測度微分方程的變差穩(wěn)定性

李寶麟， 張珍珍

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

測度微分方程的變差穩(wěn)定性

李寶麟， 張珍珍

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

利用廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論,定義了測度微分方程變差穩(wěn)定性和變差漸近穩(wěn)定性概念,建立了測度微分方程的變差穩(wěn)定性和變差漸近穩(wěn)定性定理.

測度微分方程; 變差穩(wěn)定; 變差漸近穩(wěn)定; 廣義常微分方程

Dx=f(t,x)+g(t,x)Du,

(1)

其中Dx、Du代表函數(shù)x和函數(shù)u的分布導(dǎo)數(shù).如果u是有界變差函數(shù),則Du為Lebesgue-Stieltjes測度,并且Du是u的不連續(xù)點對突然改變系統(tǒng)狀態(tài)的影響.形如(1)式的方程叫作測度微分方程[1].測度微分方程(1)的解x(·)是有界變差函數(shù),它的分布導(dǎo)數(shù)滿足方程(1).W. W. Schmaedeke[1]對方程(1)的特殊情況進(jìn)行了研究,其中g(shù)不依賴于x,即g(t,x)=g(t),并且為了在后面的分析中利用Riemann-Stieltjes積分的方法假設(shè)它是t的連續(xù)函數(shù).

測度微分方程(包含更多抽象的測度微分方程見文獻(xiàn)[2])已經(jīng)被很多作者研究[1,3-5].測度泛函微分方程[6-7]代表了一類特殊的測度微分方程.時標(biāo)上的泛函動力方程代表了一類特殊的測度泛函微分方程.近年來,這2類方程已經(jīng)被大量地研究了.文獻(xiàn)[8]已經(jīng)給出了測度微分方程的一些性質(zhì).2013年,Meng G.等[9]從測度的連續(xù)依賴性角度研究了測度微分方程.M. Federson等[10]討論了時滯型泛函微分方程的穩(wěn)定性.T. Faria等[11]討論了無限時滯的脈沖微分方程的穩(wěn)定性.P. C. Das等[5]討論了測度微分方程解的存在性和穩(wěn)定性,不過他們討論的是擬等度漸近穩(wěn)定性和指數(shù)漸近穩(wěn)定性.

測度微分方程是描述具有脈沖行為的微分系統(tǒng),其解是不連續(xù)的有界變差函數(shù).測度微分方程可以轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程[12].文獻(xiàn)[12]介紹了廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論.本文利用廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論,首次提出測度微分方程變差穩(wěn)定和變差漸近穩(wěn)定的概念,定義了測度微分方程變差穩(wěn)定性和變差漸近穩(wěn)定性,并建立了測度微分方程變差穩(wěn)定性定理和變差漸近穩(wěn)定性定理來討論測度微分方程.

1 預(yù)備知識

‖f(s,x)-f(s,y)‖≤l1(s)ω1(‖x-y‖)

成立,其中ω1:[0,+∞)→R是連續(xù)增函數(shù),且ω1(0)=0.

引理 1.1[8]一個函數(shù)x(·):[α,β]→Rn,[α,β]?[0,+∞)是測度微分方程(1)在區(qū)間[α,β]上通過(t0,x0)的一個解,當(dāng)且僅當(dāng)對t0,t∈[α,β]它滿足積分方程

(2)

給定一個函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞).如果有[αi-1,αi]?[τi-δ(τi),τi+δ(τi)],i=1,2,…,k,區(qū)間[a,b]上的一個分劃D:a=α0<α1<…<αk=b和標(biāo)記τi∈[αi-1,αi]稱為δ-精細(xì)分劃.

定義 1.1[12]函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn+1在區(qū)間[a,b]上稱為Kurzweil可積的,如果存在向量I∈Rn+1,對任意的ε>0,在區(qū)間[a,b]上存在正值函數(shù)δ,使得對區(qū)間[a,b]上的任何δ-精細(xì)分劃D,都有

定義 1.2[12]G=[a,b]×Bd,G?Rn+1.假設(shè)F:G→Rn,函數(shù)x:[α,β]→Rn,如果(t,x)∈G在區(qū)間[α,β]?[a,b]對所有的t∈[α,β],s1,s2∈[α,β]有

則稱函數(shù)x為廣義常微分方程

(4)

的解.

定義 1.3[12]設(shè)函數(shù)F:G→Rn,如果F屬于函數(shù)族R(G,h,ω),則對所有的(s1,x),(s2,x)∈G有

‖F(xiàn)(s2,x)-F(s1,x)‖≤|h(s2)-h(s1)|, (5)

且對所有的(s1,x),(s2,x),(s1,y),(s2,y)∈G有

‖F(xiàn)(s2,x)-F(s1,x)-F(s2,y)+F(s1,y)‖≤

ω(‖x-y‖)|h(s2)-h(s1)|,

(6)

其中h:[0,+∞)→R為不減函數(shù),ω:[0,+∞)→R為連續(xù)的增函數(shù)且ω(0)=0.

(7)

存在不減函數(shù)h2:[a,b]→R,使得不等式

‖F(xiàn)2(t2,x)-F2(t1,x)‖≤|h2(t2)-h2(t1)|

和

‖F(xiàn)2(t2,x)-F(t1,x)-F(t2,y)+F(t1,y)‖≤
ω2(‖x-y‖)|h2(t2)-h2(t1)|

引理 1.4[12]一個函數(shù)x:[α,β]→Rn,[α,β]?[a,b]是測度微分方程(1)在區(qū)間[α,β]上的解,當(dāng)且僅當(dāng)x是廣義常微分方程

(8)

在區(qū)間[α,β]上的解,且

定義 1.4 如果對于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得若y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(9)

對任意的t∈[t0,t1]有

‖y(t)‖<ε,

則稱測度微分方程(1)的解x≡0是變差穩(wěn)定的.

定義 1.5 如果存在δ0>0,并且對任意的ε>0有T=T(ε)≥0和γ=γ(ε)>0,使得若y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(10)

對任意的t∈[t0,t1]∩[t0+T(ε),+∞),且t0≥0時有

‖y(t)‖<ε,

則稱測度微分方程(1)的解x≡0是變差吸引的.

定義 1.6 如果測度微分方程(1)的解x≡0既是變差穩(wěn)定的又是變差吸引的,則稱測度微分方程(1)的解x≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

引理 1.5[12]假設(shè)-∞0使得對于任意的η∈(0,δ(σ))，不等式

φ(σ+η)-φ(σ)≤ψ(σ+η)-ψ(σ)

(11)

成立,則對所有的t∈[a,b]有

φ(t)-φ(a)≤ψ(t)-ψ(a).

(12)

引理 1.6 假設(shè)V:[0,+∞)×Rn→R是使得對任意的x∈Rn,函數(shù)V(·,x):[0,+∞)→R在區(qū)間(0,+∞)上是左連續(xù)的,假設(shè)：

(i) 對(t,x),(t,y)∈[0,+∞)×Rn和常數(shù)K>0有

(13)

(ii) 存在一個實函數(shù)Φ:Rn→R,使得對于廣義常微分方程(8)在區(qū)間[α,β]?[0,+∞)上的所有解x:(α,β)→Rn對于t∈(α,β)有

(14)

如果y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(15)

2 主要結(jié)論

本章討論測度微分方程(1)的變差穩(wěn)定性和變差漸近穩(wěn)定性.

(i) 存在一個連續(xù)遞增實函數(shù)b:[0,+∞)→R使得b(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0;

V(t,x)≥b(‖x‖);

(16)

V(t,0)=0

(17)

和

‖V(t,x)-V(t,y)‖≤K‖x-y‖.

(18)

如果函數(shù)V(t,x(t))對測度微分方程(1)的任何一個解x(t)是不增函數(shù),則(1)式的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的.

證明 令

其中x∈Bd,t0,t∈[a,b].

由于m1(s)在區(qū)間[a,b]上是非負(fù)的,所以φ1(t)是區(qū)間[a,b]上的非減函數(shù).

由于l1(s)在區(qū)間[a,b]上是非負(fù)的,所以ψ1(t)是區(qū)間[a,b]上的非減函數(shù).

令h1(t)=φ1(t)+ψ1(t),可知函數(shù)F1屬于函數(shù)族R(G,h1,ω1).類似的,令

有

由于m2(s)在區(qū)間[a,b]上是非負(fù)的,所以φ2(t)是區(qū)間[a,b]上的非減函數(shù).

由于l2(s)在區(qū)間[a,b]上是非負(fù)的,所以ψ2(t)是區(qū)間[a,b]上的非減函數(shù).令h2(t)=φ2(t)+ψ2(t),由上可知，函數(shù)F2屬于函數(shù)族R(G,h2,ω2).

下面證明測度微分方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的.由于假設(shè)函數(shù)V(t,x(t))對測度微分方程(1)的任何一個解x:[α,β]→Rn是非增函數(shù),即對廣義常微分方程(8)的任何一個解x:[α,β]→Rn也成立,所以對t∈[α,β]有

下面證明在這種假設(shè)下定義1.4中的條件是滿足的.給定ε>0,令y:[t0,t1]→Rn是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),并且在(t0,t1]上左連續(xù).由于函數(shù)V滿足引理1.6中的(14)式,其中Φ≡0.由(15)、(17)和(18)式,對于任意的t∈[t0,t1]可得

(20)

則由(20)式有

V(r,y(r))≤K‖y(t0)‖+Kδ(ε)≤
Kδ(ε)+Kδ(ε).

所以,當(dāng)r∈[t0,t1]時可以得到

V(r,y(r))≤2Kδ(ε).

(21)

如果存在一個ξ∈[t0,t1],使得‖y(ξ)‖≥ε,則由(16)式可得

這與(21)式矛盾.因此,對所有的t∈[t0,t1]有‖y(t)‖<ε.由定義1.4可知測度微分方程(1)的解x≡0是變差穩(wěn)定的.

(22)

成立,其中Φ:Rn→R是連續(xù),Φ(0)=0;當(dāng)x≠0時,Φ(x)>0.則測度微分方程(1)的平凡解x≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

證明 由(8)式,顯然函數(shù)V(t,x(t))對測度微分方程(1)的任何一個解x:[α,β]→Rn是非增函數(shù).因此,由定理2.1可知測度微分方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的.根據(jù)定義1.6,還需證明解是變差吸引的.

根據(jù)定義1.4測度微分方程(1)的平凡解x≡0變差穩(wěn)定性的概念可知:存在一個δ0∈(0,d),使得若y:[t0,t1]→Rn是[t0,t1]上的有界變差函數(shù),其中0≤t0

則對t∈[t0,t1]有‖y(t)‖

對任意的ε>0,由測度微分方程(1)的平凡解x≡0的變差穩(wěn)定性知:存在一個δ(ε)>0,使得對任意的y:[t2,t3]→Rn是[t2,t3]上的有界變差函數(shù),其中0≤t2

‖y(t0)‖<δ(ε),

(23)

且有

(24)

則對t∈[t2,t3]有

‖y(t)‖<ε.

(25)

M=sup{-Φ(x);γ(ε)≤‖x‖<ε}=
-inf{Φ(x);γ(ε)≤‖x‖<ε}<0,

并且假設(shè)y:[t0,t1]→Rn是[t0,t1]上的有界變差函數(shù),其中0≤t0

(26)

假設(shè)T(ε)

因此

V(t0+T(ε),y(t0+T(ε)))≤
V(t0,y(t0))-Kδ0≤
K‖y(t0)‖-Kδ0

這與不等式

V(t0+T(ε),y(t0+T(ε)))≥
b(‖y(t0+T(ε))‖)≥b(γ(ε))>0

矛盾.因為(23)和(24)式成立,且當(dāng)t1=t*或t1=t3時,(25)式也滿足.所以必定存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得‖y(t*)‖<γ(ε).因此,對t>t0+T(ε)時有‖y(t)‖<ε.由于t*∈[t0,t0+T(ε)],因此測度微分方程(1)的解x≡0是變差漸近吸引的.所以由定義1.6可知:測度微分方程(1)的平凡解x≡0是變差漸近穩(wěn)定的.

[1] SCHMAEDEKE W W. Optimal contral theory for nonlinear vector differential equations containing measures[J]. SIAM Control,1965,3(2):231-280.

[3] RAO M R M, RAO V S H. Stability of impulsively perturbed systems[J]. Bull Austral Math Soc,1977,16(1):99-110.

[4] PANDIT S G. Differential systems with impulsive perturbations[J]. J Pacific Math,1980,86(2):553-560.

[5] DAS P C, SHAMA R R. Existence and stability of measure differential equations[J]. Czech Math J,1972,22(97):145-158.

[6] FEDERSON M, MESQITA J G, SLAVK A. Measure functional differential equations and functional dynamic equations on time scales[J]. J Diff Eqns,2012,252(6):3816-3847.

[8] 徐遠(yuǎn)通. 泛函微分方程與測度微分方程[M]. 廣州:中山大學(xué)出版社,1988:179-306.

[9] MENG G, ZHANG M. Dependence of solutions and eigenvalues of measure differential equations on measures[J]. J Diff Eqns,2013,254(5):2196-2232.

[10] FEDERSON M, SCHWABIK S. Stability for retarded functional differential equations[J]. Ukrainian Math J,2008,60(1):121-140.

[11] FARIA T, GADOTTI M C, OLIVEIRA J J. Stability results for impulsive functional differential equations with infinite delay[J]. Nonlinear Anal:TMA,2012,75(18):6570-6587.

[12] SCHMAEDEKE W W. Generalized Ordinary Differential Equations[M]. Singapore:World Scientific,1992.

[13] KELLEY W G, PETERSON A C. The Theory of Differential Equations[M]. 2nd ed. New York:Springer-Verlag,2010.

[14] SCHWABIK S, TVRDY M, VEJVODA O. Differential and Integral Equations:Boundary Value Problems Adjoints[M]. Berlin:Springer-Verlag,1979.

2010 MSC：30D35; 39A10; 39A12

(編輯 周 俊)

Variational Stability for Measure Differential Equations

LI Baolin, ZHANG Zhenzhen

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we define notions of variational stability and variational-asymptotically stability for measure differential equations and establish their theories by using the theory of stability for generalized ordinary differential equations.

measure differential equations; variational stability; variational-asymptotic stability; generalized ODE

2016-10-17

國家自然科學(xué)基金(11061031)

李寶麟(1963—),男,教授,主要從事微分方程應(yīng)用的研究,E-mail:787535241@qq.com

O175.12

A

1001-8395(2017)03-0328-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.010