思考
——學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑

◎黃建東

(無錫市八士中學(xué)，江蘇 無錫 214192)

思考
——學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑

◎黃建東

(無錫市八士中學(xué)，江蘇 無錫 214192)

數(shù)學(xué)千變?nèi)f化，但是基本知識(shí)點(diǎn)不變，如何使學(xué)生在知識(shí)遷移和知識(shí)應(yīng)用上得到發(fā)展，離不開教師平時(shí)的教學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考.在平時(shí)的教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)分析能力、題目知識(shí)點(diǎn)的分解能力，通過教師的引導(dǎo)、示范，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)課堂的思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，讓學(xué)生真正掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑——思考.

數(shù)學(xué)；思考

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用型學(xué)科，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)而言，應(yīng)用主要體現(xiàn)在知識(shí)的遷移和知識(shí)的應(yīng)用上，特別是2016年1月八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用.總分120分的數(shù)學(xué)試卷，共有26題，10個(gè)選擇題，8個(gè)填空題，8個(gè)解答題，整張?jiān)嚲淼木幣呕旧喜捎弥锌寄Ｊ?，難度在0.7左右.其中填空、選擇最后一題較難，22、23、24大題需要分類討論，才能完整解答.25題第二問需要學(xué)生轉(zhuǎn)化題目條件，利用已有知識(shí)構(gòu)建橋梁，完成解答，得分率極低.26題需要學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，完成應(yīng)用問題的函數(shù)題，得分率較低，僅為32%左右.分析學(xué)生解答試卷情況，主要是學(xué)生不會(huì)利用知識(shí)，對(duì)知識(shí)的遷移能力不夠，缺乏必要的分析和思考，本次考試對(duì)今后的數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義.

數(shù)學(xué)千變?nèi)f化，但是基本知識(shí)點(diǎn)不變，對(duì)學(xué)生答題情況分析后可以發(fā)現(xiàn)，我校學(xué)生試卷答題情況呈現(xiàn)的主要是缺少對(duì)題目必要的數(shù)學(xué)思考，數(shù)學(xué)分析能力、分解能力的不足，對(duì)相關(guān)知識(shí)鏈接、整合能力不足，導(dǎo)致解題的不完整和錯(cuò)誤.

所以，我們數(shù)學(xué)教師要有敏銳的眼光并積極地思考，平時(shí)在教學(xué)中要注重分析和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問題，點(diǎn)燃學(xué)生思考的火炬，課堂引領(lǐng)學(xué)生思考數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué).

一、理解數(shù)學(xué)思考的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)思考也就是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，它和學(xué)生已有知識(shí)、能力以及分析問題的能力有著密不可分的關(guān)系.思考是一種個(gè)體行為，具有鮮明的個(gè)性特征，主要表現(xiàn)為猜想、聯(lián)想、質(zhì)疑、反思和推理等.

猜想，是大腦對(duì)已有的零散的表象進(jìn)行合乎邏輯的加工而形成新的思維的過程，特別適合先猜想后證明的數(shù)學(xué)問題，有助于啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是邏輯推理必要的補(bǔ)充.

聯(lián)想，是大腦對(duì)某些信息進(jìn)行加工，提取類似或相通問題的一種思維過程，它是數(shù)學(xué)思考的重要組成部分，也就是我們常說的舉一反三或觸類旁通.聯(lián)想有助于信息的對(duì)比或借用，能更深入地思考問題的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)思考具有更大的深度和廣度.

質(zhì)疑，就是提出問題，有人說提出問題比回答問題更重要.數(shù)學(xué)考試題難，主要就是難在對(duì)題目的分析、梳理和整合上，而質(zhì)疑恰好就是分析為什么的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)思考最本質(zhì)的表象，教師要重視質(zhì)疑，也要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，因?yàn)檫@是思考的起點(diǎn).

反思，學(xué)而不思則罔，現(xiàn)有質(zhì)疑而后就要努力反思，從表象入手，尋找問題的癥結(jié)所在，從而完成數(shù)學(xué)思考，反思有助于更深入地理解問題的本質(zhì)，加深思考的深度.

推理，是以上思考呈現(xiàn)結(jié)果，體現(xiàn)了思考的延展性和邏輯性，能更好地服務(wù)于思考.

數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考，要充分體現(xiàn)學(xué)生的真思考和真實(shí)踐，教師不能越足更不能矯情地假思考，否則只會(huì)是填鴨式的灌輸，不利于學(xué)生思考的發(fā)展和提升.

思考不僅僅屬于每一名學(xué)生，也應(yīng)該屬于每一位教師，只有師生共同參與的真思考，才能最有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

二、營(yíng)造數(shù)學(xué)思考的氛圍

教師要培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，首先，要營(yíng)造思考的氛圍，使教師成為思考的促進(jìn)者、鼓勵(lì)者和幫助者，以靈活的教學(xué)方式來展開對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而培養(yǎng)思考能力.

(一)認(rèn)識(shí)學(xué)生的潛能

課堂是學(xué)生最重要的創(chuàng)造之地，思考是創(chuàng)造的必由之路，教師要充分認(rèn)識(shí)學(xué)生的思考能力是師生共同思考碰撞智慧的前提.學(xué)生思考能力是巨大的，教師要相信學(xué)生，張揚(yáng)自己的個(gè)性，激發(fā)學(xué)生思考的強(qiáng)烈欲望，讓課堂中充滿思考的芬芳.

(二)點(diǎn)燃思考的火炬

每一名學(xué)生大腦中都有期待被點(diǎn)燃的火炬，教師要做的就是以自己對(duì)教學(xué)內(nèi)容的感悟和見解，尋找教學(xué)的切入點(diǎn)，創(chuàng)造時(shí)機(jī)，撞出思考的火花，點(diǎn)燃學(xué)生思考的火炬.

讓學(xué)生進(jìn)行思考，要有針對(duì)性，對(duì)于初一學(xué)生而言，應(yīng)注重感悟和猜想；對(duì)于初二學(xué)生而言，要注重積累和拓展；對(duì)于初三學(xué)生而言，要突出理性思維.教師要努力在不同年級(jí)逐層、深入地培養(yǎng)獨(dú)立思考、猜想、聯(lián)想、質(zhì)疑、反思、推理的能力，只有這樣的思考，才能使學(xué)生想得深、悟得透，真正走進(jìn)數(shù)學(xué)思考的大門.

(三)升華師生的情感

教與學(xué)是一個(gè)雙向運(yùn)動(dòng)的過程，學(xué)生潛在能力的激發(fā)，必須要有教師的激發(fā)，才能達(dá)到雙向師生情感的升華.以七年級(jí)數(shù)學(xué)上中的“垂直”一課為例，課堂上為了引入垂直的概念，我選取了生活中的人們過人行橫道的例子，讓學(xué)生體會(huì)“垂直”的感覺，學(xué)生爭(zhēng)先恐后地回答自己的思考結(jié)果.然后我又通過學(xué)生自己動(dòng)手旋轉(zhuǎn)圓規(guī)的兩邊，使圓規(guī)的兩邊處于“垂直”的狀態(tài)，讓學(xué)生體會(huì)“實(shí)踐”的感覺，思考垂直的條件.再通過觀看跳水運(yùn)動(dòng)員入水姿勢(shì)判斷水花大小的視頻，反思如何才算兩條直線垂直？通過以上3個(gè)片段的師生互動(dòng)和對(duì)話，讓學(xué)生在交流中加深理解垂直的概念.整個(gè)引入過程自然，師生相互感染，課堂氛圍活躍，加深了師生的情感.

三、創(chuàng)建數(shù)學(xué)思考的平臺(tái)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考源，教師要善于挖掘題目的信息，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入思考的勝境，品味思考的來源、過程、和感悟.

(2016年1月八年級(jí)試卷第10題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△PAB的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ).

A.(0，1) B.(0，2)

平時(shí)對(duì)于此類題目的思考就是：首先，要利用對(duì)稱在x軸，y軸上找到得到點(diǎn)P的方法，然后，需要用待定系數(shù)法求出AB直線的解析式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，學(xué)生大多選擇了D，兩種解答.忽略了最后還要比較兩種方法中的點(diǎn)P哪一種使得△PAB的周長(zhǎng)最小，最小中找到最小的答案，得出正確答案.

(2016年1月八年級(jí)試卷第26題)如圖1，某物流公司恰好位于連接A、B兩地的一條公路旁的C處.某一天，該公司同時(shí)派出甲、乙兩輛貨車以各自的速度勻速行駛.其中，甲車從公司出發(fā)直達(dá)B地；乙車從公司出發(fā)開往A地，并在A地用1h配貨，然后，掉頭按原速度開往B地.圖2是甲、乙兩車之間的距離s(km)與他們出發(fā)后的時(shí)間x(h)之間函數(shù)關(guān)系的部分圖像.

(1)由圖像可知，甲車速度為________km/h；乙車速度為________km/h.

(2)已知最終乙車比甲車早到B地0.5h，求甲車出發(fā)1.5h后直至到達(dá)B地的過程中，s與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像.

圖1

圖2

首先，圖像中點(diǎn)(0.5，60)表示兩車0.5小時(shí)路程和，點(diǎn)(1.5，100)表示乙車0.5小時(shí)和甲車1.5小時(shí)路程和，易得甲車速度為40 km/h；乙車速度為80 km/h.

此時(shí)乙車開始追甲車，追擊路程為100 km，設(shè)追擊時(shí)間為x小時(shí)乙車追上甲車.80x=100+40x，解得x=2.5，乙車追上甲車的坐標(biāo)為(4，0).

因?yàn)樽罱K乙車比甲車早到B地0.5 h，說明追上后，乙車比甲車多跑了0.5×40=20 km.

設(shè)乙車追上甲車后y小時(shí)到達(dá)B地,80y=40(y+0.5)，y=0.5，乙車到達(dá)終點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4.5，20)，甲車到的終點(diǎn)坐標(biāo)(5，0).

由待定系數(shù)法求得解析式，并畫出圖像.

(2)當(dāng)1.5≤x≤4時(shí)，s=-40x+160;

當(dāng)4

當(dāng)4.5

其實(shí)本題主要考查的就是數(shù)形結(jié)合的思想，由已有圖形得出兩車的速度，利用追擊問題求出時(shí)間，得出點(diǎn)坐標(biāo)，求出解析式，畫出圖像.

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)思考成為四維目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)思考中至關(guān)重要的部分就是思維能力，因?yàn)檫@是所有學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的普遍現(xiàn)象，但是這種能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師持之以恒的不斷努力，在平時(shí)的教學(xué)中，不斷嘗試、不斷實(shí)踐.

如果把思考能力展現(xiàn)在數(shù)學(xué)中發(fā)生比喻為“臺(tái)上三分鐘”的話，那么平時(shí)的思考能力培養(yǎng)就是“臺(tái)下十年功”.教師，只有在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中充分挖掘、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，才能更好地落實(shí)在數(shù)學(xué)課堂.教學(xué)中的數(shù)學(xué)思考，真正讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思考方面有長(zhǎng)足的進(jìn)步.