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    中考中的平行四邊形問題

    2017-06-05 14:21:12郭璇
    初中生世界 2017年18期
    關(guān)鍵詞:位線對角線勾股定理

    郭璇

    中考中的平行四邊形問題

    郭璇

    平行四邊形知識是中考的重點內(nèi)容,縱觀近幾年的中考題,平行四邊形以其獨特的魅力占據(jù)了一席之地.該部分試題形式豐富,考查面廣,下面根據(jù)本章的知識點,列舉一些典型的中考題,與同學(xué)們分享.

    考點1:平行四邊形的性質(zhì)

    例1(2016·江蘇無錫)如圖1,已知平行四邊形OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上,O是坐標(biāo)原點,則對角線OB長的最小值為.

    圖1

    【分析】如圖2,當(dāng)點B在x軸上時,對角線OB最短.由題意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4,由平行四邊形的性質(zhì)得出OA∥BC,OA= BC,∠AOD=∠CBE,由“AAS”可證明△AOD≌△CBE,得出OD=BE=1,繼而得出結(jié)果.

    圖2

    解:當(dāng)點B在x軸上時,對角線OB最短,如圖2所示:直線x=1與x軸交于點D,直線x=4與x軸交于點E.根據(jù)題意得:∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4.

    ∵四邊形ABCO是平行四邊形,

    ∴OA∥BC,OA=BC,

    ∴∠AOD=∠CBE,

    ∴△AOD≌△CBE(AAS),

    ∴OD=BE=1,

    ∴OB=OE+BE=5.

    【規(guī)律方法】平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用:

    1.平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點是它的對稱中心.

    2.平行四邊形的每條對角線,把平行四邊形分成兩個全等的三角形,兩條對角線把平行四邊形分成四組全等的三角形.

    3.解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時,常利用其性質(zhì)證明三角形全等.

    考點2:平行四邊形的判定

    例2(2016·浙江舟山)如圖3,已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點,根據(jù)以下思路可以證明四邊形EF?GH是平行四邊形:

    圖3

    圖4

    圖5

    (1)如圖4,將圖3中的點C移動至與點E重合的位置,F(xiàn)、G、H仍是BC、CD、DA的中點,求證:四邊形CFGH是平行四邊形;

    (2)如圖5,在邊長為1的小正方形組成的5×5網(wǎng)格中,點A、C、B都在格點上,在格點上畫出點D,使點C與BC、CD、DA的中點F、G、H組成正方形CFGH;

    (3)在(2)的條件下求出正方形CFGH的邊長.

    【分析】(1)連接BD,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CH∥BD,CH=BD,同理FG∥BD,F(xiàn)G=BD,由平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論;

    (2)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)果;

    (3)根據(jù)勾股定理得到BD,由三角形的中位線的性質(zhì)得到FG,于是得到結(jié)論.

    【解答】(1)證明:如圖6,連接BD,

    圖6

    ∵C、H是AB、DA的中點,

    ∴CH是△ABD的中位線,

    ∴CH∥FG,CH=FG,

    ∴四邊形CFGH是平行四邊形;(2)如圖7所示.

    圖7

    (3)解:如圖7,∵BD=5,

    【規(guī)律方法】平行四邊形的判定思路:

    1.若已知一組對邊平行,可以證明這組對邊相等,或另一組對邊平行.

    2.若已知一組對邊相等,可以證明這組對邊平行或另一組對邊相等.

    3.若已知條件與對角線有關(guān),可以證明對角線互相平分.

    考點3:平行四邊形中的折疊問題

    例3(2016·江蘇宿遷)如圖8,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為().

    A.2B.3C.2D.1由題意可知,△ABC為等邊三角形,過C作CH⊥AB,則CH=AB=4,AH=BH=4.利用勾股定理計算出CD=7,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點A′在以P點為圓心、PA長為半徑的弧上,利用點和圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點A′在PC上時,CA′的值最小,然后證明CQ=CP即可.

    【解答】解:如圖10,過C作CH⊥AB.

    【分析】根據(jù)翻折不變性,可得AB=FB=2,BM=1,在Rt△BFM中,可利用勾股定理求出FM的長.

    【解答】∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,

    ∴FB=AB=2,BM=1,

    則在Rt△BMF中,

    故選B.

    例4(2016·湖北鄂州)如圖9,菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,P是AB上一點,BP=3,Q是CD邊上一動點,將梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應(yīng)點為A′,當(dāng)CA′的長度最小時,CQ的長為().

    圖9

    ∵ABCD是菱形,∠B=60°,

    【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱(折疊)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、最值問題.

    ∵BP=3,∴HP=1.

    ∵梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應(yīng)點為A′,∴點A′在以P點為圓心、PA為半徑的弧上,∴當(dāng)點A′在PC上時CA′的值最小.

    ∴∠APQ=∠CPQ,

    ∵CD∥AB,

    ∴∠APQ=∠CQP,∴∠CQP=∠CPQ,

    ∴CQ=CP=7.

    故正確答案為B.

    【規(guī)律方法】本題作為選擇題,通過作圖得出答案是比較便捷的方法.弄清在什么情況下CA′的長度最小(相當(dāng)于平移對稱軸)是解決本題的關(guān)鍵.折疊問題的本質(zhì):軸對稱(全等性、對稱性).解題關(guān)鍵:根據(jù)折疊實現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化,可用勾股定理列式解決,或找折疊中的特殊位置來解決特殊值問題.

    (作者單位:江蘇省揚州市田家炳實驗中學(xué))

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