高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在函數(shù)思想上的體現(xiàn)

趙麗麗

（赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在函數(shù)思想上的體現(xiàn)

趙麗麗

（赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

作為一名優(yōu)秀的教師，只具備高中數(shù)學(xué)所涉及的知識(shí)，那是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，為了能更好的理解和滲透中學(xué)數(shù)學(xué)的教材，這就要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師利用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)，用高等數(shù)學(xué)的思想方法、理論依據(jù)一眼看穿中學(xué)數(shù)學(xué)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際，運(yùn)用中學(xué)生可以接受的方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與解題.從中學(xué)數(shù)學(xué)與《數(shù)學(xué)分析》教材的分析來(lái)看，函數(shù)部分所占比例較大，可以說(shuō)函數(shù)思想像一雙無(wú)形的手拉近了高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的距離，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般的將中學(xué)數(shù)學(xué)推向高等數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)思想；函數(shù)思想；問(wèn)題

《數(shù)學(xué)分析》的研究對(duì)象是函數(shù)，具體內(nèi)容包括：一元函數(shù)的極限，一元函數(shù)微積分，實(shí)數(shù)的連續(xù)性，無(wú)窮級(jí)數(shù)與含參變量積分，多元函數(shù)微積分等.中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容：集合與簡(jiǎn)易邏輯，函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，不等式，極限，導(dǎo)數(shù)，復(fù)數(shù)，排列、組合、二項(xiàng)式定理，概率統(tǒng)計(jì)以及解析幾何部分，這些問(wèn)題屬于《數(shù)學(xué)分析》，《概率統(tǒng)計(jì)》，《解析幾何》等數(shù)學(xué)分支，但在教材更多的是講述辦法，理論上的敘述要求的不是十分嚴(yán)謹(jǐn)，但是對(duì)更好的理解和滲透中學(xué)數(shù)學(xué)教材，這就要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師利用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)，用高等數(shù)學(xué)的思想方法、理論依據(jù)一眼看穿中學(xué)數(shù)學(xué)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際，運(yùn)用中學(xué)生可以接受的方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與解題.

從中學(xué)數(shù)學(xué)與《數(shù)學(xué)分析》教材的分析來(lái)看，函數(shù)部分所占比例較大，可以說(shuō)函數(shù)思想像一雙無(wú)形的手拉近了高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的距離，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般的將中學(xué)數(shù)學(xué)推向高等數(shù)學(xué).

我們?cè)加羞^(guò)這樣的困惑：題目講的很多，但是學(xué)生都是在模仿解題，老師只要稍一改變則不知所措，究其原因在于學(xué)習(xí)中僅僅就題論題，見(jiàn)子打子，并沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)隱含與數(shù)學(xué)問(wèn)題探索中的數(shù)學(xué)思想方法.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)中授之以“漁”比授之以“魚(yú)”更為重要；即要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法方面的知識(shí)，逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)，這樣在遇到同類問(wèn)題時(shí)才能從容對(duì)待.

所謂數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的.一般來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱為數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱為數(shù)學(xué)方法.而中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想如下：兩大“基石”思想：符號(hào)化與變?cè)硎荆〒Q元思想、方程思想、參數(shù)思想）與集合思想（分類思想、交集思想、補(bǔ)集思想）兩大“支柱”思想：對(duì)應(yīng)思想（函數(shù)思想、變換思想、遞歸思想、數(shù)形結(jié)合思想）與公理化與結(jié)構(gòu)思想（公理化思想、結(jié)構(gòu)思想、極限思想）兩大“主梁”思想：系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想（整體思想、分解組合思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、最優(yōu)化思想)與化歸與辨證思想（縱向化歸、橫向化歸、同向化歸、逆向化歸思想，對(duì)立統(tǒng)一，萬(wàn)變，一分為二思想）.

在上述諸多思想中，函數(shù)思想在初、高等數(shù)學(xué)，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中均有著廣泛的應(yīng)用，起著“基礎(chǔ)”和“紐帶”的作用,是處理常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重大的方法論意義.同時(shí)函數(shù)把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支緊緊連在一起，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角等彼此滲透，相互融合，構(gòu)成了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.又由于函數(shù)充分體現(xiàn)了集合、對(duì)應(yīng)、映射等基本數(shù)學(xué)思想，因而就是中學(xué)數(shù)學(xué)能接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的科學(xué)水平，并且是學(xué)生從中獲得基本的、深刻的、有用的高等數(shù)學(xué)思想方法.總之,函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系;反映了一個(gè)事物隨另一個(gè)事物變化的關(guān)系和規(guī)律.函數(shù)思想即是用聯(lián)系變化的觀點(diǎn),建立各種變量間的依存(函數(shù))關(guān)系,通過(guò)函數(shù)形式并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和方法達(dá)到解題目標(biāo)的策略,函數(shù)思想是一種解題觀念,其運(yùn)用范圍并不局限于函數(shù)問(wèn)題,它貫穿與整個(gè)高中數(shù)學(xué).

1 在概念教學(xué)中滲透函數(shù)思想

數(shù)列是函數(shù),是一種特殊的函數(shù),因此許多問(wèn)題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究如:數(shù)列概念,求解等差數(shù)列中的a,an,sn, n,d等.

2 在定理和公式中滲透函數(shù)思想

例 等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中an是n的一次函數(shù);前n項(xiàng)和公式中sn是n的二次函數(shù).

3 在問(wèn)題解決中滲透函數(shù)思想

3.1 實(shí)際問(wèn)題

例 某工廠要修建一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子0A，0下號(hào)在水面中心處，OA= 1.25m，安裝在柱子頂端A處的噴頭向四周噴水，水流沿著形狀相同的拋物線路徑向四周落下，并在過(guò)0A的任意平面上拋物線如圖(1)，為了使水流的形狀更漂亮，要使水流在到OA距離為1m處達(dá)到距水面最大的高度2.25m，不收其他因素影響，水池的半徑要多少米，才能使噴出的水流不落在水池外面.

分析:我們的解題思路是:實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→函數(shù)問(wèn)題→函數(shù)問(wèn)題的解→實(shí)際問(wèn)題的解.

如圖(2)建立直角坐標(biāo)系:則水流顯現(xiàn)的拋物線方程為y=a(x-1)2+2.25，由題意：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1.25），

把x=0,y=1.25代入上述方程 得a=-1

于是 拋物線方程為y=-(x-1)2+2.25

令y=0 得(x-1)2+2.25=0

解得x1=2.5，x2=-0.5（不合題意舍去）

所以x=2.5

答：水池半徑至少要2.5米才能使水流不致落到池外.

3.2 幾何問(wèn)題

在幾何問(wèn)題中我們往往會(huì)遇到求夾角和最大(小)值和線段的最短(長(zhǎng))距離等問(wèn)題.如果僅從集幾何方面去思考,往往使問(wèn)題難以解決,倘若能夠靈活的應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的方法,就會(huì)使幾何問(wèn)題柳暗花明.

解 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:光滑曲線切線的斜率.

則過(guò)橢圓上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為

因此本題歸結(jié)為：當(dāng)x,y滿足（1）時(shí)

3.3 不等式問(wèn)題

由于不等式有廣泛的應(yīng)用又是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中一直是重點(diǎn)考察的內(nèi)容，在綜合解題過(guò)程中處處分布著不等式的知識(shí)、方法與技巧.下面將從高等數(shù)學(xué)的函數(shù)思想方面研究不等式.

3.3.1 利用函數(shù)單調(diào)性

基本思想：若f'(x)≥0(f'(x)＞0)則x1＜x2時(shí)，有f(x1)≤f(x2)(f (x1)＜f(x2)),由此可獲得不等式.

例 設(shè)e是自然對(duì)數(shù)的底,π是圓周率,證明:eπ＞πe.

由于x＞e時(shí)f'(x)＜0于是f(x)在[e，+∞)上遞減故f(e)＞f(π)此即（1）成立.

3.3.2 利用微分中值定理

基本思想：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)=f(a)+f'(ξ)(x-a)(ξ∈(a,b))

故當(dāng)f(a)=0；(a,b)內(nèi)f'(x)＞0時(shí)，有f(x)＞0(?x∈(a,b]).

法1：令f(x)=x-ln(1+x)則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，所以有f(x)=f(0)+f'(ξ)x(ξ∈(0,x))

法3：分析：∵x＞0

因此可利用拉格朗日中值定理

證 令f(t)=lnt，當(dāng)x＞0時(shí)，顯然它在[1,1+x]滿足拉格朗日中值定理的條件，

3.3.3 利用函數(shù)極值

證明 原不等式等價(jià)于(1-x)ex≤1

設(shè)f(x)=(1-x)ex，x∈(-∞,1)由f'(x)=-xex=0，得唯一駐點(diǎn)x=0，

又當(dāng)x＜0時(shí)f'(x)＞0；

x＞0時(shí)，f'(x)＜0

故f(x)在x=0取極大值（即最大值）：f(0)=1因此對(duì)所有x∈(-∞,1)，都有f(x)=(1-x)ex≤1.

例2 證明t≥1，s≥0時(shí)下面的不等式成立

ts≤tlnt-t+es

證 我們只要證明函數(shù)φ(s,t)=tlnt-t+es-ts

在D={(s,t)：s≥0，t≥1}上有最小值0,固定t≥1,

令φ's(s,t)=es-t=0 得s=lnt(即t=es)且

當(dāng)0≤s＜lnt時(shí)φ's(s,t)＜0

當(dāng)s＞lnt時(shí)φ's(s,t)＞0

可見(jiàn)φ(s,t)的最小值只能在曲線t=es上達(dá)到.但

φ(s,es)=ess-es+es-ess故在D上φ(s,t)≥0即有ts≤tlnt-t+es

3.3.4 利用二次函數(shù)判別式

3.4 等式、方程問(wèn)題

函數(shù)通常我們用記號(hào)y=f(x)來(lái)表示變量y是變量x的函數(shù)，即“變量y通過(guò)f函數(shù)依賴于x”至于變量x取何值時(shí)，y值為零呢？于是我們引入記號(hào)f(x)=0，這就是我們常說(shuō)的方程.因此，我們可以利用函數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)解決方程中的一些問(wèn)題.

證x在(0,+∞)內(nèi)變化即看是否存在x1,x2使f(x1)=0，f(x2) =0即問(wèn)題變成證明f(x)在(0,+∞)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).

由界值定理知f(x)在(0,e)和(e,+∞)內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程

在(0,+∞)內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)根.

例 2 若(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5=a30+a29x+…+a1x29+a0x30求a15.

分析：觀察等式的特殊結(jié)構(gòu)，可以運(yùn)用函數(shù)的奇偶性.

解 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x+x2+x3)5

則f(-x)=(1-x+x2-x3)5

令F(x)=(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5

則F(x)=f(x)f(-x)

顯然F(x)是偶函數(shù).

而且觀察正系數(shù)多項(xiàng)式F(x)展開(kāi)式中系數(shù)的特征：所有奇次項(xiàng)系數(shù)均為零，可知F(x)=a30+a28x2+…+a2x28+a0x30

即a15=0

3.5 復(fù)數(shù)與角的問(wèn)題

有關(guān)復(fù)數(shù)x+yi的輻角和模的范圍問(wèn)題常與正、余弦函數(shù)或?qū)嵶兞縳,y聯(lián)系在一起，可利用變量的函數(shù)來(lái)求解.

例1 已知輻角分別為θ1，θ2的復(fù)數(shù)z1,z2,滿足條件：z1+z2=5i，|z1z2|=14，求cos(θ1-θ2)的最大值及最小值，并求取最小值時(shí)的z1,z2的值.

分析：這是一個(gè)最值問(wèn)題，解最值問(wèn)題的一般方法是要找到有關(guān)一個(gè)變量的函數(shù)，本題中的變量有θ1，θ2，還有z1,z2的模r1，r2共4個(gè)，從已知條件可以獲得3個(gè)等式，其中z1+z2=5i可得兩個(gè)等式，再加|z1z2|=14，尋找它們與所求結(jié)論cos(θ1-θ2)之間的關(guān)系.

解 設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)由題意得：

將(1),(2)兩邊平方代入(3)得：

所以cos(θ1-θ2)的最大值是，最小值是-1

且當(dāng)cos(θ1-θ2)=-1時(shí)θ1-θ2=(2k+1)π

例2 設(shè)復(fù)數(shù)z=3cosθ+i2sinθ，求函數(shù)y=θ-argz.(0＜θ＜的最大值以及對(duì)應(yīng)θ的值.

分析：所求是兩個(gè)動(dòng)態(tài)角之間的函數(shù)最大值，而求一個(gè)角的最大（?。┲?，一般要轉(zhuǎn)化成求這個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)的最大（?。┲?，為了便于運(yùn)算取正切，先求tgy的最大值，進(jìn)而利用正切函數(shù)的單調(diào)性，求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的θ的值.

即時(shí)上式取等號(hào).

總之應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和思想解題不止以上幾類，“管中窺豹，可見(jiàn)一斑”，它們反映了這樣一種解題策略：將靜止的問(wèn)題放到一個(gè)更加波瀾壯闊的動(dòng)態(tài)過(guò)程中去考察,將局部的問(wèn)題置于更加高瞻遠(yuǎn)矚的全局上去解決.

〔1〕胡炳生,等.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1999.

〔2〕余元希,等.初等代數(shù)研究（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1988.3.

〔3〕王后雄.十年高考兩年模擬試題分類全解:數(shù)學(xué)[M].遼寧教育出版社，2006.

〔4〕裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京:高等教育出版社，2006.

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：1673-260X（2017）05-0010-03

2017-01-05