阻尼振動(dòng)中阻尼系數(shù)的研究

趙云

摘 要：在傳統(tǒng)的大學(xué)力學(xué)教材與其他有關(guān)力學(xué)知識(shí)的書中，對(duì)于阻尼振動(dòng)中阻尼系數(shù)的研究已屢見不鮮，并且有許多學(xué)者與老師都對(duì)此進(jìn)行了分析和研究，并取得了不錯(cuò)的理論結(jié)果，但只是利用了傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法來測(cè)定阻尼振動(dòng)中的阻尼系數(shù)，在文章中，利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值擬合來計(jì)算空氣阻尼和磁阻尼的阻尼系數(shù)，得出了令人滿意的結(jié)果，與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)手段比較起來更為準(zhǔn)確。

關(guān)鍵詞：阻尼系數(shù)；阻尼振動(dòng)；空氣阻尼；磁阻尼；曲線數(shù)值擬合

中圖分類號(hào)：O32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）12-0187-04

Abstract： In the traditional teaching materials of mechanics in colleges and other related books， there are many studies on the damping coefficient in damped vibration. Besides， many scholars and teachers made analysis and research on it， and obtained good theoretical results. However， they only used traditional test method to measure the damping coefficient. This paper calculates the air damping and magnetic damping coefficient through numerical fitting of experimental data， and obtains satisfactory results， which are more accurate compared with the traditional experimental method.

Keywords： damping coefficient； damping vibration； air damping； magnetic damping； numerical fitting for curves

一、數(shù)據(jù)的曲線擬合

工程技術(shù)實(shí)踐中， 特別是在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中， 往往只能得到兩個(gè)相關(guān)變量的離散值， 函數(shù)關(guān)系就只得用列表法或圖示法表示。但在實(shí)際操作中人們希望把這種關(guān)系轉(zhuǎn)換成解析表達(dá)式。另外，有些變量間的關(guān)系雖然可以用解析法表示，但由于數(shù)學(xué)解析式過于繁雜造不便，也希望用一個(gè)簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式作為近似替代以到達(dá)目的。利用簡(jiǎn)單解析式？準(zhǔn)（x）近似地代替列表法、圖示法或復(fù)雜解析式表示的函數(shù)F（x）一類問題，即尋找一個(gè)滿足？準(zhǔn)（x）=F（x）的簡(jiǎn)單函數(shù)？準(zhǔn)（x）的問題，都可稱之為函數(shù)逼近問題。數(shù)據(jù)擬合法就是函數(shù)逼近的重要方法之一。

科學(xué)實(shí)驗(yàn)或數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，在得不到精確解析表達(dá)式時(shí)，希望找到Y(jié)=F（x）的近似解析式F（x）≈？準(zhǔn)（x），？準(zhǔn)（x）越簡(jiǎn)單越好。在這種情況下，我們提出了數(shù)據(jù)擬合法，它不要求構(gòu)造的近似函數(shù)？準(zhǔn)（x）全部通過樣本點(diǎn)，而是“很好的逼近”。這種近似函數(shù)？準(zhǔn)（x）反映了已知數(shù)據(jù)組間存在著某種關(guān)系的一般趨勢(shì)，是“擬合”這些數(shù)據(jù)得出的函數(shù)曲線，不同于“插值”得出的曲線。尋找“很好的逼近”的函數(shù)有多種方法，我們常用的是最小二乘法。在MatLab中，有專用的擬合指令p=polyfit（x，y，m），可以方便地給出結(jié)果，我們便利用實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)結(jié)果利用擬合方法得到擬合曲線。

二、模型

對(duì)于存在阻尼力的情況下，阻尼振動(dòng)方程為：

（1）

其中，？啄、？棕0分別為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率。方程（1）的解為：

其中，A0、？漬分別為彈簧振子的振幅、初始相位角，而？棕j=2？仔/T，T為阻尼振動(dòng)周期

（3）

由方程（2）可得其速度與時(shí)間的關(guān)系式為：

這為我們的實(shí)驗(yàn)測(cè)量提供了理論依據(jù)，所有公式都與t有關(guān)，因此只需要記錄時(shí)間，周期即可。

三、無磁阻尼時(shí)空氣阻尼的阻尼系數(shù)的研究

測(cè)量彈簧振子振動(dòng)時(shí)的阻尼系數(shù)，進(jìn)而求得時(shí)間常數(shù)？子及品質(zhì)因數(shù)Q等物理量。假定振動(dòng)為線性振動(dòng)，且空氣阻尼很小?；瑝K質(zhì)量為179.70g，振幅為30cm。由實(shí)驗(yàn)測(cè)得彈簧振子振動(dòng)連續(xù)10個(gè)周期的數(shù)據(jù)，見表1。

利用Matlab計(jì)算10個(gè)周期測(cè)量值的算術(shù)平均值、實(shí)驗(yàn)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

hp代表算術(shù)平均值， s為平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

輸出結(jié)果：

hp = 1.2689

s= 4.9889e-005

即：T=1.26890×10-5（s） 。

取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度為v0=0cm/s，并通過放置在平衡位置的電子計(jì)數(shù)器記錄下連續(xù)10個(gè)周期中，一個(gè)周期從正方向v1和反方向v2通過兩次平衡位置時(shí)光電門的速度。

表2中，t1（T），v1（cm/s）分別是沿正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過平衡位置的光電門的時(shí)間和速度：

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178

t2（T），v2（cm/s）是沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過平衡位置的光電門的時(shí)間和速度：

v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

四、阻尼系數(shù)？啄

由方程的解（4）式編制程序計(jì)算理論上時(shí)間與速度曲線， 同時(shí)將兩擬合曲線繪制在同一幅圖中。

繪制出彈簧振子時(shí)間與速度曲線圖1與2。其中實(shí)線、點(diǎn)線是由實(shí)驗(yàn)上得到向正方向、負(fù)方向通過平衡位置光電門的時(shí)間與速度數(shù)據(jù)擬合的曲線， 實(shí)線是由方程（3）所得到。？啄為阻尼系數(shù)，畫圖時(shí)不斷地調(diào)試，當(dāng)？啄=0.017s-1時(shí)， 理論上曲線通過平衡位置時(shí)的速度與兩擬合曲線基本吻合， 即兩按擬合曲線正是速度曲線的包絡(luò)線。

通過對(duì)？啄的多次取值估計(jì)，重復(fù)多次計(jì)算畫圖，得出滿意阻尼系數(shù)，使得理論線與擬合曲線基本吻合，如圖1所示，結(jié)果證明上述理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的方法是可行的。同時(shí)，我們還得到時(shí)間常數(shù)和品質(zhì)因數(shù)：

時(shí)間常數(shù) （5）

品質(zhì)因數(shù) （6）

但是我們從圖2看出擬合曲線并沒有很好的與理論實(shí)線相吻合，放大后觀察到還有不相交的部分，即不完全包絡(luò)，原因在于擬合曲線是一次直線，結(jié)果并不令人很滿意。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

無論？啄怎么調(diào)整，對(duì)于放大的圖像來看，總不可能全部包絡(luò)速度峰值，只是盡可能平衡，這說明僅僅調(diào)整？啄是不夠的，還要考慮阻尼與速度二次方的關(guān)系。

在M文檔中所建立阻尼系數(shù)與速度二次方的函數(shù)關(guān)系式，對(duì)？啄進(jìn)行多次調(diào)試，結(jié)果如圖3與圖4所示，通過對(duì)阻尼與速度二次方關(guān)系的討論，所得結(jié)果分別與圖1和2比較，擬合曲線與速度峰值吻合度更高，阻尼系數(shù)也更精確，為？啄=0.0145。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8

269。

五、研究磁阻尼情況下的阻尼系數(shù)

在滑塊兩側(cè)對(duì)稱地粘貼上永久小磁塊，此時(shí)由于磁阻尼力的作用，使振動(dòng)振幅衰減更快。在此時(shí)測(cè)量的阻尼系數(shù)，仍假定振動(dòng)為線性振動(dòng)?；瑝K質(zhì)量為191.06g，振幅為30.00cm。由實(shí)驗(yàn)測(cè)得彈簧振子連續(xù)振動(dòng)10個(gè)周期的數(shù)據(jù)，見表3。

計(jì)算10個(gè)周期測(cè)量值的算術(shù)平均值、實(shí)驗(yàn)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差：

輸出結(jié)果：

hp =1.2998

s=4.5826e-005

即：T=1.2998±5×10-5（s）。

在實(shí)驗(yàn)時(shí)取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度為v0=0cm/s。

我們記錄下連續(xù)10個(gè)周期中，一個(gè)周期從正方向和反方向通過兩次平衡位置時(shí)光電門的速度。

表4中，t1（T），v1（cm/s）是向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過平衡位置的光電門的時(shí)間和速度：根據(jù)上述數(shù)據(jù)編程擬合出t1（T），v1（cm/s）的關(guān)系式：

v1=0.049482t2-3.6731t+141.5108

t2（T）、v2（cm/s）是向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過平衡位置的光電門的時(shí)間和速度：

輸出結(jié)果：

pvt2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

由上述結(jié)果可得v2與t2之間的關(guān)系為：

v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

阻尼系數(shù)：

由阻尼振動(dòng)方程（3）式的解，編制程序計(jì)算理論上給出的時(shí)間與速度曲線，同時(shí)將兩擬合曲線繪制在同一幅圖中。程序中的vn1即v1，vn2即v2。

繪制出彈簧振子時(shí)間與速度曲線，見圖5。其中點(diǎn)劃線、點(diǎn)線是由實(shí)驗(yàn)上得到向正方向、負(fù)方向通過平衡位置光電門的時(shí)間與速度數(shù)據(jù)擬合的曲線，實(shí)線是理論方程所得到的曲線。將？啄調(diào)整為？啄=0.028s-1時(shí)，理論上曲線通過平衡位置時(shí)的速度與兩擬合曲線基本吻合。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

如圖5、6所示，我們得到了基本吻合的擬合曲線，放大后觀察，不論？啄如何調(diào)整，仍沒得到滿意的效果，那么就要考慮與速度二次方的關(guān)系。

我們得到圖像7，此時(shí)？啄=0.025s-1。在磁阻尼作用情況下與空氣阻力情況相類似，只有當(dāng)討論阻尼系數(shù)與速度二次方的關(guān)系時(shí)，才能得到更精確的？啄和更加吻合的圖像。

我們之所以利用通過平衡位置光電門的速度求上述各量，是因?yàn)闇?zhǔn)確測(cè)量振幅的衰減較困難，而測(cè)量速度很容易。在此實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，從理論上編程到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量，可以將理論課的知識(shí)與實(shí)驗(yàn)有機(jī)統(tǒng)一起來。反復(fù)調(diào)試？啄的取值，使得擬合曲線與理論曲線吻合，得到最后的？啄=0.025s-1。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

六、結(jié)束語

通過數(shù)據(jù)擬合的方法和在Matlab中的具體應(yīng)用，并將實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算利用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合，過程中不斷地對(duì)阻尼系數(shù)？啄調(diào)整，使得擬合曲線與理論曲線很好的吻合，從而得出了更精確的阻尼系數(shù)的值，并且進(jìn)一步提高理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的能力與水平，使得理論計(jì)算不僅僅是單純的計(jì)算研究，具有更加現(xiàn)實(shí)的意義。

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