函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)

◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學(xué)，廣東 惠州 516001)

函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)

◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學(xué)，廣東 惠州 516001)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，方程思想其實(shí)是函數(shù)思想中的一種特殊表達(dá)形式，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)深刻理解、掌握函數(shù)和方程的思想，并善于運(yùn)用函數(shù)和方程的思想解決一些實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于學(xué)習(xí)有重要的意義.筆者根據(jù)從教多年的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)策略.

函數(shù)；方程；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用；策略

一、函數(shù)與方程思想的解釋

函數(shù)的思想，具體來(lái)說(shuō)是利用集合和對(duì)應(yīng)思想，只關(guān)注數(shù)學(xué)特征，采用變化的觀念得出研究對(duì)象，采用函數(shù)特有的性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解釋并給出結(jié)果；所謂方程是指在充分聯(lián)系各種變量?jī)?nèi)在關(guān)系的基礎(chǔ)上建立的等量式.函數(shù)和方程的思想二者相輔相成，通過(guò)共同作用，找出問(wèn)題中內(nèi)在的數(shù)量的聯(lián)系，從變化、對(duì)應(yīng)、發(fā)展幾個(gè)方面研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)，也是研究運(yùn)動(dòng)和靜止之間等量關(guān)系的重要思想.

二、函數(shù)與方程思想的考查回顧與培養(yǎng)策略

對(duì)函數(shù)與方程思想的考查，是歷年高考的重點(diǎn)，而且考查力度在逐年增加，幾乎滲透高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)模塊，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

(一)對(duì)函數(shù)與方程思想本源的考查

函數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)與方程的有關(guān)理論是函數(shù)與方程思想的本源.在課標(biāo)課程高考中，全方位、多層次地考查函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)，是每年的重點(diǎn)和熱點(diǎn).

1.函數(shù)與方程性質(zhì)是函數(shù)與方程思想的核心內(nèi)容.

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、最值、方程的有關(guān)理論是函數(shù)與方程思想的核心內(nèi)容，它們往往形影不離，互為依托.

A.11 B.9 C.7 D.5

評(píng)析 本題在解題過(guò)程中用到了函數(shù)零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、函數(shù)圖像和單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，是集數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等思想于一體的好題，本題很好地體現(xiàn)了課標(biāo)的核心，培養(yǎng)了學(xué)生函數(shù)的思想.

培養(yǎng)策略：加強(qiáng)函數(shù)與方程基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

2.數(shù)形結(jié)合是運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的直觀手段.

《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，重視圖形具有非常重要的意義，我們可以將函數(shù)圖像等同于函數(shù)的一種特殊的表示方式，這樣可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)借用圖形來(lái)解決問(wèn)題.

評(píng)析 本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用了函數(shù)平移的相關(guān)知識(shí)，綜合考查函數(shù)解析式和函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程的思想.

培養(yǎng)策略：數(shù)形結(jié)合能幫助我們形成解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、作圖、用圖的能力，促成數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)與方程思想有機(jī)統(tǒng)一.

3.高等數(shù)學(xué)知識(shí)的滲透是函數(shù)與方程思想的內(nèi)在需求.

國(guó)家推行新課標(biāo)的改革已經(jīng)有很長(zhǎng)一段時(shí)間，對(duì)高考命題越來(lái)越側(cè)重各方面知識(shí)的相互結(jié)合和使用，也體現(xiàn)出《考綱》對(duì)高考試題的創(chuàng)新要求；另一方面，這類(lèi)題目命題立意新、情境新、思維價(jià)值高，能很好地考查考生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的潛能，因此，這類(lèi)考題成了高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.

例3 (2016年全國(guó)卷理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=________.

培養(yǎng)策略：導(dǎo)數(shù)是處理函數(shù)問(wèn)題的利器，理解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，強(qiáng)化運(yùn)算能力，理解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與方程思想中的作用.

(二)以其他知識(shí)點(diǎn)為載體的函數(shù)與方程思想的考查

函數(shù)與方程思想研究的是變量與變量的依賴(lài)關(guān)系，因此，只要蘊(yùn)含幾個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題均會(huì)涉及函數(shù)與方程思想，它必然會(huì)跨越函數(shù)，也跨越方程，跨入不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、實(shí)際問(wèn)題等領(lǐng)域.

1.以不等式為載體

函數(shù)、方程與不等式之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，y=f(x)，f(x)=0，f(x)>0彼此之間有內(nèi)在聯(lián)系.將函數(shù)思想與方程不等式結(jié)合在一起，可以實(shí)現(xiàn)不等式問(wèn)題的有效解決.

例4 (2013年全國(guó)卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解析 第(1)問(wèn)主要考查方程思想；第(2)問(wèn)主要考查不等式恒成立問(wèn)題，在解答不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求出最值，把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.

培養(yǎng)策略：對(duì)含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題或方程有解的問(wèn)題，常用方法是分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

2.以數(shù)列為載體

數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域是正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于n的特殊函數(shù)，因此，許多數(shù)列問(wèn)題是用函數(shù)的觀點(diǎn)去構(gòu)思的，要解決這類(lèi)問(wèn)題，需要學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)和研究方法去處理這類(lèi)問(wèn)題.

例5 (2013年全國(guó)卷 理16)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_(kāi)_______.

培養(yǎng)策略：把數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)(如定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式)與函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)(如圖像和性質(zhì))有機(jī)地結(jié)合，是解決此類(lèi)問(wèn)題最有效的辦法.

3.以解析幾何為載體

解析幾何的基本思路，是把平面幾何問(wèn)題用代數(shù)的方法解決，把平面幾何的問(wèn)題通過(guò)直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，因此，函數(shù)與方程思想在其中有舉足輕重的地位.

A.b2>4acB.b2≥4acC.b2<4acD.b2≤4ac

評(píng)析 本題可以通過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確抓住數(shù)與式的特征，充分利用方程的思想解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生熟悉方程的思想；另外，本題還可以將b2和a，c之間建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用重要不等式求解，簡(jiǎn)單快捷，本題充分培養(yǎng)了學(xué)生函數(shù)與方程的思想.

因此，不管以什么知識(shí)為載體，通常情況下，數(shù)集與數(shù)集、變量與變量的關(guān)系問(wèn)題在考查時(shí)，會(huì)充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，它是跨考點(diǎn)、跨模塊、跨題型的.

三、函數(shù)與方程思想的考查展望

(一)注重本質(zhì)，強(qiáng)化基礎(chǔ)，依托主干，凸顯函數(shù)與方程思想

對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，函數(shù)是其永恒的主題，是學(xué)習(xí)方程的最基本思想.想要將函數(shù)學(xué)好，最為根本的辦法就是要學(xué)好導(dǎo)數(shù)，它是研究函數(shù)最為有效的路徑，是最得力的工具.正因如此，高考對(duì)學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了全方位的考查，并在此基礎(chǔ)上將函數(shù)同其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了結(jié)合，產(chǎn)生了很多的新題型.這些題型的出現(xiàn)，一方面，幫助學(xué)生提升了學(xué)習(xí)成績(jī)，另一方面，也使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到具體的實(shí)踐當(dāng)中去.因此，函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯是考查函數(shù)與方程思想的必然選擇.

(二)注重應(yīng)用，回歸生活，超越生活，凸顯函數(shù)與方程思想

《課標(biāo)》中提出“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”.因此，數(shù)學(xué)高考“堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)”.函數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題貼近生活，而解決這類(lèi)問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法都是《考綱》中要求掌握的主干知識(shí)和主要思想方法.特別地，以函數(shù)與方程的思想為指導(dǎo)構(gòu)建函數(shù)模型，可以充分考查學(xué)生推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí).因此，將函數(shù)同學(xué)生實(shí)際生活相結(jié)合來(lái)出題是考查函數(shù)與方程思想的重要選擇.

總而言之，函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要.因此，作為一線教師，要注重學(xué)生運(yùn)用函數(shù)和方程思想解決問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.