半線性橢圓方程N(yùn)eumann問題的無窮多解

何 勇, 徐 博

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

半線性橢圓方程N(yùn)eumann問題的無窮多解

何 勇, 徐 博

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

假設(shè)Neumann邊值問題中非線性項(xiàng)是次線性的,利用Ekland變分原理,得到2列無窮多解.

Neumann問題; Ekland變分原理; 次線性; 振蕩; 極小極大方法

1 引言和主要結(jié)果

考慮下述Neumann邊值問題:

(1)

令非線性項(xiàng)f(x,t)是次線性的,即存在g∈Lr(Ω;R+),h∈Lq(Ω;R+)和α∈[0,1]使得

|f(x,t)|≤g(x)|t|α+h(x).

(2)

或者

定理 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進(jìn)一步假設(shè)

(3)

且

(4)

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點(diǎn),且當(dāng)n→∞時(shí)，φ(un)→+∞;

推論 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進(jìn)一步假設(shè)

(5)

且

(6)

則有:

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點(diǎn),且當(dāng)n→∞時(shí),φ(un)→+∞;

注 1 文獻(xiàn)[12]在解決2點(diǎn)邊值問題時(shí),考慮到了條件振蕩,且假設(shè)非線性項(xiàng)是有界的.本文的定理1給出了關(guān)于Neumann邊值問題的新的可解性條件.另一方面，存在泛函F(t,x)滿足定理1的條件但不滿足先前其它文獻(xiàn)中的假設(shè).例如:令α=1/2和

其中j∈L1(Ω;R).

2 定理的證明

令H1(Ω)為有如下等價(jià)范數(shù)的Soblev空間

‖u‖L2≤C‖u‖, ‖u‖Lp≤C‖u‖,

其中u∈H1(Ω).

定義H1(Ω)上的泛函φ如下:

其中u∈H1(Ω).在次線性條件(2)下,泛函φ連續(xù)可微且在H1(Ω)上弱下半連續(xù),而且有

其中u,v∈H1(Ω).眾所周知,當(dāng)且僅當(dāng)u是φ的臨界點(diǎn)時(shí)，u∈H1(Ω)是問題(1)的解.

φ(u)→+∞.

證明 由條件(2)和H?lder不等式有

令ε=1/4C2,有

其中C2、C3和C4是正常數(shù).由條件(4)和上述引理得證.

定理1的證明 令

并定義

因此,由cn≥M和引理2,對(duì)于較大的n,

對(duì)于這樣的n,存在Sn上的序列(γk)使得當(dāng)k→∞時(shí)

由文獻(xiàn)[14]的定理4.3知:存在H1(Ω)中的序列vk,使得當(dāng)k→∞時(shí)有

φ(vk)→cn,

dist(vk,γk([0，1]))→0,

φ′(vk)→0.

現(xiàn)在,證明vk在H1(Ω)是有界的.對(duì)于足夠大的k有

且有wk∈γk([0，1])使得

‖vk-wk‖≤1.

此外

由此不等式和引理3有

因此得到定理1的(I)結(jié)論.

對(duì)于一個(gè)固定的n,定義H1(Ω)的子集Pn如下:

對(duì)于u∈Pn有

其中C8、C9和C10為正常數(shù).從而得到φ在Pn中是有界的.

定義

令(uk)是Pn上的極小化序列,即當(dāng)k→∞時(shí),

φ(uk)→un.

由上述不等式知:(uk)在H1(Ω)上有界,故uk中至少存在一個(gè)子列是有界的，仍記為uk.假設(shè)

因?yàn)棣帐侨跸掳脒B續(xù)的,所以

由引理2可得

定理1證畢.

[1] GUPTA C P. Perturbations of second order linear elliptic problems by unbounded nonlinearities[J]. Nonlinear Anal,1982,6(9):919-933.

[2] IANNACCI R, NKASHAMA M N. Nonliear boundary value problems at resonance[J]. Nonlinear Anal,1987,11(4):455-473.

[3] KUO C C. On the solvability of a nonliear second-order elliptic equations at resonance[J]. Proc Am Math Soc,1996,124(1):83-87.

[4] MAWHIN J. Semi-coercive monotone variational problems[J]. Acad Roy Belg Bull CI Sci,1987,73:118-130.

[5] MITREANU D, PAPAGEORGIOU N S. Existence and multiplicity of solutions for Neumann problems[J]. J Diff Eqns,2007,232(1):1-35.

[6] RABINOWITZ P H. On a class of functionals invariant under a Znaction[J]. Trans Am Math Soc,1988,310(1):303-311.

[7] TANG C L. Solvability of Neumann problem for elliptic equations at resonance[J]. Nonlinear Anal,2001,44(3):323-335.

[8] TANG C L. Some existence theorems for the sublinear Neumann boundary value problem[J]. Nonlinear Anal,2002,48(7):1003-1011.

[9] TANG C L. Multiple solutions of Neumann problem for elliptic equations[J]. Nonlinear Anal,2003,54(4):637-650.

[10] TANG C L, WU X P. Existence and multiplicity for solutions of Neumann problem for semilinear elliptic equations[J]. J Math Anal Appl,2003,288(2):660-670.

[11] TANG C L, WU X P. Multiple solutions of a class of Neumann problem for semilinear elliptic equations[J]. Nonlinear Anal,2005,62(62):455-465.

[12] HABETS P, MANASEVICH R, ZANOLIN F. A nonlinear boundary value problem with potential oscillating around the first eigenvalue[J]. J Diff Eqns,1995,117(2):428-445.

[13] EVANS L C. Partial Differential Equations[M]. Providence:Am Math Soc,1998.

[14] MAWHIN J, WILLEM M. Critical point theory and Hamiltonian systems[C]//Appl Math Sci, 74. New York:Springer-Verlag,1989.

[15] 頓調(diào)霞,李永祥. 一類三階微分方程的兩點(diǎn)邊值問題的正解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(6):810-813.

[16] 劉瑞寬. 一類奇異三階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(4):482-486.

[17] 趙亮,李樹勇,張秀英,等. 一類含連續(xù)分布時(shí)滯的隨機(jī)Hopfiled神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和p階矩指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,36(3):1-5.

2010 MSC:35R10

(編輯 周 俊)

Infinitely Many Solutions of Neumann Problem for Semilinear Elliptic Equations

HE Yong, XU Bo

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofScienceandTechonology,Chongqing401331)

By applying Ekland’s variational principal, we get two sequences of solutions for the Neumann boundary value problem when the nonlinearity is sublinear.

Neumann problem; Ekeland’s variational principle; sublinear; oscillating; minimax methods

2016-05-13

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1713339)

何 勇(1982—)，男，講師，主要從事概率統(tǒng)計(jì)方向的研究,E-mail:heyongmath@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)03-0316-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.007