四步建構(gòu) 感悟數(shù)學(xué)基本思想
——以《數(shù)學(xué)思考》教學(xué)為例

浙江省臺州溫嶺市澤國鎮(zhèn)第三小學(xué) 王海勇

四步建構(gòu) 感悟數(shù)學(xué)基本思想
——以《數(shù)學(xué)思考》教學(xué)為例

浙江省臺州溫嶺市澤國鎮(zhèn)第三小學(xué) 王海勇

作為數(shù)學(xué)靈魂的思想方法，我們已在日常教學(xué)中或多或少地進(jìn)行了蘊伏和滲透，但對六下總復(fù)習(xí)來說，又該如何定位呢？本文嘗試以六下總復(fù)習(xí)中的《數(shù)學(xué)思考》一課為例，從目標(biāo)厘清、氛圍營造、學(xué)法設(shè)計、拓展應(yīng)用四個方面對六下總復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)策略進(jìn)行了探索。盡管以管窺豹，但還是希望能對老師們有所啟迪。

數(shù)學(xué)基本思想；數(shù)學(xué)思考；感悟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“新四基”的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，其中把人們通常認(rèn)為是“軟任務(wù)”的思想提升為與“雙基”同等重要的“硬指標(biāo)”是本輪課改著力凸顯的亮點之一。那么作為一線教師，如何在日常教學(xué)中科學(xué)、務(wù)實、有效地達(dá)成這一課程目標(biāo)呢？這些問題都值得我們在實踐中展開探索。現(xiàn)以六下總復(fù)習(xí)中的《數(shù)學(xué)思考》一課為例，談?wù)劰P者對六下總復(fù)習(xí)中基本思想教學(xué)策略的一些思考，供同行們商榷。

一、厘清目標(biāo)，解讀教材內(nèi)涵

第一次試教《數(shù)學(xué)思考》時，筆者將教學(xué)重點定位于借助列表、畫圖的方法，探尋“平面端點連接所成線段條數(shù)”的規(guī)律，并運用規(guī)律解決問題。但作為六下總復(fù)習(xí)中承載著數(shù)學(xué)基本思想復(fù)習(xí)的一塊教學(xué)內(nèi)容，這樣的目標(biāo)只看到了問題解決，突出了基本知識，忽視了知識背后的思想以及復(fù)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)感悟。因此，一節(jié)課下來效果大打折扣，甚至課一結(jié)尾，就有學(xué)生告訴筆者，這節(jié)課僅看書自學(xué)就可掌握本課所授的數(shù)學(xué)規(guī)律。后來，筆者經(jīng)過多方查詢后認(rèn)識到教材編排的目的，不僅僅是讓學(xué)生掌握幾道題的解法，更重要的是使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)基本思想的洗禮。因此，筆者在反復(fù)斟酌之后將教學(xué)目標(biāo)重新修改，在原有目標(biāo)基礎(chǔ)上增加了一條“經(jīng)歷并體驗‘化繁為簡，尋找規(guī)律’的問題解決過程，在解決問題的情境中滲透、介紹和突出化歸、數(shù)形結(jié)合、比較、極限等數(shù)學(xué)思想方法”，教學(xué)時更是將這一目標(biāo)作為重點來組織教學(xué)。一節(jié)課下來，比起第一次試教時的“油浮于水”，學(xué)生這次的思考層面、感悟程度明顯深入。

二、蘊伏鋪墊，營造數(shù)學(xué)氛圍

1．創(chuàng)設(shè)情境，從“具體”中“抽象”

數(shù)學(xué)基本思想本身屬隱性知識或緘默知識，具有“所知比能言多”的特點，所以無論我們?nèi)绾闻蠢彰璁?，思想必定比任何華麗的辭藻都要豐富不知多少。鑒于此，教師需創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中逐步抽象，營造出思想形成需要的數(shù)學(xué)氛圍。

如上課伊始，教師就呈現(xiàn)奧運主場館鳥巢的圖片，由鳥巢的俯視圖入手，介紹設(shè)計師在設(shè)計其外形的時候就曾經(jīng)參考過數(shù)學(xué)上的一幅簡單而美麗的圖形——由圓上20個點相互連接而成的組合圖形，由此完成從生活情境到數(shù)學(xué)情境的過渡，把抽象的數(shù)學(xué)知識融于現(xiàn)實的數(shù)學(xué)情境中，有效地在數(shù)學(xué)與生活之間架起了一座無形的橋梁。

2．課件演繹，化“靜態(tài)”為“動態(tài)”

教師可應(yīng)用多媒體技術(shù)，以其形、聲、色渾然一體，圖、文、音并茂的優(yōu)點，化“靜態(tài)”為“動態(tài)”，溝通課本與學(xué)生的認(rèn)知，使之對教學(xué)內(nèi)容有更深入、更本質(zhì)的理解和把握。

如呈現(xiàn)出圓上20個點組合而成的圖形后，教師可使用課件演繹圖形的形成過程，并伴隨語言解說：“首先，圓上有20個等分點，分別用A1、A2、A3……A20表示。任意兩個點連成一條線段，直到所有點都兩兩相連，就形成了這幅圖形?！睆亩鴮?shù)學(xué)的“形”通過多媒體技術(shù)化“靜”為“動”，直觀展示在學(xué)生面前。

三、設(shè)計學(xué)法，感悟數(shù)學(xué)思想

1．化繁為簡，明確問題——領(lǐng)悟“化歸思想”

六年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多創(chuàng)設(shè)情境，以問題導(dǎo)入，圍繞著問題展開探索。這就需要教師能根據(jù)問題的特征或數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生采用化隱為顯、化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方式，把未解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類較易解決的問題，有效降低學(xué)習(xí)難度。

如教學(xué)過程中教師提問：“你知道這里有多少條線段嗎？請大膽猜測一下！”學(xué)生眾說紛紜，有說100條的，有說500條的。當(dāng)學(xué)生憑感覺多番猜測無果后，教師就可引導(dǎo)他們思考其中的原因。學(xué)生很自然地想到20個點太多，從而導(dǎo)致連成的線段也數(shù)不清。由此，教師拋出問題：“看來是20個點這個數(shù)據(jù)太大了，那在數(shù)學(xué)上遇到大數(shù)據(jù)的難題時該怎么解決？”學(xué)生很輕松地就想到將大數(shù)據(jù)化為小數(shù)據(jù)，繼而得到可以從“兩點一線”這個最簡單的情況入手，探尋規(guī)律再解決問題。教師也順?biāo)浦郏隙▽W(xué)生的這種“把大數(shù)據(jù)化成小數(shù)據(jù)，從小數(shù)據(jù)入手研究規(guī)律，再反過來解決大數(shù)據(jù)難題”的思想方法，并板書“化繁為簡”，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會化歸思想。

2．借助圖形，動手操作——體驗“數(shù)形結(jié)合”

教師在教學(xué)過程中可引導(dǎo)學(xué)生通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”兩種方式，體驗“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

如學(xué)生明確從“兩點一線”開始研究問題之后，教師就引導(dǎo)學(xué)生通過逐漸增加點數(shù)探究線段的增加條數(shù)和總條數(shù)，并通過動手操作畫出虛實相間或顏色不同的線段來區(qū)分增加條數(shù)與原有條數(shù)的不同，由此突出問題探索的重點在于增加的條數(shù)和總條數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。如此，一方面，教師將抽象的數(shù)學(xué)思想方法借助簡單明了的學(xué)習(xí)素材，使之直觀化、形象化、簡單化；另一方面，學(xué)生對復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想方法也有了深刻體驗，有效降低了學(xué)習(xí)難度。

3．關(guān)注重點，對比歸納——浸潤“不完全歸納”

教師可在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題解決中的重點，比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況并進(jìn)行歸納，以便學(xué)生能理解知識的本質(zhì)屬性，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如學(xué)生在借助圖形得出“增加一個點變成4點就增加3條線段，總條數(shù)為1+2+3＝6（條）”之后，教師立刻追問：“如果點數(shù)不斷增加，變成5個、6個、7個，會分別增加幾條線段？總條數(shù)又該如何計算？”學(xué)生面對不斷增加的點數(shù)和變得不斷復(fù)雜的圖形，就能感受到直觀圖形的局限，必然要另尋方法，自然會關(guān)注“增加條數(shù)”和“總條數(shù)（算式）”兩項，由此完成了方法層面的比較。這時，教師再進(jìn)行追問：“每次都是增加1個點，為什么增加條數(shù)卻不同？”促使學(xué)生去羅列每次增加的條數(shù)，完成數(shù)據(jù)的比較。之后，教師可再追問：“對比算式，你又能發(fā)現(xiàn)什么？”引導(dǎo)學(xué)生去分析總條數(shù)的算式，完成列式的比較。因此，他們很容易就得出“5點時，增加4條線段，算式是1+2+3+4，總條數(shù)是10條”；“6點時，增加5條線段，算式是1+2+3+4+5，總條數(shù)是15條”……更為重要的是歷經(jīng)三次比較之后，學(xué)生既對于“比較思想”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性有了重新的認(rèn)識，又對“平面端點連接所成線段條數(shù)”的規(guī)律有了歸納——新增條數(shù)就是點數(shù)-1、總條數(shù)＝1+2+……+（點數(shù)-1）。

4．畫龍點睛、思維提升——體會“以退為進(jìn)”

教師切不可沖鋒在前，一遇問題便幫助學(xué)開路搭橋，而要適時而“退”，讓學(xué)生在退中悟理，悟理而進(jìn)，從而抓住知識內(nèi)容的本質(zhì)與核心，達(dá)到由知識學(xué)習(xí)提升為體會思想方法的目的。

師：剛才同學(xué)們化繁為簡、步步思考，最后歸納出了規(guī)律，并運用規(guī)律解決了“20個點能連接成多少條線段”這個問題。那請同學(xué)們回顧一下，剛才我們化繁為簡到幾個點開始研究？

生：2個點，2點連成一條線段。

師：能不能再退一退，退到1個點來研究？

生：不行，1個點連不成一條線段。

師：真的嗎？那就請同學(xué)們仔細(xì)想想，如果以A1為起點，能連多少條線段？如果以A2為起點，又能連多少條線段呢？現(xiàn)在，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：好像從每個點出發(fā)都能連接20條線段。不過，每條線段都重復(fù)了一次，像A1連A13的線段和A13連A1的線段是同一條，其他所有線段也是這樣。所以，總條數(shù)應(yīng)該是20×19÷2。

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)就是這么奇妙！換一個角度，可能別有一番天地。數(shù)學(xué)家華羅庚就曾說過：“同學(xué)們，我們在解決數(shù)學(xué)難題時要學(xué)會知難而‘退’，要善于退、足夠地退，退到最簡單而不失關(guān)鍵的地方，那么，你就已經(jīng)找到這道題的精髓了?！?/p>

四、實踐拓展、創(chuàng)新數(shù)學(xué)應(yīng)用

1．思維遷移、開發(fā)課堂資源

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識、有計劃地設(shè)計一些實踐性的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，提高解決問題的能力。”這就要求教師開發(fā)課堂教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維遷移，使他們真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識，同時感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

如：全班有44個人，每2個同學(xué)握手一次，總共握手幾次？學(xué)生有了前面的充分探索，很快就能想到“人其實就是點”、“握手就是一條線段”，“求握手多少次就是求44個點能連成多少條線段”，將課堂學(xué)習(xí)的新知巧妙地進(jìn)行遷移，解決了課堂中的實際問題。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)追問：“如果老師也參加，總共握手幾次呢？”從而引領(lǐng)學(xué)生對比“45個點連成多少線段”和“原來的結(jié)果加上教師新增的44次握手”兩種解決方法，明悟規(guī)律的使用也要合理選擇。

2．巧妙變式、開發(fā)生活資源

數(shù)學(xué)知識來源于生活而最終服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)思想方法更是如此。教師教學(xué)時就可以將生活中的素材作為教學(xué)資源巧妙變式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索。

如：教師可利用學(xué)生乘坐動車的經(jīng)歷，引出習(xí)題“動車從杭州到上海這條路上要經(jīng)過7個站點，請問需設(shè)計多少種動車票以供乘客購買？”學(xué)生在短暫思考后列出了“9×8÷2”、“9×8÷2×2”、“9×8”三種算式。學(xué)生結(jié)合生活實際情況進(jìn)行討論后，認(rèn)識到杭州和上海之間應(yīng)該有來回兩條路線，很快就排除了第一種方法，肯定了二、三兩個算式。教師在此基礎(chǔ)上再度拓展提升，向?qū)W生介紹二、三兩個算式就是排列和組合兩種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用——排列考慮順序，因此先除2再乘2；組合不考慮順序，因此直接用9×8，極大拓寬了學(xué)生的知識面，為第二學(xué)段的排列與組合教學(xué)打下了基礎(chǔ)。

綜上所述，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中不論是教學(xué)目標(biāo)的確定、情境的創(chuàng)設(shè)，還是學(xué)法的選擇、實踐的應(yīng)用，都需要教師有計劃、有目的地滲透、介紹或突出數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，小學(xué)階段還有諸如對應(yīng)、假設(shè)、分類等數(shù)學(xué)思想方法，在此因內(nèi)容有限并未涉及。但不論如何，只要教師始終存著“如果把數(shù)學(xué)知識比喻成金子，那么數(shù)學(xué)思想方法就是‘點金術(shù)’，知識學(xué)習(xí)可以管用一時，而數(shù)學(xué)思想方法卻可使學(xué)生終身受益”的理念，那么六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生而言必然是一趟美妙、充實的數(shù)學(xué)精神之旅。

[1]李海東：重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2011（1-2）．

[2]許春榮：比較出真知——淺談“比較思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（20）．

[3]滿 慧：小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究與實踐[D]．南京師范大學(xué)，2011．

[4]孫曉天：關(guān)于數(shù)學(xué)基本思想的若干認(rèn)識與思考[J]．江蘇教育，2012（12）．