)思路

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    許銀伙● 楊蒼洲●

    壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)同時含lnx,ex等超越函數(shù)的不等式,直接導(dǎo)數(shù)無法求出單調(diào)區(qū)間或極值點,因而無法解決問題.本文介紹一種方法:運用常用結(jié)論lnx≤x-1,ex≥x+1等,化部分超越函數(shù)式為有理式,然后運用導(dǎo)數(shù)探索求解.

    例題1 (2013年高考全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

    (Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m的值并討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)當(dāng)m≤2時,證明:f(x)>0.

    分析與解 (Ⅰ)f(x)在x∈(-1,0]單調(diào)遞減,在x∈[0,+)單調(diào)遞增.

    (Ⅱ)方法一 因為f(x)=ex-ln(x+m)關(guān)于m∈(-,2]單調(diào)遞減,

    所以要證明當(dāng)m≤2時,f(x)>0,只需證:ex-ln(x+2)>0即ex>ln(x+2).

    下證:ex≥x+1≥ln(x+2).

    證明:令h(x)=ex-(x+1),則h′(x)=ex-1,由h′(x)=0得,x=0.

    當(dāng)x∈(-,0)時,h′(x)<0;x∈(0,+)時,h′(x)>0.

    則h(x)在(-,0]單調(diào)遞減,在[0,+)單調(diào)遞增,

    故h(x)最小值為h(0)=0.

    所以ex≥x+1成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號.

    所以x+1≥ln(x+2)成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號.

    綜上,原命題得證.

    方法二 (高考參考解答)

    關(guān)于(Ⅱ):當(dāng)m≤2,x∈(-m,+)時,ln(x+m)≤ln(x+2),

    故只需證:當(dāng)m=2時,f(x)>0.

    當(dāng)x0∈(-2,x0)時,f′(x)<0;當(dāng)x0∈(x0,+)時,f′(x)>0.

    從而當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值.

    綜上,當(dāng)m≤2時,f(x)>0.

    反思與評注

    1.方法二(高考參考解答)采用設(shè)而不求方法,估計f′(x)=0的根x0的范圍,推導(dǎo)出f(x)取得最小值f(x0)范圍.這種方法有兩個難點:(1)根x0的范圍即精確度的控制,(2)求f(x)的最小值f(x0)的范圍,需結(jié)合f′(x0)=0,化超越式為有理式進(jìn)行計算,有時還需結(jié)合圖象.而且這種設(shè)而不求方法并不能解決所有同時含ex和lnx的函數(shù)式問題,如2014年高考全國卷Ⅰ第21題.

    2.方法一連續(xù)運用兩個常用不等式ex≥x+1和lnx≤x-1,輕松解決問題.運用ex≥x+1,lnx≤x-1等這些常見結(jié)論進(jìn)行放縮,往往可以取得意想不到的收獲.

    3.ex≥x+1幾何意義是:函數(shù)y=ex的圖象恒在x=0處切線上方(除切點外).lnx≤x-1幾何意義是:函數(shù)y=lnx的圖象恒在x=1處切線下方(除切點外).

    例題2 (2015年龍巖市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(a∈R且a為常數(shù)).

    (Ⅰ)若曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線過點(1,2),求實數(shù)a的值;

    (Ⅱ)若存在實數(shù)x1,x2∈[0,π],使得g(x2)

    分析與解 (Ⅰ)a=-1.

    (Ⅱ)實數(shù)a的取值范圍(-1,3).

    (Ⅲ)函數(shù)φ(x)在(0,+)上沒有零點.理由:

    方法一 可證:x∈(0,+)時,ex>x+1恒成立(證明略).

    由h′(x)=0得:x=e-2,當(dāng)x∈(0,e-2)時,h′(x)<0;當(dāng)x∈(e-2,+)時,h′(x)>0.

    h(x)在x∈(0,e-2]單調(diào)遞減,在x∈[e-2,+)單調(diào)遞增,故h(x)最小值為h(e-2)=1+e-2>0,問題得證.

    方法二 (配套參考解答)

    因為x>0 ,所以ex>1.

    令h(x)=e-2+x+xlnx,則h′(x)=2+lnx,令h′(x)=0得x=e-2.

    當(dāng)x∈(0,e-2)時,h′(x)<0;當(dāng)x∈(e-2,+)時,h′(x)>0.

    h(x)在x∈(0,e-2]單調(diào)遞減,在x∈[e-2,+)單調(diào)遞增,

    故h(x)最小值為h(e-2)=0,所以φ(x)>0.

    反思與評注 1.兩種方法都用放縮,把超越函數(shù)式ex替換為有理函數(shù)式,但方法二放縮的跨度比較大,所以得到的h(x)最小值比方法一的還?。\用放縮法時度的控制是難點,作為探索,放縮幅度應(yīng)盡量小些為宜.

    (Ⅰ)求k的值;

    (Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅲ)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

    證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2.

    分析與解 (Ⅰ)k=1.

    (Ⅱ)f(x)遞增區(qū)間為(0,1],遞減區(qū)間為[1,+).

    可證:x∈(0,+)時,ex>x+1恒成立(證明略).

    要證明:g(x)<1+e-2,只需證明:1-xlnx-x≤1+e-2即xlnx+x+e-2≥0.

    令F(x)=xlnx+x+e-2,則F′(x)=2+lnx.

    由F′(x)=0得x=e-2.

    當(dāng)x∈(0,e-2)時,F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x∈(e-2,+)時,F(xiàn)′(x)>0.

    F(x)在x∈(0,e-2]單調(diào)遞減,在x∈[e-2,+)單調(diào)遞增,

    F(x)最小值為F(e-2)=e-2lne-2+e-2+e-2=0,問題得證.

    (Ⅲ)若x>-1,求證:f(x)-g(x)>0.

    (Ⅱ)實數(shù)m的取值范圍為(-,

    可證: ex≥x+1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號(證明略).

    故h(x)>0對x>-1恒成立,問題得證.

    方法二 (配套參考解答概要)

    由于點A在圓x2+y2=1上,所以直線AB與圓x2+y2=1相交或相切.

    反思與評注 問題(Ⅲ)中h(x)含三個超越函數(shù)式ex,sinx,cosx,直接通過求導(dǎo)獲得最小值幾乎不可能,因此聯(lián)想運用常用結(jié)論ex≥x+1,化部分超越函數(shù)為有理函數(shù),然后嘗試,較之配套的參考解答,顯得更加直觀簡潔.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0030-02

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