氣囊式液壓蓄能器的數(shù)學(xué)模型與仿真分析?

畢 超 陳正茂 張立斌 羅松保

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氣囊式液壓蓄能器的數(shù)學(xué)模型與仿真分析?

畢 超1陳正茂2張立斌1羅松保1

（1. 北京航空精密機(jī)械研究所，精密制造技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076；2. 北京信息高技術(shù)研究所，北京 100085）

為了提高液體靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)工作性能，針對(duì)其中的氣囊式液壓蓄能器開展了基礎(chǔ)理論研究，通過合理假設(shè)和公式推導(dǎo)得到了以氣腔體積為輸出的蓄能器數(shù)學(xué)模型，并基于此建立了蓄能器的仿真分析模型，考察了蓄能器在不同的充氣壓力下對(duì)液壓回路中的階躍沖擊和脈動(dòng)沖擊的衰減效果，并通過壓力衰減實(shí)驗(yàn)考察了蓄能器對(duì)供油管路中的油液波動(dòng)的衰減規(guī)律。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，表明了所建立的氣囊式液壓蓄能器模型的有效性和實(shí)用性。

蓄能器；數(shù)學(xué)模型；液壓系統(tǒng)；傳遞函數(shù)

1 引言

近年來，隨著液壓理論與技術(shù)的深入研究，基于液壓原理的傳動(dòng)與控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天、工程機(jī)械、能源動(dòng)力和武器裝備等領(lǐng)域。在這些系統(tǒng)中，液壓蓄能器作為一種重要的能量?jī)?chǔ)存與釋放裝置，可以起到改善液壓系統(tǒng)性能的作用，從而使其穩(wěn)定、可靠地運(yùn)行[1]。液壓蓄能器能夠在一定時(shí)間內(nèi)將液壓回路中由動(dòng)力元件（如油泵等）產(chǎn)生的多余能量轉(zhuǎn)換成其他形式的能量?jī)?chǔ)存起來，并將這些能量在執(zhí)行元件所需能量不足時(shí)釋放出來，這樣就使蓄能器具有了蓄積壓力能和吸收壓力沖擊的功能，從而減輕了油路中的壓力波動(dòng)并提高了能量利用的靈活性[2，3]，因而被廣泛應(yīng)用于各類液壓自動(dòng)化設(shè)備中。

在各種形式的液壓蓄能器中，氣囊式蓄能器是基于氣體（氮?dú)猓┑目蓧嚎s性而研制出的一種液壓蓄能裝置，由于其具有體積小、重量輕、響應(yīng)快、氣液隔離和易于安裝等特點(diǎn)，并且可以做成不同規(guī)格，因而目前應(yīng)用最為廣泛[4]。具體說來，氣囊式液壓蓄能器主要包括油液部分和氣囊（內(nèi)部裝有預(yù)充壓力的氮?dú)猓?，?dāng)液壓回路中的壓力升高時(shí)，油液進(jìn)入蓄能器，此時(shí)氣囊被壓縮，吸收了油液的壓力，從而使回路中的壓力不再上升；而當(dāng)液壓回路中的壓力下降時(shí)，被壓縮的氣囊膨脹，進(jìn)而將油液壓入回路，從而使回路中的壓力下降得到緩沖[5]。

為了提高Nanosys-1000數(shù)控光學(xué)超精密加工系統(tǒng)中的液體靜壓導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)工作性能，建立導(dǎo)軌系統(tǒng)中的氣囊式液壓蓄能器的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。首先，將蓄能器分為氣腔和液腔兩個(gè)部分，分別研究了模型中的各個(gè)參數(shù)和蓄能器工作參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；然后建立了蓄能器的仿真模型，主要分析了蓄能器在衰減階躍沖擊和脈動(dòng)沖擊方面的應(yīng)用效果；最后，通過實(shí)驗(yàn)考察了蓄能器對(duì)液壓回路中的波動(dòng)壓力的衰減情況，與仿真結(jié)果基本吻合。

2 蓄能器的數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，氣囊式液壓蓄能器主要由充氣閥、耐壓殼體、彈性氣囊、菌形閥、進(jìn)油口和放氣塞等部分組成[6]。其中，彈性氣囊內(nèi)部的氣腔中裝有預(yù)充壓力的氮?dú)?，而液腔通過進(jìn)油口與液壓回路相通。在氣囊式蓄能器的工作過程中，彈性氣囊內(nèi)的氮?dú)庵饕惺艽怪狈较虻妮d荷[7]。

圖1 氣囊式液壓蓄能器的基本結(jié)構(gòu)

為了得到氣囊式液壓蓄能器的整體數(shù)學(xué)模型，首先將蓄能器本體分為氣腔和液腔兩個(gè)部分，然后通過受力分析研究每個(gè)部分的數(shù)學(xué)模型，最后再將二者經(jīng)由相關(guān)參數(shù)聯(lián)系起來。在建立蓄能器的數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要做出如下合理假設(shè)以簡(jiǎn)化建模過程：a.液腔的充液過程較慢，因而可以將氣體壓強(qiáng)和體積的變化近似為等溫過程；b.液腔的放液過程較快，因而可以將氣體壓強(qiáng)和體積的變化近似為絕熱過程；c.氣囊的質(zhì)量與液腔中的油液質(zhì)量相比很小，可以忽略，而且氣囊在變形前后的外徑保持不變；d.與氣體相比，油液的壓縮性可以忽略[8]。

2.1 氣腔模型

一般情況下，可以將氣囊中充入的氮?dú)庖暈槔硐霘怏w（不計(jì)粘性的氣體），其狀態(tài)可以通過壓強(qiáng)（Pa）、體積（m3）和熱力學(xué)溫度（K）進(jìn)行完整描述[9]。根據(jù)理想氣體的數(shù)學(xué)模型，一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程為：

其中，為理想氣體常數(shù)；為理想氣體的絕熱指數(shù)，對(duì)于彈性氣囊內(nèi)的氮?dú)舛裕梢匀?1.41。

在蓄能器液腔的放液過程中，氣腔中氣體的壓強(qiáng)和體積的變化過程近似為絕熱過程，因而此過程中的氣體狀態(tài)方程為：

而在蓄能器液腔的充液過程中，氣腔中氣體的壓強(qiáng)和體積的變化過程近似為等溫過程，此時(shí)的氣體狀態(tài)方程可以通過令式（2）中的=1來得到。當(dāng)蓄能器充液時(shí)，液壓回路中的油液將通過進(jìn)油口進(jìn)入液腔，此時(shí)彈性氣囊會(huì)受到來自液腔的壓力，這樣就會(huì)使密封在氣囊中的氮?dú)獗粔嚎s，其產(chǎn)生的效果類似于彈簧，因而可以將此過程簡(jiǎn)化為一個(gè)“氣體彈簧-阻尼”模型，如圖2所示。

圖2 “氣體彈簧-阻尼”模型

對(duì)彈性氣囊進(jìn)行受力分析，可以得到氣體的受力平衡方程為：

其中，為氣體的剛度系數(shù)，N/m；為氣體的阻尼系數(shù)，N·s/m；為隔離氣腔和液腔的氣囊面積，m2。在建模過程中，可以將近似取為蓄能器殼體的中間橫截面的面積。

2.2 液腔模型

蓄能器整體的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖3所示，將受力對(duì)象限定在液腔中的油液上，并設(shè)其質(zhì)量為。

圖3 蓄能器的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

顯然，在不考慮油液的彈性模量時(shí)，其受力平衡方程為：

其中，p為蓄能器的進(jìn)油口壓強(qiáng)；為液腔中的油液質(zhì)量；為油液的粘性阻尼。

結(jié)合式（3）和式（4），可以得到

式（5）建立了蓄能器中液腔與氣腔之間的參數(shù)關(guān)系。設(shè)（0，0）為氣腔部分的充氣壓強(qiáng)及其在該工作狀態(tài)下的體積，（，）為氣腔部分的任意工作狀態(tài)，根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程（2），有：

（6）

對(duì)式（6）在工作點(diǎn)（0，0）處作Taylor展開，并略去高次項(xiàng)，得

將式（6）和式（7）帶入式（5）中，經(jīng)過整理可以得到以氣腔體積為輸出的蓄能器數(shù)學(xué)模型，即

（8）

將式（8）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得

其中，ω為蓄能器的無阻尼固有頻率：

3 模型參數(shù)的確定

3.1 油液等效質(zhì)量

如果系統(tǒng)的工作壓強(qiáng)為，那么此時(shí)系統(tǒng)中氣腔承受的壓強(qiáng)也為，根據(jù)式（6），可以得到

其中，為氣腔在系統(tǒng)工作壓強(qiáng)下的體積。因此，可以得到液腔中油液的等效體積Δ為：

（11）

設(shè)油液的密度為，則液腔中油液的等效質(zhì)量為：

當(dāng)油液的溫度為50℃時(shí)，其密度=855kg/m3。由式（12）可以看出，當(dāng)蓄能器的工作壓強(qiáng)確定后，液腔中油液的等效質(zhì)量與氣腔的充氣壓強(qiáng)0呈減函數(shù)關(guān)系；而當(dāng)氣腔的充氣壓強(qiáng)0確定后，油液的等效質(zhì)量與蓄能器的工作壓強(qiáng)呈增函數(shù)關(guān)系。

3.2 油液粘性阻尼系數(shù)

油液粘性阻尼系數(shù)的表達(dá)式為：

其中，l為蓄能器液腔的等效長(zhǎng)度，定義為液腔中油液的總體積Δ與蓄能器殼體的橫截面積的比值，即l=Δ/；為油液的動(dòng)力粘度，其表達(dá)式為

（14）

其中，0為一個(gè)大氣壓下的油液的動(dòng)力粘度（Pa·s），本文取0=0.35Pa·s；為油液的粘壓系數(shù)，=0.015～0.035MPa-1，為了方便計(jì)算，本文取=0.02 MPa-1。從式（14）可以看出，當(dāng)蓄能器的工作壓強(qiáng)確定后，油液的粘性阻尼系數(shù)與蓄能器氣腔的充氣壓強(qiáng)0之間為減函數(shù)關(guān)系；而當(dāng)氣腔的充氣壓強(qiáng)0確定后，油液的粘性阻尼系數(shù)與蓄能器的工作壓強(qiáng)之間為增函數(shù)關(guān)系。

3.3 氣體阻尼系數(shù)

氣體的阻尼系數(shù)的表達(dá)式為：

其中，為氣體的粘度系數(shù)，Pa·s。本文取=1.894×10-2Pa·s。從式（15）可以看出，蓄能器氣腔中的氣體阻尼系數(shù)與其充氣壓強(qiáng)0呈增函數(shù)關(guān)系；而當(dāng)蓄能器的充氣壓強(qiáng)0確定后，氣體的阻尼系數(shù)與蓄能器的工作壓強(qiáng)呈減函數(shù)關(guān)系。

3.4 氣體剛度

在如圖2所示的“氣體彈簧-阻尼”模型中，氣體彈簧的剛度定義為氣體體積的變化量與氣體壓強(qiáng)的變化量之間的比值。因此，氣囊中氣體的剛度表達(dá)式為：

其中，p為密封氣體在某一時(shí)刻的壓強(qiáng)，V為密封氣體在該時(shí)刻的體積。在本文中，將0和0分別選取為蓄能器的充氣壓強(qiáng)和總?cè)莘e（也可以認(rèn)為此時(shí)是液腔中無油液時(shí)的氣體狀態(tài)）。由式（16）可知，當(dāng)蓄能器和氣腔的充氣壓強(qiáng)0確定后，氣體的剛度隨著系統(tǒng)工作壓強(qiáng)的增大而增大；而當(dāng)蓄能器及其工作壓強(qiáng)確定后，氣體的剛度隨著充氣壓強(qiáng)0的增大而減小。同時(shí)，氣體的剛度與蓄能器總?cè)莘e0之間為反比例函數(shù)關(guān)系。

3.5 無阻尼固有頻率和阻尼系數(shù)

將式（12）～式（16）分別代入式（9）中，消去模型參數(shù)，就可以得到無阻尼固有頻率ω、阻尼系數(shù)與系統(tǒng)工況、蓄能器結(jié)構(gòu)參數(shù)（如蓄能器殼體的橫截面積）之間的關(guān)系，即：

當(dāng)氣囊式液壓蓄能器用于不同用途時(shí)，其參數(shù)的選擇要根據(jù)具體要求對(duì)ω、進(jìn)行優(yōu)化，這樣就可以得到蓄能器的相應(yīng)工作參數(shù)。

4 蓄能器吸收壓力沖擊的仿真

在上一節(jié)中，建立了以蓄能器的進(jìn)油口壓強(qiáng)p為輸入信號(hào)，以氣腔體積為輸出信號(hào)的傳遞函數(shù)()。由蓄能器的傳遞函數(shù)()可知，其模型為二階系統(tǒng)，本文在Matlab軟件的Simulink集成環(huán)境中建立了相應(yīng)的仿真模型，以考察蓄能器在不同的充氣壓力下對(duì)液壓回路中的階躍沖擊和脈沖壓力的衰減情況。

在本文中，氣囊式液壓蓄能器的型號(hào)為NXQ-L4，其體積為0.004m3，橫截面積為0.0137m2，系統(tǒng)壓強(qiáng)為1.7MPa，充氣壓強(qiáng)分別為0.6、0.8、1、1.2、1.4和1.6MPa。將其分別代入ω和的表達(dá)式中，經(jīng)計(jì)算就可以得到不同充氣壓強(qiáng)下的ω和值，再將這些參數(shù)輸入到仿真模型中，并給仿真模型輸入幅值為0.1MPa的階躍信號(hào)，就可以得到相應(yīng)充氣壓強(qiáng)下的蓄能器響應(yīng)曲線。

如圖4所示，蓄能器在不同的充氣壓強(qiáng)下，對(duì)沖擊壓力和脈動(dòng)壓力的衰減程度不一樣。蓄能器充氣壓強(qiáng)越低，蓄能器對(duì)階躍沖擊的衰減程度越高，能衰減80%左右的沖擊壓力；而充氣壓強(qiáng)升高時(shí)，其對(duì)階躍沖擊的響應(yīng)時(shí)間變短，當(dāng)充氣壓強(qiáng)為1.6MPa時(shí)，其響應(yīng)時(shí)間小于2s。同時(shí)，蓄能器對(duì)脈動(dòng)信號(hào)也具有類似的衰減效果，其充氣壓強(qiáng)的大小反映出蓄能器對(duì)脈動(dòng)壓力跟隨能力的高低，充氣壓強(qiáng)越高，其跟隨效果越好。綜合蓄能器的衰減效果、響應(yīng)時(shí)間及跟隨能力，在液壓系統(tǒng)的管路中，蓄能器的充氣壓強(qiáng)應(yīng)該選取工作壓強(qiáng)的0.5～0.6倍，這樣才能最大限度地發(fā)揮出蓄能器的功用。

a 消除階躍沖擊的響應(yīng)曲線

b 消除脈動(dòng)沖擊的響應(yīng)曲線

圖4 蓄能器的響應(yīng)曲線

5 蓄能器的衰減壓力實(shí)驗(yàn)

針對(duì)Nanosystem-1000數(shù)控光學(xué)超精密加工系統(tǒng)的液體靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)的氣囊式液壓蓄能器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，考察蓄能器對(duì)油泵出油口波動(dòng)壓力的衰減情況。

5.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

由于蓄能器的充氣過程較為繁瑣，因而本文在蓄能器的衰減壓力實(shí)驗(yàn)中，只針對(duì)充氣壓強(qiáng)為最佳（0.55倍工作壓強(qiáng)）的情況下實(shí)驗(yàn)。由于只需要考察蓄能器對(duì)液體靜壓導(dǎo)軌管路中波動(dòng)壓力的衰減百分比情況，因而可以采取對(duì)液體回路的管壁振動(dòng)情況進(jìn)行間接考察的方式，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖5所示。

a 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)???????b 加裝蓄能器???????c 未加裝蓄能器

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)液體靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)的液壓回路振動(dòng)情況進(jìn)行信號(hào)采集，并對(duì)回路中加裝蓄能器和未加裝蓄能器的情況進(jìn)行對(duì)比，所測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別如圖6和圖7所示。

圖6 未加裝蓄能器時(shí)回路的振動(dòng)情況

圖7 加裝蓄能器后的回路振動(dòng)情況

由圖6和圖7可知，在未加裝蓄能器時(shí)，油泵輸出油液時(shí)回路的振動(dòng)峰-峰值為0.081mm；加裝蓄能器之后，輸油回路的管壁振動(dòng)峰-峰值為0.021mm，衰減了74%的波動(dòng)壓力。本實(shí)驗(yàn)從間接角度分析了蓄能器對(duì)液體靜壓導(dǎo)軌的管路中波動(dòng)壓力的衰減情況，在最佳充氣壓強(qiáng)的條件下，NXQ-L4型蓄能器可衰減管路中70%的波動(dòng)壓力，與仿真結(jié)果基本吻合。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了確保Nanosys-1000機(jī)床中的液體靜壓導(dǎo)軌的運(yùn)行穩(wěn)定性和精度，對(duì)其中的重要液壓元件——?dú)饽沂揭簤盒钅芷鬟M(jìn)行了數(shù)學(xué)建模與仿真分析，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。根據(jù)蓄能器的結(jié)構(gòu)及工作原理，建立了簡(jiǎn)化的蓄能器數(shù)學(xué)模型，得到了蓄能器的輸入輸出函數(shù)，并通過仿真得出了蓄能器在不同的充氣壓強(qiáng)下對(duì)液體靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)中的波動(dòng)油液壓力的衰減情況，仿真結(jié)果表明蓄能器的充氣壓強(qiáng)應(yīng)該選取工作壓強(qiáng)的0.5～0.6倍，以最大限度地發(fā)揮出蓄能器的功用。在蓄能器的衰減壓力實(shí)驗(yàn)中，考察了蓄能器對(duì)油泵出油口波動(dòng)壓力的衰減情況，在最佳充氣壓強(qiáng)的條件下，蓄能器可衰減管路中74%的波動(dòng)壓力，與仿真結(jié)果基本一致。

1 張麗飛. 淺談蓄能器制造業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀[J]. 裝備制造技術(shù)，2016(9)：234～236

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Mathematical Model and Simulation Analysis of Hydraulic Bladder Accumulator

Bi Chao1Chen Zhengmao2Zhang Libin1Luo Songbao1

(1. Key Laboratory of Science and Technology on Precision Manufacturing Technology, Beijing Precision Engineering Institute for Aircraft Industry, Beijing 100076；2. Beijing Information and High Technology Research Institute, Beijing 100085)

In order to improve the dynamic performance of the hydrostatic guideway system, the basic theory of hydraulic bladder accumulator in it is studied in the paper. Firstly, the mathematic model of the accumulator is established through reasonable assumption and formula derivation, whose output is the volume of the cavity. And then, the simulation analysis model of the accumulator is set up based on the mathematic model, in which the performance of the accumulator in decreasing the pulsatile impact and absorbing the pressure impact is inspected. Finally, the law of attenuating the fluctuation of the hydraulic oil in the pipelines is inspected by experiment, in which the experiment results shown good agreement with the simulation ones. Therefore, the mathematic model of the hydraulic bladder accumulator built up in the paper is effective and practical.

accumulator；mathematical model；hydraulic system；transfer function

“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”國(guó)家科技重大專項(xiàng)（No. 2013ZX04001071）。

畢超（1987-），高級(jí)工程師，儀器科學(xué)與技術(shù)專業(yè)；研究方向：精密測(cè)試技術(shù)及儀器。

2016-12-27