楔形變截面雙模量梁彎曲變形時的解析解

譚麗菲,吳曉,羅佑新

(1.常德市規(guī)劃建筑設計院有限責任公司,湖南 常德,415000;2.湖南文理學院 機械工程學院,湖南 常德,415000)

楔形變截面雙模量梁彎曲變形時的解析解

譚麗菲1,吳曉2,羅佑新2

(1.常德市規(guī)劃建筑設計院有限責任公司,湖南 常德,415000;2.湖南文理學院 機械工程學院,湖南 常德,415000)

推導出了楔形矩形變截面雙模量梁的截面高度表達式,利用靜力平衡方程確定了楔形矩形變截面雙模量梁彎曲時的中性層位置。采用彈性理論建立了楔形矩形變截面雙模量梁的彎曲微分方程,推導出了外載荷作用下梁的撓度表達式。通過算例,討論了楔度比、長高比、剪切效應對楔形矩形變截面雙模量梁彎曲變形時撓度的影響。結(jié)果表明:隨著楔度比的增大,梁的彎曲撓度逐漸減小;隨著長高比的增大,雙模量材料簡支梁、懸臂梁中點的彎曲撓度均逐漸增大,各向同性懸臂梁的中點彎曲撓度也逐漸增大;對于拉壓彈性模量相差較大的雙模量材料梁的彎曲撓度計算,用經(jīng)典材料力學理論計算是不合適的,應采用雙模量材料力學理論進行分析計算。

楔形;變截面;雙模量;梁;彎曲變形

拉壓彈性模量不同是雙模量材料具有的典型特征。文獻[1-2]研究了非線性材料梁的彎曲應力計算;文獻[3]研究了基于敏度分析的不同模量桁架正反問題求解;文獻[4]研究了基于敏度分析的拉壓不同模量桁架問題的數(shù)值分析;文獻[5]研究了拉壓模量不同彈性物質(zhì)本構(gòu)關(guān)系;文獻[6]初步建立了不同模量彈性理論;文獻[7]研究了不同拉壓模量及軟化特性材料的柱形孔擴張問題的統(tǒng)一解;文獻[8-10]研究了雙模量梁的變形問題。由于楔形變截面桿作為承載結(jié)構(gòu),已在工程實際中得到廣泛應用,因此本文采用彈性理論研究了楔形變截面梁的彎曲變形。

1 中性層的確定

以圖1所示楔形矩形變截面雙模量梁為例,假設變截面梁寬為b,梁高變化高度為H(x),可知其任意截面高度表達式為H(x)=H1(1 ?εx/l),式中,β=H0/H1＜1為楔度比,ε=1 -β＜1。

雙模量梁純彎曲時,會形成拉壓彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū),由材料力學理論可知,雙模量梁彎曲時,拉伸區(qū)及壓縮區(qū)的應力表達式為σ1′=E1y/ρ和σ2′=E2y/ρ。式中:E1、E2分別為雙模量梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的彈性模量;ρ為雙模量梁彎曲時,曲率中心至中性層的距離;σ1′、σ2′分別為雙模量梁的拉應力和壓應力;y為雙模量梁橫截面內(nèi)與中性軸垂直的軸的坐標,橫軸與中性軸重合。

圖1 楔形矩形變截面雙模量梁

由材料力學知識可知,雙模量梁彎曲時,橫截面軸向靜力方程為拉伸區(qū)高度h1與壓縮區(qū)高度h2關(guān)系為H(x)=h1+h2。因此,由于曲率半徑ρ及梁高H(x)均是軸向坐標的函數(shù),與縱坐標無關(guān)可求得

2 梁彎曲撓曲線方程

由彈性理論可知,雙模量梁在外載荷作用下,梁微段平衡方程、應力與應變的本構(gòu)關(guān)系為

式中,Fxi、Fyi分別為作用在梁微段上的外力,并

以圖1所示矩形雙模量梁為例,假設變形后梁截面保持平面,但可以不再垂直中性軸線。這樣,梁的中性軸線撓度w(x)為梁的垂直位移,而水平方向位移為y的一階項,即u(x,y)=?yθ(x),式中,θ(x)為橫截面在中性軸線處的轉(zhuǎn)角。

由于一維梁理論忽略了橫向擠壓應力,即σyi=0時,可把式(1)及(2)化為如下形式:

假設在圖1所示楔形變截面雙模量梁上作用有沿梁長l分布的均布載荷q0,可以求得

對于其它支承的楔形變截面雙模量梁在外載荷作用下的撓曲線方程,利用θ(x)及w(x)的表達式,且結(jié)合邊界條件同樣可以方便求得。

3 算例分析

下面利用式(5)、(8)、(10),計算楔形變截面雙模量簡支梁、雙模量懸臂梁上作用有沿梁長分布的均布載荷q0時,楔度比、剪切效應對楔形矩形變截面雙模量梁彎曲變形時梁中點撓度的影響。雙模量梁材料參數(shù)及截面尺寸為E1=113 GPa,E2=145 GPa,μ1=0.22,μ2=0.29,b=50 mm,H1=100 mm。假設沿雙模量梁長作用有均布載荷q0=100 kN/m。參閱文獻[11]平面應力問題有剪切系數(shù)k=8/9。具體計算結(jié)果列在表1～6中,表1～6中括號內(nèi)數(shù)字為不考慮剪切變形時梁中點的撓度。

表1E1=113 GPa,E2=145 GPa時,雙模量簡支梁中點撓度 /mm

表2E1=E2=145 GPa時,各向同性簡支梁中點撓度/mm

表3E1=E2=113 Gpa時,各向同性簡支梁中點撓度/mm

表4E1=113 GPa,E2=145 GPa時,雙模量懸臂梁中點撓度 /mm

表5E1=E2=145 GPa時,各向同性懸臂梁中點撓度/mm

表6E1=E2=113 GPa時,各向同性懸臂梁中點撓度/mm

分析表1～6結(jié)果可知,把雙模量材料梁作為各向同性梁進行撓度計算,所得誤差均在10%以上。所以,對于拉壓彈性模量相差較大的雙模量材料梁的彎曲撓度計算,采用經(jīng)典材料力學理論計算是不合適的,應該采用雙模量材料力學理論進行分析計算。

隨著楔度比β的增大,梁的彎曲撓度逐漸減小。隨著長高比l/H1的增大,雙模量材料簡支梁、懸臂梁中點的彎曲撓度均逐漸增大,各向同性懸臂梁的中點彎曲撓度也逐漸增大。對于各向同性簡支梁,當0.1 ＜β＜0.9,且0 ＜l/H1≤ 7時,隨著長高比l/H1的增大,各向同性簡支梁中點彎曲撓度也逐漸增大;當β≥ 0.9,且l/H1≥ 7時,隨著長高比l/H1的增大,各向同性簡支梁中點彎曲撓度逐漸減小。

對于雙模量材料簡支梁考慮剪切變形時,當l/H1≤ 9時,考慮剪切變形時梁中點的彎曲撓度均大于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。當l/H1＜9,β＜0.7時,考慮剪切變形時中點的彎曲撓度均小于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。對于雙模量材料懸臂梁,考慮剪切變形時梁中點的彎曲撓度均大于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。對于雙模量材料梁,當β＞ 0.7時即使長高比l/H1=11,考慮剪切變形時梁中點彎曲撓度與不考慮剪切變形時梁中點撓度的誤差超過5%。

4 結(jié)論

(1)隨著楔度比β的增大,梁中點的彎曲撓度逐漸減小。隨著長高比l/H1的增大,雙模量材料簡支梁、懸臂梁中點的彎曲撓度均逐漸增大,各向同性懸臂梁的中點彎曲撓度也逐漸增大。

(2)對于雙模量材料懸臂梁,考慮剪切變形時,中點的彎曲撓度均大于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。對于雙模量材料簡支梁考慮剪切變形時,當l/H1≤9時,考慮剪切變形時梁中點的彎曲撓度均大于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。當l/H1＞9,β＜0.7,考慮剪切變形時,中點的彎曲撓度均小于不考慮剪切變形時梁中點的撓度。

(3)對于拉壓彈性模量相差較大的雙模量材料梁的彎曲撓度計算,采用經(jīng)典材料力學理論進行雙模量梁的彎曲撓度計算分析是不合適的,應該采用雙模量材料力學理論進行分析計算。

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(責任編校:江河)

Analytical solution of tapered bimodulous beam during bending deformation

Tan Lifei1,Wu Xiao2,Luo Youxin2
(1.Changde Planning and Architectural Design Institute Co Ltd,Changde 415000,China;2.College of Mechanical Engineering,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

The equations of cross height for tapered bimodulous beam are deduced and the static equations are used to determine the location of neutral axis in tapered bimodulus beam.Using the elastic theory,the bending differential equation for tapered bimodulous beam is established and deflection expression for beam under external load is deduced.By analysis of examples,that the effect of wedge ratio,length-height ratio and shear effect on the deflection of tapered bimodulous beam during bending deformation are discussed.The results show that with the increasing of wedge ratios,the bending deflection decreases,and with the increasing of length-height ratios,the bending deflection in the midpoint for bimodulous simply supported beam,cantilevers and cantilevers with isotropic material increase.Calculation of bending deflection for bimodulous beam is inappropriate by the method of the classic mechanic theory when elasticity modulu of tension and compression is large.The bimodulus materials theory is suitable to calculate the bending deflection of bimodulous beam.

tapered;variable cross section;bimodulous;beam;bending deflection

O 343.5

A

1672-6146(2017)02-0090-05

吳曉,wx2005220@163.com。

2017-04-01

湖南省科技計劃項目(2011SK3145);湖南“十二五”重點建設學科項目(湘教發(fā)[2011]76號);湖南省自然科學基金(2015JJ6073)。

10.3969/j.issn.1672-6146.2017.02.021