鄰域語義與修正真理論

林其清

華南師范大學(xué) 政治與行政學(xué)院

linqiqing@foxmail.com

梁曉龍

中山大學(xué) 邏輯與認知研究所

lianghillon@gmail.com

鄰域語義與修正真理論

林其清

華南師范大學(xué) 政治與行政學(xué)院

linqiqing@foxmail.com

梁曉龍

中山大學(xué) 邏輯與認知研究所

lianghillon@gmail.com

古普塔和赫茲伯格在1982年各自獨立地提出了修正真理論，建立了可用于分析真與相關(guān)悖論的修正序列。修正真理論根據(jù)語句在所有修正序列中的表現(xiàn)，對語句進行分類。然而，修正真理論在某些語句的分類上不能令人滿意，如修正真理論把柯瑞悖論的逆命題斷定為絕對地真，這與直覺不一致。本文將從兩種路徑引入鄰域語義研究修正真理論。路徑一是在基模型上引入鄰域基模型，建立鄰域基模型修正序列。這類修正序列比經(jīng)典修正序列更多，增加的修正序列可使包括柯瑞悖論的逆命題在內(nèi)的一些語句的病態(tài)呈現(xiàn)出來。路徑二是通過引入鄰域語義模型，使得對任意不含模態(tài)詞的公式?，模態(tài)公式□?在后繼階段的真值可以反映?在上一階段的真值，并且□?在極限階段的真值可以反映?在至這個極限階前是否穩(wěn)定真。從而可以通過□?的真值來限定T┍?┑的真值，使得滿足相應(yīng)限制的模型類表示了相應(yīng)的修正序列。本文最后將對兩個路徑進行整合，構(gòu)造出能表示鄰域基模型修正序列的整體修正序列模型。

修正真理論；修正序列；鄰域語義；柯瑞悖論的逆命題

1 修正真理論與關(guān)系語義

1.1 修正真理論

塔斯基認為一個合理的（相當(dāng)于某個）語言的真謂詞定義必須蘊含(T)模式的所有代入特例：

其中p可以代入該語言的任何語句，S是p在該語言中的名稱。由于說謊者類型語句的存在，塔斯基認為句法資源豐富的語言無法定義自身真謂詞。

古普塔和貝爾納普認為(T)模式的“當(dāng)且僅當(dāng)”不應(yīng)該看作實質(zhì)等值，而應(yīng)該看作是在下定義，(T)模式的每個代入特例都是真謂詞的一個部分定義，所有這些部分定義的總體給出了真謂詞的完整定義，真謂詞是一個循環(huán)概念。古普塔和貝爾納普認為循環(huán)概念有其合理性及其運作方式，傳統(tǒng)定義理論要求定義項中不能直接或者間接地出現(xiàn)被定義項的要求是不合理的。非循環(huán)的定義，如G(x)=dfA(x)，其中A(x)不包含G直接或者間接的出現(xiàn)，這類型的定義提供了一條“絕對”的規(guī)則供我們判斷一個對象是否屬于G的外延：若對象d滿足A，那么d就屬于G的外延；反之，d不屬于G的外延。循環(huán)定義并不提供一條絕對的規(guī)則，而是提供了一條“修正”的規(guī)則。由于循環(huán)定義的定義項中包含了被定義項，所以只有先給出被定義項的假設(shè)的解釋，才可以通過定義來產(chǎn)生被定義項的新的解釋，即通過定義“修正”對被定義項的假設(shè)的解釋，產(chǎn)生被定義項的新的解釋，這個新的解釋比原來的假設(shè)更好。古普塔和貝爾納普認為我們?nèi)粘Ｋ褂玫恼嬷^詞就是循環(huán)定義的一個特例。他們聲稱：根據(jù)對真謂詞的這個看法，真謂詞的大部分行為，無論是正常的行為還是病態(tài)的行為，都可以得到解釋。（[5]，第137頁）

若L是由一階語言L?加入一個特殊的一元謂詞符T膨脹所得的一階語言，并且L?滿足對于L中的任意語句φ，┍φ┑都是L?的常元符，那么就把L稱為真語言，把L?稱為L的基語言，把┍φ┑這樣的常元符稱為引用常元符，把不是引用常元符的常元符稱為非引用常元符。稱模型M=〈D,I〉為真語言L的基模型，如果模型M滿足以下三個條件：

1.M是基語言L?的經(jīng)典模型；

2.記L中所有語句的集合為Sent(L)，Sent(L)?D；

3.對于任意的φ∈Sent(L)，I(┍φ┑)=φ。

L為一個真語言，M=〈D,I〉是L的基模型，如果h是Sent(L)的一個子集，則把h稱為一個假設(shè)。如果M′=〈D,I′〉是M相對于L的膨脹模型，并且I′(T)=h，則把M′記為M+h。若M+h?φ，則稱φ在模型M+h下為真；若M+hφ，則稱φ在模型M+h下為假。若φ∈h，則稱h把φ斷定為真；若φ?h，則稱h把φ斷定為假。

給定真語言L，L的基模型M=〈D,I〉，修正規(guī)則τM把假設(shè)映射到假設(shè)，τM規(guī)定如下（為簡便起見，在不引起混淆的情況下，僅以τ表示τM）：

任給T的嘗試性的解釋，不妨記作h，τ作用在h上產(chǎn)生一個比h更好地作為T的解釋的假設(shè)τ(h)，τ的再一次作用又可以產(chǎn)生比這個新的解釋更好的解釋，假設(shè)τ(τ(h))，簡記為τ2(h)，以此類推可以得到一個ω長的假設(shè)序列：τ3(h),τ4(h),τ5(h),···,τn(h),···。為了使修正可以超窮地進行下去，除了修正規(guī)則外還需要一個極限規(guī)則。有了極限規(guī)則后，就能得到以h為初始假設(shè)的全序數(shù)長的修正序列。

1982年古普塔和赫茲伯格各自獨立地提出修正真理論時他們所提出的極限規(guī)則是不一樣的。同一年，貝爾納普對他們的極限規(guī)則進行批判，并提出了一個更加自由的極限規(guī)則。三位作者都同意：在極限階段之前穩(wěn)定下來的語句（指從這個極限階段之前的某個階段起至這個極限階段以前一直被斷定為真或一直被斷定為假的語句）應(yīng)該被斷定為同樣的真值。但是他們對至這個極限階段不穩(wěn)定的語句（指至這個極限階段并非穩(wěn)定的語句）采取了不同的對待。古普塔認為至這個極限階段不穩(wěn)定的語句如果在初始假設(shè)被斷定為真，則這個極限階段應(yīng)該把它斷定為真，否則應(yīng)該把它斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作G-極限規(guī)則，按照G-極限規(guī)則建立起來的修正序列稱作G-修正序列。赫茲伯格認為至這個極限階段不穩(wěn)定的語句應(yīng)該一律被斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作H-極限規(guī)則，按照H-極限規(guī)則建立起來的修正序列稱作H-修正序列。貝爾納普認為至這個極限階段不穩(wěn)定的語句可以隨意地被斷定為真或者被斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作B-極限規(guī)則，按照B-極限規(guī)則建立起來的修正序列稱作B-修正序列。當(dāng)不指明時，修正序列指B-修正序列。

古普塔在其1982年的論文《真與悖論》（[4]）中提出，給定真語言L和L的基模型M=〈D,I〉，可以根據(jù)L中語句在所有修正序列中的表現(xiàn)（“穩(wěn)定地被斷定為真”又簡稱為“穩(wěn)定真”；“穩(wěn)定地被斷定為假”又簡稱為“穩(wěn)定假）對語句進行分類：

①在所有修正序列中穩(wěn)定真；

②在所有修正序列中穩(wěn)定假；

③在某些修正序列中穩(wěn)定真，在其它修正序列中穩(wěn)定假；

④在某些修正序列中穩(wěn)定真，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑤在某些修正序列中穩(wěn)定假，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑥在一些修正序列中穩(wěn)定真，在另一些修正序列中穩(wěn)定假，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑦在所有的修正序列中都不穩(wěn)定。

修正真理論把第①類語句稱為絕對真語句，把第②類語句稱為絕對假語句，把其它類型語句合稱為病態(tài)的語句。③、④、⑤、⑥、⑦這五類語句又相當(dāng)于是對病態(tài)語句的一個劃分，反映出存在五種不同類型的病態(tài)。

1.2 線性修正序列模型

在修正序列中某一個后繼階段上T謂詞的解釋決定于該階段的前繼中語句的真假情況。這個規(guī)定類似于可能世界語義中對于模態(tài)詞的解釋，熊明于《塔斯基定理與真理論悖論》（[12]）一書中表達過這個思想，他的相對化T模式正是把這一認識推廣到了任意的關(guān)系框架上得到：

其中：S為給定的通達關(guān)系（[12]，第43頁）。

受這個認識的啟發(fā)，我們給出線性序列模型和線性修正序列模型的定義。

定義1(線性序列模型) 給定一個真語言L，稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個線性序列模型，其中W={wn|n∈ω}為可能世界集（本文中ω指第一個可數(shù)無窮序數(shù)，也指自然數(shù)集），R?W×W為可能世界之間的通達關(guān)系，且R={(wn+1,wn)|n∈ω}，〈D,I〉為L的基模型，H是一個由W到P(Sent(L))的函數(shù)。對任意w∈W，記H(w)為hw。

這個模型實質(zhì)是在語言L的基礎(chǔ)上增加了模態(tài)詞□所得的語言L□的可能世界語義模型?？煽闯鯮的逆關(guān)系的傳遞閉包在W上剛好形成一個序型與(N,＜)一樣的嚴格良基線序。線性序列模型上的R關(guān)系圖示如下：

定義2(真值條件) 給定可能世界w∈W、任意L□中公式?,ψ及指派σ，為由σ根據(jù)〈D,I〉擴展到從L的項的集合到D的函數(shù)，線性序列模型的真值條件規(guī)定如下：

規(guī)定：M,w??，當(dāng)且僅當(dāng)，對任意指派σ有M,w?σ?。

定義3(線性修正序列模型) 稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個線性修正序列模型，如果M為一個線性序列模型，且對于任意n∈ω及L中語句?，M,wn+1?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?。

在上述定義的線性修正序列模型中，我們要求模型中的可能世界集W 及W上的關(guān)系R同構(gòu)于自然數(shù)集及其“減一”運算的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)下的線性修正序列模型實際上只能模擬一個ω長的修正序列。但是在修正真理論中，對語句進行區(qū)分時，不僅要考慮該語句在一個修正序列中的表現(xiàn)，而且要考慮該語句在所有修正序列中的表現(xiàn)。故我們給出一個新定義，這個定義可以容納多個甚至全部的ω長的修正序列。

定義4(序列模型) 給定一個真語言L和非空集合WB，稱模型M=〈W,R,D,I,H〉為一個序列模型，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}為可能世界集，R?W×W為可能世界之間的通達關(guān)系，R={(wi+1,wi)|w∈WB,i∈ω}，〈D,I〉為L的基模型，H是一個由W到P(Sent(L))的函數(shù)。對任意w∈W，記H(w)為hw。序列模型上的真值條件定義方式與定義2相同。

定義5(修正序列模型) 稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個修正序列模型，如果M為一個序列模型，且對于任意w∈WB、n∈ω及L中語句?，M,wn+1? T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?。

由定義可知，一個線性（修正）序列模型也是一個（修正）序列模型，此時WB為一個單點集。

若M=〈W,R,D,I,H〉是一個修正序列模型（W={wn|w∈WB,n∈ω}），如果對于任意w∈WB，〈H(wn)〉n∈ω都是一個ω長的修正序列，則稱M表示了該組修正序列。

定理1 一個修正序列模型表示了一組ω長的修正序列；給定任意一組ω長的修正序列，可構(gòu)造一個修正序列模型表示該組修正序列。

證明:給定修正序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}。需證對任意w∈WB及n∈ω，有：H(wn+1)=τ(H(wn))。根據(jù)定義，對任意L中語句?：?∈τ(H(wn))，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+H(wn)??，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn??，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈H(wn+1)。第一個命題得證。

給定基模型M=〈D,I〉，給定一組ω長的修正序列(Sj)j∈J，J為這組修正序列的標(biāo)號集。對任意自然數(shù)n、任意j∈J，記Sj的第n階段假設(shè)為Sj(n)。存在非空集合WB以及函數(shù)f使得f為WB到J上的雙射。

構(gòu)造序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}，R={(wn+1該語句在直觀上不應(yīng)是絕對的語句的觀點可參考王文方的文章《古普塔及貝爾納普的真理修正理論述評》（[11]）。,wn)|w∈WB,n∈ω}，H(wn)=Sf(w)(n)，只需證M為一個修正序列模型。對于任意w∈WB、n∈ω及L中語句?有：M,wn+1|=T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈H(wn+1)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈Sf(w)(n+1)，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Sf(w)(n)|=?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn|=?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1|=□?。故M為修正序列模型，第二個命題得證。 □

2 鄰域語義與修正真理論

經(jīng)典修正真理論中會把一些直觀上認為是病態(tài)的語句斷定為絕對的語句，例如柯瑞悖論的逆命題：如果說謊者語句φ是真的，那么這句話是真的。1該語句在直觀上不應(yīng)是絕對的語句的觀點可參考王文方的文章《古普塔及貝爾納普的真理修正理論述評》（[11]）。我們認為這類病態(tài)語句之所以被斷定為絕對的語句，是因為在經(jīng)典修正真理論中修正序列不夠多。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在基模型基礎(chǔ)之上引入鄰域語義模型時，修正序列的數(shù)量會大大地增多，這些增加的修正序列能夠讓這類型語句的病態(tài)呈現(xiàn)出來。2引入規(guī)范的非經(jīng)典的賦值模式來建立修正真理論也能使得修正序列數(shù)量增多，具體可參考林其清、熊明的文章《克林強三值模式與修正過程》（[10]）。但引入鄰域語義基模型的方法可以在保持經(jīng)典賦值模式的同時增加修正序列數(shù)量。

根據(jù)前文分析可知，任意一個ω長的經(jīng)典修正序列，都能相應(yīng)地被一個滿足“對于任意n∈ω及L中語句?，M,wn+1|=T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1|=□?”的關(guān)系語義模型表示。當(dāng)我們想要把類似的結(jié)論推廣到超窮長的修正序列時，我們發(fā)現(xiàn)，用（僅有一個模態(tài)詞的）關(guān)系語義模型行不通。于是，我們從另一種路徑引入鄰域語義模型，通過對極限階段的可能世界的鄰域進行規(guī)定，使得□?在極限階段的真值能反映出?是否在該階段前穩(wěn)定真，從而使得類似的結(jié)論可以推廣到超窮長的修正序列。

2.1 基于鄰域基模型的修正序列

首先我們在基模型的基礎(chǔ)上引入鄰域基模型。由于我們僅關(guān)心對T謂詞的修正，我們假設(shè)在各個可能世界上的論域一樣，并且各個可能世界上對L中除T外的部分的解釋也一樣。

定義6(固定論域鄰域框架和固定論域鄰域模型3固定論域鄰域模型（Constant Domain Neighborhood Model）的定義可參考帕克特的介紹鄰域語義的教材（[8]）。) 給定一個語言L，稱F=〈W,N,D〉為一個固定論域鄰域框架，如果W是一個非空的可能世界集，N為從W到P(P(W))的函數(shù)，D為一個集合。稱N為鄰域函數(shù)，稱D為論域。稱M=〈F,V〉=〈W,N,D,V〉為一個固定論域鄰域模型，如果V為一個賦值函數(shù)，且對任意w∈W，〈D,V(w)〉為語言L的模型。也稱M為基于固定論域鄰域框架F上的固定論域鄰域模型。

定義7(固定論域鄰域模型的真值條件)（[8]）給定可能世界w∈W、任意L□中公式?,ψ及任意指派σ，w為由σ根據(jù)〈D,V(w)〉擴展到L的項的集合到D的函數(shù)，固定論域鄰域模型的真值條件規(guī)定如下：

定義8(鄰域基模型和鄰域假設(shè)) 設(shè)〈D,I〉為語言L的一個基模型，稱固定論域鄰域模型M=〈W,N,D,V〉為基于〈D,I〉的一個鄰域基模型，如果對任意w∈W，V(w)=I。稱函數(shù)H:W→P(Sent(L))是鄰域基模型M上的一個鄰域假設(shè)，對于任意w∈W，記H(w)為hw。若M′=〈W,N,D,V′〉，且對于任意w∈W有〈D,V′(w)〉=〈D,I〉+H(w)，則把M′記作M+H。

在經(jīng)典的修正真理論中，是在基模型的基礎(chǔ)上對謂詞T的一個假設(shè)進行修正，而在本文中，我們在鄰域基模型的基礎(chǔ)上同時對所有可能世界上的假設(shè)進行修正。我們規(guī)定一個作用在鄰域假設(shè)集HM上的修正規(guī)則δM，其中HM為鄰域基模型M上所有鄰域假設(shè)構(gòu)成的集合。為簡便起見，在不引起混淆的情況下，僅以δ表示δM。

定義9(修正規(guī)則) 給定鄰域基模型M，及任意的鄰域假設(shè)H，規(guī)定δ(H)如下：對任意L中語句?，?∈δ(H)(w)，當(dāng)且僅當(dāng)，{v∈W|M+H,v? ?}∈N(w)。

根據(jù)上述定義以及鄰域語義中的模態(tài)詞真值條件可知，對于任意一個鄰域基模型M，鄰域假設(shè)H，可能世界w∈W，及任意L中語句?：M+H,w?□?，當(dāng)且僅當(dāng)模型M+H中?為真的可能世界形成的集合是w的一個鄰域，當(dāng)且僅當(dāng)?∈δ(H)(w)，當(dāng)且僅當(dāng)M+δ(H),w?T┍?┑。

定義10(鄰域基模型修正序列) 稱一個鄰域假設(shè)的序列〈Hγ〉γ∈ON為一個全序數(shù)長的基于鄰域基模型M的修正序列，如果對于任意序數(shù)γ∈ON，有Hγ+1=δ(Hγ)；若γ是極限序數(shù)，對于任意L中語句?及M中可能世界w，若?在〈Hβ(w)〉β∈γ中穩(wěn)定地被斷定為真，則?∈Hγ(w)；若?在〈Hβ(w)〉β∈γ中穩(wěn)定地被斷定為假，則??Hγ(w)。

在不引起混淆的情況下，一個鄰域基模型修正序列也被簡稱為一個修正序列。若〈Hγ〉γ∈ON為一個修正序列，我們也把〈Hγ(w)〉γ∈ON稱為一個修正序列。類似地，我們可以定義出α長的修正序列〈Hγ〉γ∈α和〈Hγ(w)〉γ∈α。若鄰域基模型M基于基模型M，我們也把基于M的鄰域基模型修正序列稱為基于M的鄰域基模型修正序列。

定理2 任意一組全序數(shù)長的經(jīng)典修正序列，可以用一個全序數(shù)長的鄰域基模型修正序列表示；類似地，給定非零序數(shù)α，任意一組α長的經(jīng)典修正序列，可以用一個α長的鄰域基模型修正序列表示。

證明:給定基模型為〈D,I〉的一組修正序列(Sj)j∈J，J為這組修正序列的標(biāo)號集。記任一修正序列Sj的第γ階段假設(shè)為Sj(γ)，γ為任意序數(shù)。構(gòu)造基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉，其中W={wj|j∈J}，N(w)={A∈P(W)|w∈A}，構(gòu)造序列〈Hγ〉γ∈ON，使得Hγ(wj)=Sj(γ)。需證〈Hγ〉γ∈ON為基于M的修正序列。

極限階段的要求可直接通過定義得到。對于任意L中語句?，對于任意序數(shù)γ：?∈Hγ+1(wj)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈Sj(γ+1)，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Sj(γ)??，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Hγ(wj)??，當(dāng)且僅當(dāng){v∈W|M+Hγ,v??}∈N(wj)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈δ(Hγ)(wj)。故定理的第一部分得證。

類似地，可證得定理的第二部分。 □

定理3 任意一組基于基模型M的全序數(shù)長的鄰域基模型修正序列，可以用一個基于M的鄰域基模型修正序列表示；類似地，給定非零序數(shù)α，任意一組基于M的α長的鄰域基模型修正序列，可以用一個基于M的α長的鄰域基模型修正序列表示。

證明:類似于定理2的證明，僅需對這組序列中的鄰域基模型進行不交并操作。 □

給定語言L，基模型M=〈D,I〉，基于M的鄰域基模型有很多，考慮一個語句的表現(xiàn)時，不應(yīng)考慮所有基于M的鄰域基模型。因為如果基于M的某個鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉上的某個可能世界w的其中一個鄰域為空集，那么無論我們以任意鄰域假設(shè)H0作為初始假設(shè)構(gòu)建的任意修正序列〈Hγ〉γ∈ON，L中的邏輯矛盾式（例如φ∧?φ，φ為L中語句）都會在序列〈Hγ(w)〉γ∈ON上穩(wěn)定地被斷定為真。這不是我們想要的結(jié)果，所以我們要求M中不存在這樣的可能世界。假設(shè)我們期望L中的邏輯有效式（例如φ∨?φ，φ為L中語句）在我們考慮的修正序列上都穩(wěn)定地被斷定為真，那么必須要求W為所有可能世界的一個鄰域，即對任意w∈W，有W∈N(w)。除此之外，對任意鄰域假設(shè)H，任意可能世界w，若想使得δ(H)(w)為一個一致的假設(shè)，可要求N(w)滿足有窮交非空的性質(zhì)。

定義11(MM) 任給基模型M，定義基于M的鄰域基模型的類MM如下：任給基于M的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉，M在模型類MM中，當(dāng)且僅當(dāng)對任意w∈W有W∈N(w)且N(w)滿足有窮交非空性質(zhì)。

推論1 任意一組全序數(shù)長的基于基模型M的經(jīng)典修正序列，可以用一個基于MM中的鄰域基模型的修正序列表示；任意一組基于MM中的鄰域基模型的修正序列，可以用一個基于MM中的鄰域基模型的修正序列表示。類似地，任給非零序數(shù)α：任意一組基于基模型M的α長的經(jīng)典修正序列，可以用一個基于MM中的鄰域基模型的α長的修正序列表示；任意一組基于MM中的鄰域基模型的α長的修正序列，可以用一個基于MM中的鄰域基模型的α長的修正序列表示。

定義12(絕對真/絕對假/病態(tài)語句) 給定真語言L，基模型M=〈D,I〉及L中語句?，若對任意M∈MM，任意基于M的修正序列〈Hγ〉γ∈ON，任意M中可能世界w，?都在〈Hγ(w)〉γ∈ON中穩(wěn)定地被斷定為真，則稱?是絕對真的語句；若對任意M∈MM，任意基于M的修正序列〈Hγ〉γ∈ON，任意M中可能世界w，?都在〈Hγ(w)〉γ∈ON中穩(wěn)定地被斷定為假，則稱?是絕對假的語句；否則，稱?是病態(tài)的語句。

若L中含有常元符g，容易驗證g=g，T┍g=g┑，……這些直觀上真的語句都是絕對真的，而g≠g，T┍g≠g┑，……這些直觀上假的語句則都是絕對假的。L中的邏輯有效式都是絕對真的；L中的邏輯矛盾式都是絕對假的。根據(jù)推論1可知，這里分析一個語句的表現(xiàn)所考慮的修正序列比經(jīng)典修正真理論所考慮的修正序列更多，經(jīng)典修正序列構(gòu)成的類是這里所考慮的修正序列構(gòu)成的類的真子類。故這個定義下絕對真的語句，也是經(jīng)典修正真理論中的絕對真的語句；這個定義下絕對假的語句，也是經(jīng)典修正真理論中的絕對假的語句。

例1(柯瑞悖論的逆命題) L是含有兩個非引用常元符a,b的真語言。〈D,I〉為真語言L的基模型，且I(a)=?Ta，I(b)=Ta→Tb。考慮語句Ta→Tb。在經(jīng)典的修正真理論中，語句Ta→Tb在任意修正序列中均穩(wěn)定真，故經(jīng)典的修正真理論斷定Ta→Tb為絕對真。

我們構(gòu)造如下的鄰域基模型：M=〈W,N,D,V〉，其中W={u,v,w,z}；N(u)={{u},{u,w},W}，H0(u)={I(a)}；N(v)={{v},{v,z},W}，H0(v)=?；N(w)={{u,w},{v,w},{u,w,z},W}，H0(w)={I(a),I(b)}；N(z)= {{u,z},{v,z},{v,w,z},W}，H0(z)=?。

以H0為初始鄰域假設(shè)構(gòu)造修正序列，在每個極限階段，在任意可能世界上，對至該極限階段不穩(wěn)定的語句的斷定均與初始階段相同。所得的修正序列如下：

語句Ta→Tb在修正序列〈Hγ(u)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(v)〉γ∈ON中穩(wěn)定假；在修正序列〈Hγ(w)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(z)〉γ∈ON中不穩(wěn)定。由此我們看出柯瑞悖論的逆命題不是絕對真的語句，而是一個病態(tài)的語句。

庫克在[2]中提出了一組語句S1-S4，這組語句有唯一一組一致的真值指派，但經(jīng)典修正真理論中這些語句都屬于病態(tài)的語句。因此庫克認為這組語句說明了“古普塔和貝爾納普的修正真理論在捕捉直觀上的真概念上并不如我們想的那么成功?！保╗2]，第22頁）同年，克萊默在[7]中對庫克提出的反例進行了回應(yīng)。他認為S1-S4雖然有唯一一組一致真值指派，但卻是病態(tài)的?？巳R默分析了這些語句病態(tài)的原因，同時也解釋了為什么這組語句能有一致真值指派。因此，克萊默認為“修正真理論把庫克的四個語句S1-S4看作是病態(tài)的而不是悖論的語句是正確的，而存在唯一一組與塔斯基條件句一致的真值指派只是這些語句的病態(tài)性恰好能夠相互取消的副產(chǎn)品?！保╗7]，第336頁）之后，庫克在[3]中提出了另一組語句這組語句同樣具有克萊默分析S1-S4時所指出的病態(tài)，但在修正真理論中卻屬于絕對的語句。所以庫克認為，克萊默所認為的S1-S4是病態(tài)語句的理由不充分。因而庫克得出結(jié)論“修正真理論的擁護者仍然欠我們一個關(guān)于是什么使得S1-S4是病態(tài)語句的解釋，并且該解釋須與有確定真值的事實相一致。”（[3]，第261頁）

我們構(gòu)造如下的鄰域基模型：M=〈W,N,D,V〉，其中W={u,v,w,z}；N(u)={{u},{u,v,z},W}，H0(u)={I(b)}；N(v)={{v},{v,w,z},W}，H0(v)={I(a)}；N(w)={{w},{u,w,z},W}，H0(w)=?；N(z)={A∈P(W)|z∈A}，H0(z)={I(a)}。

以H0為初始鄰域假設(shè)構(gòu)造修正序列，在每個極限階段，在任意可能世界上，對至該極限階段不穩(wěn)定的語句的斷定均與初始階段相同。所得的修正序列如下：

語句Ta??Tb和語句Ta?Tb，在修正序列〈Hγ(u)〉γ∈ON、〈Hγ(v)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(w)〉γ∈ON中均不穩(wěn)定。由此我們看出這組語句不是絕對的語句，而是病態(tài)的語句。

這個結(jié)論支持了庫克的觀點，修正真理論在真概念的描述問題上并不如我們所想的那么成功；也支持了克萊默所提出的斷定語句為病態(tài)語句的標(biāo)準(zhǔn)。

類似于前文序列模型和修正序列模型的定義，我們可以給出相應(yīng)的定義用以表示ω長的鄰域基模型修正序列。

定義函數(shù)?W:P(P(W))→P(P(W))，使得對任意S?P(W)，

對于任意集合A及元素w∈A，任意序數(shù)集B及序數(shù)β∈B，以下列記號簡記相應(yīng)的集合：[A]β=df{vβ|v∈A}；w[B]=df{wα|α∈B}；[A][B]=df{wα|w∈A,α∈B}。

定義13(鄰域基序列模型) 給定一個真語言L，給定一個基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉及M上的鄰域假設(shè)H，稱N=M+H為一個鄰域基序列模型，如果存在基于〈D,I〉的鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉，使得：

也稱N為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的鄰域基序列模型。

定義14(鄰域基修正序列模型) 稱鄰域基序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個鄰域基修正序列模型，如果對于任意n∈ω,w∈WB及任意L中語句?有：N,wn+1?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wn+1?□?。

若N=〈W,N,D,V〉+H為一個基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的鄰域基修正序列模型，對于任意n∈ω，定義函數(shù)Hn:WB→P(Sent(L))，使得對任意w∈WB：Hn(w)=H(wn)。如果〈Hn〉n∈ω是一個基于〈WB,N0,D,VB〉的ω長的修正序列，則稱N表示了這個修正序列。

定理4 一個鄰域基修正序列模型表示了一個ω長的鄰域基模型修正序列；給定一個ω長的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個鄰域基修正序列模型表示該修正序列。

若M=〈W,R,D,I,H〉是一個基于〈D,I〉的序列模型，N=〈W,N,D,V〉+H是基于〈D,I〉的鄰域基序列模型。若對任意指派σ、任意w∈W及任意L□中公式?，有M,w?σ?當(dāng)且僅當(dāng)N,w?σ?，則稱N表示了M。

定理5 所有的序列模型均能被一個鄰域基序列模型表示；特別地，所有的修正序列模型均能被一個鄰域基修正序列模型表示。

證明:給定任意序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}。

構(gòu)造鄰域基序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，其中〈WB,N0,D,VB〉為基于〈D,I〉的鄰域基模型，對任意w∈WB，N0(w)={A∈P(WB)|w∈A}，且對任意n∈ω有，(wn+1,v)∈R?v∈B}。由關(guān)系語義與鄰域語義之間的關(guān)系可知，對任意指派σ和任意L□中公式?，有M,w?σ?當(dāng)且僅當(dāng)N,w?σ?。特別地，根據(jù)定義，若M為修正序列模型，則N為鄰域基修正序列模型。 □

2.2 不同種類修正序列對應(yīng)的模型類

我們希望在定義3的基礎(chǔ)上增加表示ω階段的可能世界wω。在線性修正序列模型的定義中，由于wn+1的唯一后繼是wn，故對任意L中語句?，?在wn上為真當(dāng)且僅當(dāng)□?在wn+1上為真?！?在n+1階段上的真值恰好反映出?在n階段的真值，所以可以通過□?在n+1階段的真值來規(guī)定n+1階段T的外延。但在關(guān)系語義中，（僅有一個模態(tài)詞時）一個可能世界僅擁有一個唯一的后繼集，在經(jīng)典的修正序列中，語句在極限階段是否屬于T謂詞的外延取決于語句的“穩(wěn)定性”（我們暫時考慮赫茲伯格的H-極限規(guī)則，即極限階段T謂詞的外延僅包含穩(wěn)定真的語句）。在ω階段，無論是W={wn|n∈ω+1}的哪個子集作為wω的后繼，都無法使得“對任意L中語句?，□?在wω上為真當(dāng)且僅當(dāng)?至ω階段之前穩(wěn)定真”成立。而引入鄰域語義則可以很好地解決這個問題。不妨令A(yù)為所有ω的“ω余有界”的子集（一個ω的子集是ω余有界，是指其在ω中的補集是在ω中有界的），即A={A∈P(ω)|sup(ω?A)＜ω}（對任意一個序數(shù)集B，sup(B)為：在全序數(shù)構(gòu)成的類ON中，在嚴格偏序“＜”下，序數(shù)集B的上確界）。令wω的鄰域集合為N(wω)=?W{w[A]|A∈A}。對任意L中語句?，□?在wω上為真，當(dāng)且僅當(dāng)，存在A∈A使得?在w[A]上均為真，由于A∈A是ω余有界的，所以當(dāng)且僅當(dāng)?在ω階段前穩(wěn)定真。故□?在wω上的真值可以反映?是否至ω階段前穩(wěn)定真。同理，□??在wω上的真值可以反映?是否至ω階段前穩(wěn)定假，即：□??在wω上為真當(dāng)且僅當(dāng)?至ω階段前穩(wěn)定假。對任意自然數(shù)n＞0，為了使得□?在n階段的真值可以反映?在n?1階段的真值，須把N(wn)規(guī)定為由{wn?1}生成的主超濾，而?W({w[A]|A?n,sup(n?A)＜n})恰好是由{wn?1}生成的主超濾，故令N(wn)=?W({w[A]|A?n,sup(n?A)＜n})。有了這些規(guī)定，我們就可以通過在一個階段（對應(yīng)的可能世界）中□?的真值來規(guī)定T在該階段（對應(yīng)的可能世界）的外延，從而使得滿足這些限制條件的模型可以刻畫一個相應(yīng)的ω+1長的修正序列。這種規(guī)定可以推廣到任意超窮序數(shù)α上。

定義15(鄰域序列模型)給定基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉及鄰域假設(shè)H，稱N=M+H為基于〈D,I〉的一個α長的鄰域序列模型（α＞0），如果：

在鄰域序列模型中：對于任意0＜γ∈α的可能世界wγ，N(wγ)是W 上的一個濾子；當(dāng)γ為一個后繼序數(shù)時，N(wγ)是一個由{wγ?1}生成的主超濾，并且是擴張的。

定義16(H-修正序列模型) 稱α長的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個α長的H-修正序列模型，如果對任意0＜γ∈α，任意L中語句?有：N,wγ?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ?□?。

定理6 任給非零序數(shù)α，任意α長的H-修正序列模型均表示一個α長的H-修正序列；任給一個α長的H-修正序列，可以構(gòu)造一個α長的H-修正序列模型表示它。

證明:給定α長的H-修正序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，根據(jù)N的定義，對任意β+1∈α，τ(H(wβ))=H(wβ+1)；對任意極限序數(shù)β∈α，?∈H(wβ)當(dāng)且僅當(dāng)?至β階段前穩(wěn)定真。對任意β∈α，令hβ=H(wβ)，則〈hγ〉γ∈α為α長的H-修正序列。

給定α長的H-修正序列〈hγ〉γ∈α，可以構(gòu)造α長的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，使得對任意β∈α，H(wβ)=hβ。需證N為α長的H-修正序列模型。

對任意β+1∈α，任意L中語句?：N,wβ+1?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈hβ+1，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+hβ??，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ??，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ+1?□?。對任意極限序數(shù)β∈α，任意L中語句?：N,wβ?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈hβ，當(dāng)且僅當(dāng)?至β階段前穩(wěn)定真，當(dāng)且僅當(dāng){v∈W|M,v??}∈N(wβ)，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ?□?。故N為一個α長的H-修正序列模型。 □

我們可以把一些固定論域鄰域框架上的一些結(jié)論，用于分析H-修正序列模型及后文將要定義的各種修正序列模型中語句的表現(xiàn)。首先我們引用如下的一些關(guān)于固定論域鄰域框架的結(jié)論。

定理7 給定任意固定論域鄰域框架F=〈W,N,D〉及任意可能世界w∈W，有：

?F滿足RE規(guī)則：φ???□φ?□?；

?N(w)向上封閉，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理模式M：□(φ∧ψ)→(□φ∧□ψ)；

?N(w)有窮交封閉，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理模式C：(□φ∧□ψ)→□(φ∧ψ)；

?W∈N(w)，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理N：□?；

?N(w)為一個W上的濾子，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理系統(tǒng)K（即EMCN）；

?若N(w)是擴張的（濾子且任意交封閉），則(F,w)滿足公理模式BF：?x□φ(x)→□?xφ(x)。

證明:具體證明可參考帕克特的介紹鄰域語義的教材（[8]）。 □

給定一個α長的H-鄰域序列模型N，可知：對任意后繼序數(shù)β∈α，N(wβ)都是擴張的，所以K+BF系統(tǒng)中的定理在這些可能世界上均為真；而對于極限序數(shù)β∈α，N(wβ)不再是擴張的而只是濾子，所以只能保證K系統(tǒng)中的定理在其上為真。

例3(H-修正序列模型ω階段不滿足公理模式BF的例子) L為包含一元謂詞符P、二元謂詞符Q、常元符、一元函數(shù)符s的真語言。歸納定義如下：對任意自然數(shù)n，歸納定義如下：對任意自然數(shù)m,n，若n=m+1＞1，則。L的基模型〈D,I〉滿足I(s)|ω為ω上的后繼函數(shù)。可知〈I(P),I(s)〉為皮亞諾算術(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)模型。令ψ(x)=df?y(Q(x,y)∧T(y))，φ(x)=dfP(x)→ψ(x)，現(xiàn)考慮公式：?x□φ(x)→□?xφ(x)。

考慮基于〈D,I〉的ω+1長的H-修正序列模型N，其中H(w0)=?。容易驗證，對于任意兩個自然數(shù)i,j，當(dāng)且僅當(dāng)i＜j，所以對于任意自然數(shù)i，故對任意指派σ，有N,wω?σ□φ(x)。但是，對任意自然數(shù)j，?xφ(x)H(wj)，所以N,wω□?xφ(x)，因而N,wω?x□φ(x)→□?xφ(x)。故存在ω階段不滿足公理模式BF的H-修正序列模型。

若對定義16中的鄰域函數(shù)或者□與真謂詞T之間的關(guān)系進行調(diào)整，我們可以定義出用以表示不同類型修正序列的不同的模型類。

一個B-修正序列是一個MCS-修正序列，當(dāng)且僅當(dāng)，該序列在任意階段的假設(shè)均為真語言L的極大一致語句集。

定義17(MCS-修正序列模型) 稱固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個α長的MCS-修正序列模型，如果存在一個α長的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得，H(w0)為真語言L的極大一致語句集，且對任意0＜γ∈α，任意L中語句?有：

因為任意一個濾子可以擴張成一個超濾，所以該定義是一個良定義。

定理8 任給非零序數(shù)α，任意α長的MCS-修正序列模型均表示一個α長的MCS-修正序列；任給一個α長的MCS-修正序列，可以構(gòu)造一個α長的MCS-修正序列模型表示它。

證明:給定α長的MCS-修正序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，根據(jù)N的定義，對任意0＜β∈α，N(wβ)是W上的超濾，故H(wβ)為L的極大一致集。若β=γ+1∈α，則由定義可得τ(H(wγ))=H(wβ)；若β為極限序數(shù)且β∈α，顯然H(wβ)包含所有至β階段前穩(wěn)定真的語句，并且，對任意H(wβ)中語句?有：?至β階段前并非穩(wěn)定假（若?至β階段前穩(wěn)定假，則??至β階段前穩(wěn)定真，因而??∈H(wβ)，這與H(wβ)為極大一致集矛盾）。令hβ=H(wβ)，則〈hγ〉γ∈α為α長的MCS-修正序列。

給定α長的MCS-修正序列〈hγ〉γ∈α，構(gòu)造α長的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得對于任意β∈α，H(wβ)=hβ，然后構(gòu)造固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+H，使得：

1.對任意后繼序數(shù)β∈α，N(wβ)=N′(wβ)，顯然N(wβ)為W上的超濾；

2.對任意極限序數(shù)β∈α，N(wβ)為W上的超濾，滿足：N(wγ)?N′(wγ)，且對任意hβ中語句?，{wγ|N,wγ??}∈N(wβ)。

需證，對任意極限序數(shù)β∈α，條件2中的超濾N(wβ)存在，且N為α長的MCS-修正序列模型?？紤]集合A=N′(wγ)∪{{wγ|N,wγ??}|?∈hβ}。由于hβ為極大一致集，且hβ中的語句都不會至β階段前穩(wěn)定假，所以集合A滿足有窮交非空性質(zhì)。故存在滿足條件的超濾(wβ)。

證明N為α長的MCS-修正序列模型時，后繼階段的情況與定理6的證明類似。對于極限序數(shù)β∈α，對任意L中語句?，顯然N,wβ?T┍?┑?N,wβ□?。另一方面，N,wβT┍?┑??hβ???∈hβ?N,wβ?□???N,wβ□?。故N為α長的MCS-修正序列模型。 □

定義18(B-修正序列模型) 稱α長的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個α長的B-修正序列模型，如果對任意γ∈α，任意L中語句?有：

1.若N,wγ?□?，則N,wγ?T┍?┑；

2.若N,wγ?□??，則N,wγ??T┍?┑。

對于N,wγ/□?且N,wγ□??的情況，B-修正序列模型并不要求?是否屬于wγ上T謂詞的外延。

定理9 任給非零序數(shù)α，任意α長的B-修正序列模型均表示一個α長的B-修正序列；任給一個α長的B-修正序列，可以構(gòu)造一個α長的B-修正序列模型表示它。

證明:證明過程與定理6的證明類似。 □

在α長的B-修正序列模型中，不再滿足“對任意序數(shù)0＜γ∈α及L中語句?，N,wγT┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ□?”這個限制，為方便起見，后文將把這個限制稱為“□～T”限制。如果保留該限制，那么可以通過放寬對鄰域函數(shù)N的要求，以獲得一些其他類型的模型。下面按照這個思路給出E-修正序列模型的定義。

定義19(E-修正序列模型) 稱固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+H為一個α長的E-修正序列模型，如果存在一個α長的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得，對任意0＜γ∈α，任意L中語句?有：

E-修正序列模型在保留了“□～T”限制的情況下放寬了對鄰域函數(shù)N的要求。我們把一個α長的E-修正序列模型對應(yīng)的α長的序列〈hwγ〉γ∈α稱為一個α長的E-修正序列。在E-修正序列模型的定義中，N′(wγ)?N(wγ)可以保證在E-修正序列中：至一個極限階段之前穩(wěn)定地被斷定為真的語句一定在該階段的T謂詞的外延中。而N(wγ)??W({w[A]|A?γ,sup(A)+1≥γ})則保證了：至一個極限階段之前穩(wěn)定地被斷定為假的語句一定不在該階段的T謂詞的外延中；對于后繼階段，一個L中語句在該階段的T的外延中，當(dāng)且僅當(dāng)該語句在該階段的前繼階段為真。整體而言，條件2保證了任意一個E-修正序列均是一個B-修正序列。

相比B-修正序列，E-修正序列在極限階段增加了一個額外要求：對任意L中語句φ,ψ，如果這兩個語句在經(jīng)典邏輯中等價，那么在極限階段中對這兩個語句的真假斷定必須相同。B-修正序列并不需要滿足這個要求，所以上文模擬B-修正序列時需要放寬“□～T”限制。

需注意，在α長的E-修正序列模型中，當(dāng)γ∈α為極限序數(shù)時，N(wγ)不一定是濾子，所以無法保證wγ滿足系統(tǒng)K系統(tǒng)中的定理。

例4(E-修正序列模型ω階段不滿足公理模式C的例子) L為包含常元符a,b的真語言。L的基模型〈D,I〉滿足：I(a)=?Ta，I(b)=Ta?，F(xiàn)考慮語句：(□?Ta∧□Ta)→□(?Ta∧Ta)。

考慮ω+1長的E-修正序列模型N，其中H(w0)={I(a),I(b)}，N(wω)=?W({w[A]|A?ω,sup(A)=ω})。容易驗證，對任意自然數(shù)i＞0，I(a)∈H(wi)當(dāng)且僅當(dāng)I(a)?H(wi+1)當(dāng)且僅當(dāng)I(b)∈H(wi+1)，進而可得N,wω?□?Ta且N,wω?□Ta。另一方面，對任意自然數(shù)i＞0，?Ta∧Ta?H(wi)，所以N,wω□(?Ta∧Ta)。從而有N,wω/(□?Ta∧□Ta)→□(?Ta∧Ta)。故存在ω階段不滿足公理模式C的E-修正序列模型。

值得注意的是，在E-修正序列模型N的ω階段中，形如(T┍φ┑∧T┍ψ┑)→T┍φ∧ψ┑的語句不一定為真，即在ω階段時T的外延并不對合取封閉。

例5(E-修正序列模型ω階段不滿足公理模式M的例子) L為包含常元符a,b的真語言。L的基模型〈D,I〉滿足：I(a)=?Ta，I(b)=Ta。現(xiàn)考慮公式□(Ta∧?Tb)→(□Ta∧□?Tb)。

考慮ω+1長的E-修正序列模型N，其中H(w0)={I(a),I(b)}，N(wω)=?W({w[A]|A?ω,sup(A)=ω,0/A}∪{w[A]|A?ω,sup(ω?A)＜ω})。與例4分析類似，可知N,wω□Ta、N,wω?□?Tb、N,wω?□(Ta∧?Tb)。從而有N,wω□(Ta∧?Tb)→(□Ta∧□?Tb)。故存在ω階段不滿足公理模式M的E-修正序列模型。

值得注意的是，在E-修正序列模型N 的ω階段中，形如T┍φ∧ψ┑→(T┍φ┑∧T┍ψ┑)的語句不一定為真，即在ω階段時T的外延并不對經(jīng)典邏輯后承封閉。

對于公理N，由于?在任意可能世界上為真，且對任意非零序數(shù)β∈α，有W ∈N(wβ)，所以公理N在除初始階段外的任意階段相應(yīng)的可能世界上均為真。

另外一個需要模擬的重要修正序列類為G-修正序列。在模擬G-修正序列時，由于G-修正序列在極限階段不一定滿足“對任意L中語句φ,ψ，如果這兩個語句在一階邏輯中等價，那么在極限階段中對這兩個語句的真假斷定必須相同”這個要求。所以與B-修正序列類似，在定義G-修正序列模型時，需放寬“□～T”限制。

定義20(G-修正序列模型) 稱α長的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個α長的G-修正序列模型，如果對任意0＜γ∈α，任意L中語句?有：

定理10 任給非零序數(shù)α，任意α長的G-修正序列模型均表示一個α長的G-修正序列；任給一個α長的G-修正序列，可以構(gòu)造一個α長的G-修正序列模型表示它。

證明:證明過程與定理6的證明類似。 □

3 整體修正序列模型

通過上文的分析可知，對于任意的非零序數(shù)α，任給一個α長的經(jīng)典修正序列，可以構(gòu)造一個鄰域語義模型表示它。類似地，對于任意α長的鄰域基模型修正序列，也可以構(gòu)造一個鄰域語義模型表示它。

定義21(整體模型與整體假設(shè)) 給定一個真語言L的基模型〈D,I〉，任給非零序數(shù)α。稱模型M=〈W,N?,N+,D,V〉為一個α長的整體模型，如果存在基于〈D,I〉的鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉，使得W={wβ|w∈WB,β∈α}，且對任意序數(shù)γ∈α、任意w∈WB，有：

也稱M為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體模型。

給定α長的整體模型M=〈W,N?,N+,D,V〉，若H為由W到P(Sent (L))的函數(shù)，則稱H為M上的整體假設(shè)。若模型M′=〈W,N?,N+,D,V′〉，且對任意u∈W，〈D,V′(u)〉=〈D,V(u)〉+H(u)，則稱把M′記作M+H。

定義22(整體序列模型) 若M為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體模型，H為M上的整體假設(shè)，則稱N=M+H為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體序列模型，或簡稱α長的整體序列模型。

此處N為一個雙模態(tài)詞的固定論域鄰域模型，故N上真值條件應(yīng)為雙模態(tài)詞的鄰域語義模型的真值條件。其中，鄰域函數(shù)N?對應(yīng)的模態(tài)詞記作□?，鄰域函數(shù)N+對應(yīng)的模態(tài)詞記作□+。我們?nèi)园袻增加了模態(tài)詞□?和模態(tài)詞□+所得的語言記作L□。

可知，當(dāng)WB為單元集{w}且N0(w)={WB}時，定義21中的條件2和條件3將分別等價于如下兩個條件：

定義23(整體修正序列模型) 稱一個基于〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體序列模型N為一個α長的整體修正序列模型，如果對于任意序數(shù)γ∈α、w∈WB及任意L中語句?有：

可知在一個整體修正序列模型中，當(dāng)WB為單元集{w}且N0(w)={WB}時，對于任意序數(shù)γ∈α、w∈WB及任意L中語句?有：N,wγ?□???當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ??□+?。這一點恰是上一章中的定義不需要給出兩個鄰域函數(shù)的原因。

定理11(整體修正序列模型定理) 任給非零序數(shù)α，任意一個α長的整體修正序列模型均表示一個α長的鄰域基模型修正序列；任給一個α長的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個整體修正序列模型表示它。

證明:定理11的證明過程類似于定理4，第一個命題中，相應(yīng)需要證明的是〈Hγ〉γ∈α為一個α長的鄰域基模型修正序列。后繼階段情形的證明和定理4證法相同，極限階段情形的證明可通過定義21中的條件3得到。第二個命題中，相應(yīng)需要證明的是：對任意γ∈α、w∈WB及L中語句?，若N,wγ□??，則N,wγ?T┍?┑；若N,wγ□+?，則N,wγ?T┍?┑。γ=0時顯然，后繼階段情形的證明和定理4證法類似，極限階段情形的證明可通過定義21中的條件3得到。 □

目前為止定義的各種序列模型和各種修正序列模型都要求給出特定的長度非零序數(shù)α，未能表示全序數(shù)長的修正序列，故我們需要拓展我們之前的定義，使之能夠表示全序數(shù)長的修正序列。不同于α長的序列模型，全序數(shù)長的“序列模型”需要一個真類作為“可能世界集”，相應(yīng)的一個可能世界的鄰域也可能是一個真類。所以在定義全序數(shù)長的“序列模型”并定義真值條件時，我們避免直接沿用固定論域鄰域模型的定義。首先我們給出初始片段的定義。

定義24(初始片段) 給定任意兩個非零序數(shù)α＜β，并且模型Nα=〈Wα,N?α,N+α,D,Vα〉+Hα為基于〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體序列模型，模型Nβ=〈Wβ,N?β,N+β,D,Vβ〉+Hβ為基于〈WB,N0,D,VB〉的β長的整體序列模型。稱Nα為Nβ的初始片段，記作NαNβ，如果：對于任意w∈WB, γ∈α：Hα(wγ)=Hβ(wγ)。

根據(jù)定義可知，若Nα為基于〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體序列模型，Nβ為基于〈WB,N0,D,VB〉的β長的整體序列模型，且NαNβ，則對于任意w∈WB,γ∈α，有根據(jù)鄰域語義的真值條件可知，對于任意w∈WB、γ∈α、L□中公式?及任意指派σ，有Nα,wγσ?當(dāng)且僅當(dāng)Nβ,wγσ?。

定理12 任給非零序數(shù)α，對任意0＜γ∈α，Nγ為基于〈WB,N0,D,VB〉的γ長的整體修正序列模型，且對任意0＜β＜β′∈α，有NβNβ′。則存在基于〈WB,N0,D,VB〉的α長的整體修正序列模型Nα，使得：對任意0＜γ∈α，有NγNα。

證明:給定一個非零序數(shù)α，對任意0＜γ∈α，Nγ為基于〈WB,N0,D,VB〉的γ長的整體修正序列模型。根據(jù)定理11，Nγ表示了一個γ長的鄰域基模型修正序列，記為Sγ。對任意0＜β＜β′∈α，由NβNβ′可得Sβ=Sβ′|β。故存在α長的鄰域基模型修正序列Sα，使得對任意0＜γ∈α，Sγ=Sα|γ。再次根據(jù)定理11，存在一個α長的整體修正序列模型Nα表示修正序列Sα，根據(jù)初始片段的定義可知，對于任意0＜γ∈α，有NγNα。 □

定義25(全序數(shù)長的整體序列模型/整體修正序列模型) 給定一個全序數(shù)長的由基于〈WB,N0,D,VB〉的整體序列模型構(gòu)成的序列〈Nγ〉0＜γ∈ON，且對任意非零序數(shù)α＜β，均有NαNβ。稱為一個全序數(shù)長的整體序列模型，如果：

若每個Nγ(0＜γ∈ON)均為整體修正序列模型，則稱NON為全序數(shù)長的整體修正序列模型。

該定義中的模型的“可能世界集”變成了一個真類，鄰域函數(shù)也變成了類函數(shù)，所以不能直接沿用固定論域鄰域模型的真值條件定義，但是根據(jù)“對任意非零序數(shù)α＜β，均有NαNβ”這個條件，我們可以給出全序數(shù)長整體序列模型的真值條件如下。

定義26(全序數(shù)長的整體序列模型的真值條件) 給定全序數(shù)長的整體序列模型NON，規(guī)定真值條件如下，對任意序數(shù)β∈ON，任意w∈WB，任意L□中公式?，任意指派σ：

推論2 任意一個全序數(shù)長的整體修正序列模型，均表示一個全序數(shù)長的鄰域基模型修正序列；任給一個（或一組）全序數(shù)長的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個全序數(shù)長的整體修正序列模型表示它。

推論3 任給一個（或一組）全序數(shù)長的經(jīng)典修正序列，可以構(gòu)造一個全序數(shù)長的整體修正序列模型表示它。

至此，我們整合了第二部分內(nèi)容中引入鄰域語義研究修正真理論的兩個不同路徑，得到了整體修正序列模型類。該模型類中的模型可以用于表示任意一個或一組基于某個基模型M的經(jīng)典修正序列或鄰域基模型修正序列。

參考文獻

[1] A.Chapuis,1996,“Alternative revision theories of truth”,Journal of Philosophical Logic,25(4):399–423.

[2] R.T.Cook,2002,“Counterintuitive consequences of the revision theory of truth”, Analysis,62(273):16–22.

[3] R.T.Cook,2003,“Still counterintuitive:A reply to Kremer”,Analysis,63(279):257–261.

[4] A.Gupta,1982,“Truth and paradox”,Journal of Philosophical Logic,11(1):1–60.

[5] A.Gupta and N.D.Belnap,1993,The Revision Theory of Truth,Mit Press.

[6] H.G.Herzberger,1982,“Notes on naive semantics”,Journal of Philosophical Logic, 11(1):61–102.

[7] M.Kremer,2002,“Intuitive consequences of the revision theory of truth”,Analysis, 62(4):330–336.

[8] E.Pacuit,2007,Neighborhood Semantics for Modal Logic:An Introduction.

[9] A.M.Yaqūb,1993,The liar speaks the truth:A defense of the revision theory of truth, Demand:Oxford University.

[10] 林其清，熊明，“克林強三值模式與修正過程”，世界哲學(xué)，2016年第4期，第152–159頁。

[11] 王文方，“古樸塔及貝爾那普的真理修正理論述評”，歐美研究，2006年第36卷第1期，第75–120頁。

[12] 熊明，塔斯基定理與真理論悖論，2014年，北京：科學(xué)出版社。

（責(zé)任編輯：任天鴻）

Neighborhood Semantics and the Revision Theory of Truth

Qiqing Lin
School of Politics&Administration,South China Normal University
linqiqing@foxmail.com
Xiaolong Liang
Institute of Logic and Cognition,Sun Yat-sen University
lianghillon@gmail.com

B81

A

2016-12-20

Gupta and Herzberg proposed the Revision Theory of Truth in 1982.They constructed revision sequences which can be used to analyze the concept of truth and related paradoxes.The Revision Theory of Truth classifies sentences according to their behavior in all revision sequences.The Revision Theory of Truth is unsatisfactory in the classification of some sentences.For example,The Revision Theory of Truth classifies the inverse proposition of Curry’s Paradox as categorical truth.This is considered as counterintuitive by some logicians.We will introduce the Neighborhood Semantics from two Paths to study the Revision Theory of Truth.First,we introduce neighborhood groundmodelsbasingongroundmodelsandconstructneighborhoodgroundmodelrevision sequences.The number of neighborhood ground model revision sequences is larger than that of classical revision sequences.The increased revision sequences can show that some sentence are pathological,such as the inverse proposition of Curry’s Paradox. Second,we introduce neighborhood semantics models such that,for any sentence without modality,the truth value of□? at successor stage can reflect the truth value of ? at the previous stage,and the truth value of□? at limit stage can reflect stability of ? before that stage.Hence,we can define different classes of models to represent different kinds of revision sequences,by putting different constraints on the relation between the truth values of T┍?┑and□?.We will integrate these two paths in the end of this paper. Andwewilldefineuniverserevisionsequencemodelstorepresentneighborhoodground model revision sequences.These two paths will be integrated in the end of this paper. We define universe revision sequence models to represent neighborhood ground model revision sequences.