積分計(jì)算的教學(xué)設(shè)計(jì)

◎楊 林 趙 絢

( 1.運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西 運(yùn)城 044000;2.運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系，山西 運(yùn)城 044000)

積分計(jì)算的教學(xué)設(shè)計(jì)

◎楊 林1趙 絢2

( 1.運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西 運(yùn)城 044000;2.運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系，山西 運(yùn)城 044000)

本文堅(jiān)持“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，從目前高職學(xué)生的實(shí)際基礎(chǔ)和實(shí)際需要出發(fā)，在內(nèi)容的取舍和闡述方法上做了大膽的探索.

分層；分類；底層必選；中層限選

在分層、分類、分專業(yè)高職數(shù)學(xué)改革的思想指導(dǎo)，本文以高等數(shù)學(xué)中定積分的換元法為例，簡(jiǎn)單介紹下改革的思想(底層必選部分).

一、定積分的計(jì)算方法

我們回顧教材中介紹定積分的計(jì)算方法，教材分別從定積分的概念、意義、N-L公式來(lái)引入計(jì)算.

1.依據(jù)定義構(gòu)造出一個(gè)特殊的和式極限來(lái)求定積分，雖和式的極限形式好看，但好看并不好用，也就是求積分結(jié)果是件困難的事情，而當(dāng)被積函數(shù)在給定閉區(qū)間上為可積函數(shù)時(shí)，可以用特殊的分法，及ξi特殊的取法，來(lái)求和式的極限，對(duì)于簡(jiǎn)單的被積函數(shù)，如，f(x)=x或f(x)=x2等函數(shù)，能求出積分結(jié)果，但并非簡(jiǎn)單.

3.根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再求原函數(shù)在上、下限處函數(shù)值之差，這是簡(jiǎn)便有效的方法，具有普遍適用性.因此，它是計(jì)算定積分的基本方法，學(xué)習(xí)者應(yīng)該掌握.

【反思與啟迪】不定積分已經(jīng)解決了如何求全體原函數(shù)的問(wèn)題(注意并非全然解決)，當(dāng)然能求出一個(gè)原函數(shù)，因此，可以利用第三種方法求出相應(yīng)的定積分.

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】中國(guó)人的收入正在逐年提高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，深圳2002年的人均收入為21 914元人民幣，假設(shè)這一人均收入以速度v(t)=600(1.05)t元/年增長(zhǎng)，這里t是從2003年開(kāi)始算起的年數(shù)，估算2009年深圳的年人均收入是多少？

比較兩種方法，雖求得結(jié)果相同，但后者無(wú)須回代還原不定積分變量x，過(guò)程較前者簡(jiǎn)化.需注意：

(1)引入新變量x=φ(t)必須單調(diào)；

(2)使t在區(qū)間[0，2]內(nèi)變化，x在[0，4]內(nèi)變化，且當(dāng)x=0時(shí)，t=0，當(dāng)x=4時(shí)，t=2，即0=φ(0)，4=φ(2)；

(3)換新變量時(shí)，必須改變積分上下限，簡(jiǎn)稱換元必?fù)Q限.

嚴(yán)格地,有關(guān)定積分的換元積分法定理如下：

定理 (1)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

(2)x=φ(t)在區(qū)間[α，β](或[β，α])上單調(diào)，且φ′(t)也連續(xù)；

(3)t∈[α，β](或[β，α])，x∈[a，b]且a=φ(α)，b=φ(β).

我們可以做以下幾點(diǎn)反思：

(1)換元積分法公式使用必須滿足題目的所有條件，否則使用會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.

(3)換限前下限要小于上限，換后也可能下限大于上限.

(4)定積分換元積公式與不定積分換元積分公式是平行的，即：

(5)換元必?fù)Q限，湊元不換限.

【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)回歸】分析 這是由已知增長(zhǎng)均函數(shù)求總量均函數(shù)的問(wèn)題，是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收入預(yù)測(cè)問(wèn)題.

解 因?yàn)樯钲谀耆司杖胍运俣葀(t)=600(1.05)t元/年增長(zhǎng)，由變化率求總改變量的方法，這7年間年人均收入的總變化為

≈5006.3元.

所以，2009年深圳的人均收入為21 914+5 006.3=26 920.3元.

本文是按照高職數(shù)學(xué)改革的總體思路設(shè)計(jì)的，在分層、分類、分專業(yè)高職數(shù)學(xué)改革的思想指導(dǎo)下，在知識(shí)層面上采取底層必選(高數(shù)必備知識(shí))、中層限選(按專業(yè)方向限選)、高層自選(按學(xué)生發(fā)展方向)的方式進(jìn)行組織教學(xué).主要是滿足底層必選的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”部分，也有可供選擇的部分，并結(jié)合應(yīng)用向?qū)Ъ吧蠙C(jī)操作完成課堂內(nèi)容.

[1]楊林，趙絢.復(fù)合函數(shù)知識(shí)的設(shè)計(jì)[J].科學(xué)中國(guó)人，2016(6)：352.

[2]高建.提高“微積分”課堂教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)思考[J].中國(guó)大學(xué)教育，2008(1)：35-37.