高觀點(diǎn)下對(duì)一節(jié)新授課的整體認(rèn)識(shí)
——“向量的加法”的教學(xué)設(shè)想及其反思

◎王曉薔

(遼寧省撫順市第一中學(xué)，遼寧 撫順 113001)

高觀點(diǎn)下對(duì)一節(jié)新授課的整體認(rèn)識(shí)
——“向量的加法”的教學(xué)設(shè)想及其反思

◎王曉薔

(遼寧省撫順市第一中學(xué)，遼寧 撫順 113001)

向量是數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象.作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算，作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象.向量的運(yùn)算是在數(shù)的運(yùn)算、集合運(yùn)算之后又一次對(duì)運(yùn)算的擴(kuò)充，是深化對(duì)運(yùn)算認(rèn)識(shí)的契機(jī).筆者結(jié)合“向量的加法”新授課，談?wù)勅绾螐母哂^點(diǎn)下對(duì)向量的加法進(jìn)行全新的認(rèn)識(shí).

一、復(fù)習(xí)舊知 拋出新思

復(fù)習(xí)提問：(1)向量，相等向量定義？

(2)零向量，單位向量定義？(從大小方面特殊的向量)

(3)平行向量定義？(從方向方面特殊的向量)

設(shè)計(jì)意圖說明：以一問一答的形式引導(dǎo)學(xué)生研究問題，可以從一般到特殊.分類復(fù)習(xí)舊知，使學(xué)生對(duì)若干子概念的關(guān)系層次清晰，內(nèi)涵清楚.

我們已經(jīng)在實(shí)數(shù)集上定義了加法運(yùn)算，為了表示具有相反意義的量，必須引入“相反數(shù)”；實(shí)數(shù)0具有使任何實(shí)數(shù)與它的和均不變的特性(即a+0=a)；同時(shí)，我們還研究了加法運(yùn)算律(交換律，結(jié)合律).現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)一種新的量：向量，那么，

(1)向量能進(jìn)行加法運(yùn)算嗎?

(2)向量如何進(jìn)行加法運(yùn)算?

(3)向量加法運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律呢?

設(shè)計(jì)意圖說明：教師拋出一連串問題引出本堂課教學(xué)內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生思考.

首先，從整體上認(rèn)識(shí)向量集和實(shí)數(shù)集之間的關(guān)系，用“群”的思想統(tǒng)一認(rèn)識(shí)兩個(gè)集合的加法運(yùn)算.同時(shí)，也是將向量的加法定義、性質(zhì)和運(yùn)算律作為一個(gè)整體進(jìn)行認(rèn)識(shí)，避免了銜接不自然.

二、創(chuàng)設(shè)情境 引發(fā)探究

師問：回到向量的原始背景：物理中哪些矢量可以相加？怎樣相加？合位移、力的合成和速度的合成.

我們先來看下面這個(gè)實(shí)驗(yàn).

情境：飛行問題.(略)

位移和速度都可以看成向量，從物理角度，位移和速度，叫作合位移與合速度；在數(shù)學(xué)上，我們可以把他們看成是兩個(gè)向量相加.

設(shè)計(jì)意圖說明：通過這個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，為接下來學(xué)生獨(dú)立探索向量加法定義提供動(dòng)力，使學(xué)生進(jìn)入問題探索者的角色，真正進(jìn)入數(shù)學(xué)概念的定義中.這樣得到的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生一輩子都不會(huì)忘記.同時(shí)，從學(xué)生熟悉的物理概念入手，自然銜接到本節(jié)的新內(nèi)容，學(xué)生很容易接受.

三、向量加法定義的探究

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于任意的兩個(gè)向量a，b，如何定義a和b相加呢？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再分組討論，派代表發(fā)言，同時(shí)黑板板演.

討論結(jié)果一：根據(jù)實(shí)驗(yàn)一，平移向量b，使它的起點(diǎn)與向量a的終點(diǎn)重合，構(gòu)造三角形得到a+b.

討論結(jié)果二：根據(jù)實(shí)驗(yàn)二，平移向量b，使它的起點(diǎn)與向量a的起點(diǎn)重合，構(gòu)造平行四邊形，對(duì)角線向量就是a+b.

請(qǐng)大家思考，對(duì)于這兩種方法，和向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是哪個(gè)？

針對(duì)這兩種方式，哪一種定義更加嚴(yán)謹(jǐn)？

設(shè)計(jì)意圖說明：探究向量加法運(yùn)算法則的過程既作為全課整體的有機(jī)組成部分進(jìn)行的，又相對(duì)獨(dú)立地構(gòu)成了一個(gè)“整體”：向量源于物理，向量運(yùn)算源自物理中矢量的運(yùn)算，但矢量相加其方法不盡相同，如，“合位移”通常用三角形法則，“速度的合成”通常用平行四邊形法則，這兩個(gè)法則內(nèi)在關(guān)系怎樣?哪個(gè)法則更嚴(yán)謹(jǐn)？能否實(shí)現(xiàn)“統(tǒng)一”就成為關(guān)鍵.

四、師生共思 建構(gòu)新知

向量加法的三角形法則：

師問：向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)成立嗎？請(qǐng)同學(xué)們畫圖證明.

設(shè)計(jì)意圖說明：“單位元”“逆元”和交換律、結(jié)合律是“群”的三要素，將它們置于實(shí)數(shù)加法運(yùn)算的類比之下，進(jìn)行“整體”認(rèn)識(shí)，既是高觀點(diǎn)的滲透，更使學(xué)習(xí)內(nèi)容連成了一個(gè)整體，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、流暢.

五、鞏固練習(xí) 延續(xù)思考

若渡船以25 km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，江水以12.5 km/h的速度向東流，受水流的影響，渡船的實(shí)際航向如何?

六、及時(shí)小結(jié) 埋下伏筆

師問：這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了什么？

1.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

2.向量加法的運(yùn)算律：交換律和結(jié)合律.

師問：對(duì)比實(shí)數(shù)集合上的運(yùn)算，下節(jié)課大家還想學(xué)習(xí)向量的什么運(yùn)算？(減法)

設(shè)計(jì)意圖說明：這兩個(gè)問題既可以讓學(xué)生從多方位總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，暢所欲言，又從運(yùn)算系統(tǒng)的連續(xù)性角度，自然而然地提出下節(jié)課的問題，讓學(xué)生帶著新問題離開課堂.