基于凸優(yōu)化方法的諧波參數(shù)估計

◎盧文超

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基于凸優(yōu)化方法的諧波參數(shù)估計

◎盧文超

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

從多個分量疊加的諧波信號中恢復(fù)出頻率信息一直以來都是統(tǒng)計信號處理領(lǐng)域的經(jīng)典問題.受當(dāng)前原子范數(shù)研究工作的影響，本文針對隨機擾動振幅的諧波模型，基于原子范數(shù)凸優(yōu)化的方法對模型參數(shù)做出估計.在模型求解上，本文將原子范數(shù)轉(zhuǎn)化為一個半正定規(guī)劃問題，分別使用了SDPT3工具和ADMM兩種方法，最后，進一步通過仿真實驗說明了原子范數(shù)凸優(yōu)化的方法能成功地對具有隨機擾動振幅的諧波模型參數(shù)做出估計.

原子范數(shù)；諧波參數(shù)估計；基不匹配；凸優(yōu)化

從含噪聲的諧波信號中提取出頻率信息是統(tǒng)計信號處理中的重要問題.它在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，包括：雷達目標(biāo)波達角估計、傳感器陣列信號處理、圖像處理、超寬帶信道估計、光譜學(xué)、分子動力學(xué)以及電子電力學(xué)等[1-3].

壓縮感知[4](Compressive Sensing，CS)是近年來從稀疏和冗余表示中分離出來的熱點問題.在這類方法中，大量的研究將連續(xù)的參數(shù)空間進行離散化處理，把整個參數(shù)空間劃分為有限個網(wǎng)格，并假設(shè)真正的頻率參數(shù)會由某些網(wǎng)格點表示.這樣觀測的信號模型就能近似地寫為一組基的線性組合.雖然這種離散化的建模方法較為簡單，易于分析處理，但不可避免地會帶來一些缺陷：過于密集的網(wǎng)格會造成基字典庫中相鄰原子之間的強相關(guān)性，從而降低CS重構(gòu)性能；如果信號的實際參數(shù)值并不落在事先劃分好的網(wǎng)格點上，那么假設(shè)的基無法稀疏表示信號.實際上，無論將網(wǎng)格劃分地多么精細(xì)，信號的實際參數(shù)值都不會落在離散的網(wǎng)格上.研究者們把這種現(xiàn)象稱為基不匹配[5-6]，同時，希望能夠建立新的稀疏域表示模型更好地描述連續(xù)的信號參數(shù)空間，而無需對稀疏域進行離散化處理.基于原子范數(shù)的凸優(yōu)化方法正是在這種情形下應(yīng)運而生的.

原子范數(shù)的出現(xiàn)幫助解決了基不匹配問題，它將有網(wǎng)格情況拓展到無網(wǎng)格情況，并且能夠直接用在連續(xù)參數(shù)空間下，精確估計出模型的參數(shù).基于原子范數(shù)去噪的線譜估計方法[7-8]，運用原子范數(shù)去噪提高了估計的精度.它主要將待估計的信號模型轉(zhuǎn)化為原子范數(shù)軟閾值問題，通過解決一個半正定規(guī)劃問題或者交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)[8]得到.在有噪聲條件下，無網(wǎng)格的原子范數(shù)在有數(shù)據(jù)缺失情形下也準(zhǔn)確地恢復(fù)出了信號頻率與振幅的信息[9].

受原子范數(shù)的啟發(fā)，本文針對隨機擾動振幅的諧波模型，運用原子范數(shù)方法成功估計出了模型的頻率與振幅參數(shù)，并且通過仿真實驗進一步說明了采用原子范數(shù)凸優(yōu)化方法能對模型參數(shù)做出估計.

一、信號模型

考慮信號模型

(1)

(2)

二、原子范數(shù)

原子范數(shù)的概念最先在文獻[10]中提出，它是在L1范數(shù)與核范數(shù)基礎(chǔ)上拓展而來的.令A(yù)為一個原子的集合，若其凸包conv(A)相對于原點是一個中心對稱的緊集，且包含原點作為內(nèi)點.這樣由凸包conv(A)的尺度函數(shù)定義得到的范數(shù)為原子范數(shù)，用‖·‖A表示：

‖y‖A=inf{t>0:y∈t·conv(A)}

(3)

三、信號模型的原子范數(shù)求解

上述信號模型(2)能夠重寫為

(4)

令a(f，φ)=a(f)φ，則信號模型的原子集合可以表示為

按照前面原子范數(shù)‖·‖A的定義，可以通過求解一個半正定規(guī)劃(Semidefinite Programming，SDP)問題得到原子范數(shù)[7]：

其中，u∈CN，T(u)∈CN×N表示Toeplitz矩陣.

其中，ui表示u的第i位上的值.

令z=A(f)s代表無噪情況下的觀測信號，我們采用下面的原子范數(shù)軟閾值約束方法來對信號參數(shù)做出估計：

(6)

其中，μ>0是用來約束稀疏度的正則化參數(shù).

根據(jù)式(5)、式(6)能通過求解如下的SDP問題得到

(7)

求解出上式中的最優(yōu)解(t*，u*，z*)后，通過對T(u*)進行Vandermonde分解，就能分別估計出信號的頻率與振幅信息.即

(8)

就能通過半正定規(guī)劃求解，保證以高概率1-δ重構(gòu)信號s并確定各個諧波頻率.

(一)SDP問題的對偶方案

(9)

其中，R(·)表示實部，TI(·)為T(·)的逆過程，稱為Toeplitz近似矢量，e1=[1，0，…，0]T∈RM.

(二)SDP問題的交替方向乘子算法方案

(10)

其中，β>0表示懲罰參數(shù)；Q，Λ表示乘子變量.

則ADMM算法包含以下的更新步驟：

其中，k表示當(dāng)前迭代次數(shù)，k+1表示下一次迭代次數(shù).

四、仿真實驗

在下面的仿真實驗中，假設(shè)信號包含K=3個頻率成分，分別為0.202，0.213和0.5，對應(yīng)頻率點上的幅度為2，2和1，隨機振幅擾動變量服從εk～N(0，0.5)，總的數(shù)據(jù)長度N=100，隨機丟失50個：即不完全數(shù)據(jù)M=50，噪聲為白噪聲e～N(0，1)，重復(fù)實驗10次，信噪比為0，SNR定義為

SDPT3工具的實驗結(jié)果如下：

圖1 SDPT3的原子范數(shù)參數(shù)估計圖

頻率振幅頻率振幅10.00070.255260.00110.254320.00140.352070.00110.260630.00090.329280.00110.297940.00100.337190.00130.292550.00050.2913100.00080.1394

從圖1、表1可以看出SDPT3工具的原子范數(shù)能成功地估計出信號的參數(shù)，在頻率成分上精度很高，但在振幅的估計上效果相對差一些.

ADMM方法實驗結(jié)果如下：

圖2 ADMM方法的原子范數(shù)參數(shù)估計圖

頻率振幅頻率振幅10.00080.273260.00040.129820.00070.196070.00040.180230.00060.220580.00080.242240.00030.181390.00070.165250.00060.1186100.00020.0280

從圖2、表2可以看出原子范數(shù)的ADMM方法也能成功地估計出信號的參數(shù)，在頻率成分上精度很高與SDPT3工具相比有微弱提高，但在振幅的估計上效果相對差一些，與SDPT3相比有明顯提升.

從兩種方法上可看出基于ADMM的方法比SDPT3工具估計方法在參數(shù)估計精度上有一定優(yōu)勢.

五、總 結(jié)

在壓縮感知理論處理的領(lǐng)域中，為了方便分析，大量研究把連續(xù)參數(shù)空間進行離散化處理，將整個參數(shù)空間劃分成有限個網(wǎng)格，從而導(dǎo)致變換基不匹配的后果.本文受最近原子范數(shù)理論的啟發(fā)，使用無網(wǎng)格的原子范數(shù)的思想成功對具有隨機擾動振幅的諧波模型參數(shù)做出了估計，并且希望能夠?qū)o網(wǎng)格的原子范數(shù)方法應(yīng)用到其他信息領(lǐng)域.

致 謝

作者衷心感謝南京理工大學(xué)楊在老師對本文的指導(dǎo)和幫助.

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國家自然科學(xué)基金青年基金(No.61601417)