柱殼法求解旋轉體體積

◎董愛君 徐大舉

(山東交通學院，山東 濟南 250357)

柱殼法求解旋轉體體積

◎董愛君 徐大舉

(山東交通學院，山東 濟南 250357)

柱殼法在求解旋轉體體積中具有重要應用，它不僅適用于旋轉軸為坐標軸或與坐標軸平行的直線的情形，對于旋轉軸為任意斜直線時，也同樣適用，本文對于后者進行了討論.

柱殼法；旋轉體；軸型區(qū)域

柱殼法是一種重要的求解旋轉體體積的方法，下面，我們來研究旋轉軸為斜直線的情況，為了方便，給出如下定義.

定義1 軸型區(qū)域：如果一個平面區(qū)域D滿足以下兩個條件：(1)平行于旋轉軸的直線l穿過區(qū)域D時，直線l與區(qū)域D的邊界至多有兩個交點；(2)區(qū)域D的其中一條邊界為垂直于旋轉軸的直線上的線段，則稱它為軸型區(qū)域.

ΔV=πd2h-πd′2h

舉例如下：

圖2

例1 求由直線L1：x+y=1，直線L2：x-y=1及直線L3：x+2y=2所圍成的區(qū)域(圖2陰影部分)繞直線L2：x-y=1旋轉一周得到的旋轉體的體積.

圖3

例2 求由直線L1：x+y=1，直線L2：x-y=1及圓弧L3：x2+y2=1所圍成的區(qū)域(圖3陰影部分)繞直線L2：x-y=1旋轉一周得到的旋轉體的體積.

可得A=1，B=-1，C=-1，D=1，且|Bx-Ay+D|=|-x-y+1|=x+y-1.從而，