匠心獨(dú)運(yùn)，引導(dǎo)學(xué)生突破“等差數(shù)列”教學(xué)瓶頸

顧敏

在高中的知識(shí)體系中，等差數(shù)列是一個(gè)重難點(diǎn)，也是在教學(xué)的過(guò)程中一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的瓶頸。作為教師，不能固守傳統(tǒng)的教學(xué)方法，一味地講公式、做習(xí)題，而要獨(dú)運(yùn)匠心，創(chuàng)新教學(xué)。本文以蘇教版教材為例，從三個(gè)方面淺議等差數(shù)列的創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐。

一、鏈接生活，生動(dòng)導(dǎo)入

數(shù)學(xué)的眾多知識(shí)都是來(lái)源于生活，生活是生動(dòng)的，數(shù)學(xué)是抽象的，可以說(shuō)數(shù)學(xué)是生活實(shí)際的模型化。在實(shí)際的教學(xué)中，我們可以返璞歸真，將知識(shí)還原到生活中，通過(guò)知識(shí)鏈接生活，生動(dòng)導(dǎo)入課堂。

必修五第二章開啟了數(shù)列的教學(xué)，數(shù)列就開始進(jìn)入學(xué)生的視線。數(shù)列的概念比較簡(jiǎn)單，但是變式復(fù)雜，有著多種多樣的變式。這時(shí)候就需要抓住本源，從根本處理解知識(shí)。在引入等差數(shù)列概念時(shí)，我選用了一個(gè)生活實(shí)例。王老板開了一家飯店，隨著事業(yè)的發(fā)展，他面臨一項(xiàng)投資的選擇。方案一：一次性投資5萬(wàn)元，6年后收益12萬(wàn)元。方案二：一次性投資7萬(wàn)元，第二年收益1萬(wàn)元，以后每年收益比前一年多0.5萬(wàn)元。比較兩種方案。這一案例提出之后，引起了學(xué)生的積極討論，學(xué)生身臨其境，仿佛自己就是飯店老板一樣，都興致勃勃地想管理自己的“財(cái)富”。第一種方案的收益很明顯，利潤(rùn)所得即為收益-投資=10-5=7萬(wàn)元，這就作為一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)，與方案二進(jìn)行對(duì)比，關(guān)鍵要看方案二的收益模型。首先看6年后的收益，每年累計(jì)求和為1+1.5+2+2.5+3+3.5= 13.5萬(wàn)元。那么6年之后所得利潤(rùn)=13.5-7=6.5萬(wàn)元，6.5萬(wàn)元小于方案一中的7萬(wàn)元。從相同的投資期來(lái)比較的話，方案一所得利潤(rùn)更大。但是如果將方案二的投資期再延長(zhǎng)一年，二者所得的利潤(rùn)就相當(dāng)了。如果再延長(zhǎng)一年，方案二將超過(guò)方案一。方案二的增長(zhǎng)模型就是一個(gè)等差數(shù)列，雖然起點(diǎn)低，增長(zhǎng)慢，但是一直有增長(zhǎng)，最終會(huì)取得一個(gè)數(shù)值很大的結(jié)果。

通過(guò)這樣一個(gè)貼近現(xiàn)實(shí)的例子，就生動(dòng)地引出了等差數(shù)列的概念，并且隱含地帶出了數(shù)列求和的意義與需要。只將數(shù)列變成一列數(shù)字，其概念是晦澀難懂的，各種公式也將變成一種單純的數(shù)字符號(hào)，求和、變換等也將變得失去實(shí)際的意義。

二、自主歸納，深化意識(shí)

數(shù)列中最為重要的可以說(shuō)就是求和公式了。但是如果公式只是要求學(xué)生進(jìn)行背誦的話，容易造成遺忘，對(duì)學(xué)生自身的思維能力的提高也沒(méi)有積極的影響。因此，作為教師要善于“讓權(quán)”，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)歸納公式。

等差數(shù)列的公式比較簡(jiǎn)單，適合學(xué)生自己去探索。在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的時(shí)候，我引入了一個(gè)經(jīng)典的加法給學(xué)生啟示思路。題目是“1+2+3+…+98+99=？”這道題目我們?cè)谛W(xué)就曾經(jīng)破解了。題目的解答是采取巧妙的方式，加法式中共有99項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)相加的和是100，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)相加是100，以此類推。那么整個(gè)式子就可以歸結(jié)為49個(gè)100相加，再加上一個(gè)50，結(jié)果即為4950。那么這種思想就可以延伸到等差數(shù)列求和當(dāng)中，學(xué)生以此為啟發(fā)探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。我們記數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，公差為d。學(xué)生經(jīng)過(guò)1到99加和的啟發(fā)，將前n項(xiàng)和相加分為了奇數(shù)項(xiàng)數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)兩種。對(duì)于偶數(shù)項(xiàng)數(shù)，正好分為 n個(gè)首末項(xiàng)相加的和，用符號(hào)表示即為Sn= n×（a1+an）= n（a1+a1+ （n-1）d）=na1+ n（n-1）d。對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)數(shù)，則會(huì)多出來(lái)一項(xiàng)，這項(xiàng)是第

項(xiàng)。此時(shí)的求和則是Sn= （n-1）×（a1+an）+a（1+n）/2= （n-1）（a1+a1+ （n-1）d）+a1+ d=na1+ n（n-1）d，這時(shí)候?qū)W生就會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然進(jìn)行了分類討論，結(jié)果卻能統(tǒng)一，經(jīng)過(guò)自身的推導(dǎo)，結(jié)論掌握的程度要超過(guò)教師講解。

數(shù)列的求和公式往往是能統(tǒng)一成相同形式的，但是數(shù)列的種類越積越多，僅僅憑借背誦記憶是很容易混淆的。正因?yàn)檫@樣，讓學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)，掌握的知識(shí)就更加牢固，正所謂“授人以魚不如授人以漁”。

三、多元交流，引導(dǎo)反思

一個(gè)“1”再加一個(gè)“1”，結(jié)果是“2”；但是一種思想“加”另一種思想，結(jié)果可能就是很多種思想。所以說(shuō)，學(xué)習(xí)中的交流是必不可少的，課堂上的交流不僅只是教師與學(xué)生之間，更應(yīng)該普及在學(xué)生與學(xué)生之間。

以一道例題的討論為例。題干如下：已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=10，前10項(xiàng)和為S10=30，求數(shù)列的前15項(xiàng)和S15。學(xué)生大多數(shù)采用的是先求數(shù)列的公差，然后求出首項(xiàng)，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式。有了通項(xiàng)公式，整個(gè)數(shù)列就相當(dāng)于已知了，代入所求的前15項(xiàng)和的要求，問(wèn)題即可解決。一般到了這里，問(wèn)題就算結(jié)束了，但是此題還有更巧妙的解法，我沒(méi)有點(diǎn)破，只是讓學(xué)生各自結(jié)組討論。很快就有小組發(fā)現(xiàn)了，已知與所求的角標(biāo)有著特殊的聯(lián)系，5，10，15構(gòu)成了一組等差數(shù)列。該小組提出這一發(fā)現(xiàn)后，其他小組有意識(shí)地將結(jié)果進(jìn)行橫向比較，回顧剛才的運(yùn)算結(jié)果S15=60，大家發(fā)現(xiàn)S5，S10-S5，S15-S10也是呈等差數(shù)列分布的。一石激起千層浪，規(guī)律就這樣被發(fā)現(xiàn)了，進(jìn)而又有其他小組借助這兩個(gè)小組的“科研發(fā)現(xiàn)”，找到了這種理論的依據(jù)，即為S5，S10-S5，S15-S10的意義是第一個(gè)5項(xiàng)和，第二個(gè)五項(xiàng)和，第三個(gè)五項(xiàng)和這樣分布的，這樣也構(gòu)成了一個(gè)“大”的等差數(shù)列。

如果按照常規(guī)的解法，恐怕整個(gè)班級(jí)都要用同樣的傳統(tǒng)解法來(lái)解數(shù)列求和的題目?！氨娙耸安窕鹧娓摺?，通過(guò)學(xué)生的多元交流，新的規(guī)律就可以被發(fā)現(xiàn)，新的方法就會(huì)被傳播，可以引發(fā)學(xué)生自我的反思與提高。

總之，數(shù)列教學(xué)需要教師化難為易，從生活入手；積極引導(dǎo)學(xué)生深入思考，學(xué)會(huì)自主歸納；支持學(xué)生多元交流，鼓勵(lì)方法的創(chuàng)新。只要教師勇于開拓反思，就一定能突破“數(shù)列教學(xué)”的瓶頸。

（作者單位：江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)）