高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接性研究

羅衛(wèi)華 王新民

摘 要：高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校大多數(shù)理工科類學(xué)生的一門必修課程，對(duì)這門課程學(xué)習(xí)的好壞，在很大程度上影響到學(xué)生多門后繼課程的學(xué)習(xí)。隨著多輪中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的完成，高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接性問(wèn)題越來(lái)越突出，這已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)教師所必須關(guān)注和研究的課題之一。文章基于大量的高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，對(duì)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接性做了比較系統(tǒng)的調(diào)查，并在此基礎(chǔ)上，有針對(duì)性地提出了一些教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；中學(xué)數(shù)學(xué)；銜接

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）02-0193-02

Abstract： Higher mathematics is one of necessary courses for most students of science and technology. How to study this course will largely affect their subsequent courses. With the innovation in middle school mathematics teaching materials， the problem of linkage between higher mathematics and middle school mathematics is getting worse， and has become an important studying target for many teachers. Based on many practical teaching experiences of higher mathematics， some cases about the linkage between higher mathematics and elementary mathematics are investigated， and some suggestions are presented correspondingly.

Keywords： higher mathematics； elementary mathematics； linkage

近年來(lái)，隨著中學(xué)課程改革的不斷加深，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容不斷調(diào)整，把有些原來(lái)在大學(xué)講授的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容放到中學(xué)講授，使得中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容增加，而對(duì)某些學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必需的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)做了刪減與調(diào)節(jié)，或者由于高考考綱不做要求而沒有實(shí)際講解。同時(shí)，由于高考的改革，各省的考試大綱不統(tǒng)一，以及文理科的區(qū)別，造成大學(xué)新生入學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和能力水平不統(tǒng)一。而另外一方面，現(xiàn)行使用的高等數(shù)學(xué)教材雖然也在不停地改版，但都是在上世紀(jì)90年代初的教材基礎(chǔ)上進(jìn)行修改的，他們都比較注重于對(duì)某些重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用的補(bǔ)充和調(diào)節(jié)，而普遍沒有重視對(duì)一些重點(diǎn)、難點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)的補(bǔ)充。這兩個(gè)方面造成了中學(xué)、大學(xué)教材改革各自為陣的混亂局面，致使高等數(shù)學(xué)中有些知識(shí)前后斷層，而有些教學(xué)內(nèi)容又重復(fù)較多，這些給來(lái)自不同地域的大學(xué)新生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)帶來(lái)了不同程度上的困難和不便，也讓很多高等數(shù)學(xué)老師難以適從，阻礙了高等學(xué)校學(xué)科的發(fā)展。更有甚者，由于現(xiàn)階段眾多高校都在考慮轉(zhuǎn)型發(fā)展，這就越發(fā)需要各高校重視理工科專業(yè)的發(fā)展，而高等數(shù)學(xué)是眾多理工科專業(yè)的必修課程，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞，將直接影響到理工科學(xué)生的后續(xù)學(xué)業(yè)和理工類專業(yè)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

關(guān)于高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)斷層、重疊的問(wèn)題，已有一些文獻(xiàn)做了部分調(diào)查研究，在這些文獻(xiàn)中，一些研究者從中學(xué)數(shù)學(xué)高考大綱、高等數(shù)學(xué)教法、高等數(shù)學(xué)教師自我發(fā)展、高等數(shù)學(xué)教材編寫、高校與中學(xué)數(shù)學(xué)教法差異以及高校與中學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)方法差異等角度做了探討[1-3]。 針對(duì)這些斷層、重疊現(xiàn)象，眾多學(xué)者也先后以發(fā)表研究論文的形勢(shì)提出了一些相應(yīng)的解決措施，在政策上，提倡改革教學(xué)評(píng)價(jià)制度[4]，在教學(xué)方法上，主張高等數(shù)學(xué)教師注意查漏補(bǔ)缺、分層次教學(xué)、多方面引導(dǎo)、多角度考核[5-8]，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)上，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)方法和良好的心里素質(zhì)，在增強(qiáng)學(xué)習(xí)自立性、自主性、探索性的過(guò)程中提高學(xué)生的自學(xué)能力[9]。

文章基于上述背景，結(jié)合現(xiàn)有的中學(xué)數(shù)學(xué)教材（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)教材，人民教育出版社第三版），對(duì)若干高等數(shù)學(xué)的教材[10-15]和部分剛?cè)胄５拇笠恍律M(jìn)行系統(tǒng)的調(diào)查，并且提出一些建議，以促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。

一、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接性現(xiàn)狀調(diào)查

（一）知識(shí)重疊

通過(guò)調(diào)查部分剛?cè)雽W(xué)的大一新生，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教材和部分高等數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生已經(jīng)對(duì)如下知識(shí)點(diǎn)有了初步的學(xué)習(xí)和了解：

1. 簡(jiǎn)單函數(shù)的極限求法，極限的四則運(yùn)算，諸如

已經(jīng)具有了模仿學(xué)習(xí)的能力。但是，他們只是對(duì)極限有一個(gè)非常淺顯的認(rèn)識(shí)而已，對(duì)于極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)含義，一些特殊函數(shù)的極限，特別是分母趨向于0的函數(shù)的極限，還無(wú)法順利求解。

2. 導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義，幾個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，包括函數(shù)y=c，y=xn，y=sin，y=cosx，y=ax，y=logax等。對(duì)于這一部分知識(shí)點(diǎn)，大部分同學(xué)表示比較熟悉，因此，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，有一種似曾相識(shí)的感覺，學(xué)起來(lái)相對(duì)輕松一些。

3. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，包括求曲線的切線，費(fèi)馬引理，求極大值和最大值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及生活中的一些最優(yōu)問(wèn)題。對(duì)該部分內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)教材和大部分高等數(shù)學(xué)教材中，都給予了詳細(xì)敘述，學(xué)生對(duì)此的掌握程度也比較理想。

4. 空間解析幾何部分，主要包括空間向量的定義和坐標(biāo)表示，特殊向量，向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積，向量的夾角，向量的位置關(guān)系等。這一些知識(shí)點(diǎn)，也同時(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教材和高等數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)章節(jié)。

（二）知識(shí)斷層

除了上述的知識(shí)重疊，中學(xué)數(shù)學(xué)教材與大部分高等數(shù)學(xué)之間存在的更值得我們關(guān)注的問(wèn)題就是知識(shí)斷層現(xiàn)象。通過(guò)考察一些高等數(shù)學(xué)教材和對(duì)高校新生的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)如下幾類知識(shí)點(diǎn)是一些大一新生的薄弱環(huán)節(jié)：

1. 三角函數(shù)中的積化和差、和差化積、萬(wàn)能公式以及正割、余割函數(shù)。對(duì)此類函數(shù)和公式的掌握程度將直接影響到對(duì)求導(dǎo)數(shù)和不定積分、定積分的學(xué)習(xí)。

2. 反三角函數(shù)。大多數(shù)同學(xué)表示在中學(xué)階段沒有學(xué)習(xí)過(guò)反三角函數(shù)，而這一類函數(shù)卻在導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算中大量出現(xiàn)。

3. 極坐標(biāo)，球坐標(biāo)，柱坐標(biāo)變換。這幾種變換雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有所包含，可是很多同學(xué)卻對(duì)此掌握的很少，不足以應(yīng)付多元函數(shù)積分的學(xué)習(xí)。

4. 雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)。關(guān)于這兩類函數(shù)，目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有涉及，而這些是物理學(xué)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)課程時(shí)所需要的函數(shù)，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)必須要掌握關(guān)于它們的圖像、導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)。

5. 二項(xiàng)式展開定理。此定理雖然被包含在高中數(shù)學(xué)教材中， 然而，經(jīng)過(guò)調(diào)查我們發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)對(duì)此定理表示掌握得不好。甚至有一些高中時(shí)學(xué)習(xí)文科的同學(xué)連二項(xiàng)式系數(shù)ckn的計(jì)算都沒有掌握。

6. 數(shù)學(xué)歸納法。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)雖然思想非常簡(jiǎn)單，可是對(duì)于一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，在具體應(yīng)用時(shí)，將第k步的情形推廣到第k+1步還是比較困難，這反映了學(xué)生缺乏靈活多變的思想。

二、對(duì)策與建議

鑒于上述調(diào)查情況，我們可以從如下幾個(gè)方面給出建議，以提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。

1. 對(duì)于高校教學(xué)管理部門，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)于以上各種問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，及時(shí)地了解中學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)改革的情況，并與一些最新版的高等數(shù)學(xué)教材做對(duì)比，以便了解兩類教材之間的知識(shí)銜接情況，同時(shí)，多開展對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)和對(duì)教學(xué)效果的調(diào)查，督促高等數(shù)學(xué)教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)大綱，把握知識(shí)講解重點(diǎn)。

2. 作為整個(gè)教與學(xué)的主導(dǎo)者，高等數(shù)學(xué)教師應(yīng)該發(fā)揮其主要的作用，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)好高等數(shù)學(xué)。

（1）在正式介紹高等數(shù)學(xué)的知識(shí)之前，可以考慮進(jìn)行短期的學(xué)前知識(shí)培訓(xùn)，對(duì)上述各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺；

（2）及時(shí)地了解中學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容，調(diào)查大一新生的數(shù)學(xué)方面各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，結(jié)合不同專業(yè)學(xué)生的專業(yè)課程需求，制定教學(xué)方案，因材施教，因人施教；

（3）介紹合適的參考資料，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)；

（4）在施教的過(guò)程中，多幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)梳理、歸納、總結(jié)，這一點(diǎn)對(duì)于剛剛脫離中學(xué)教學(xué)手段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，會(huì)更好地促進(jìn)其學(xué)習(xí)效果。

3. 對(duì)于學(xué)生管理工作者，應(yīng)多加強(qiáng)學(xué)生引導(dǎo)與管理，促使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

4. 作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生應(yīng)該主動(dòng)把握好自己的學(xué)習(xí)狀況，制定合理的學(xué)習(xí)計(jì)劃。

（1）要樹立正確的學(xué)習(xí)觀念，不要因?yàn)橐粫r(shí)的學(xué)習(xí)困難就產(chǎn)生氣餒、厭學(xué)、甚至恐懼的情緒。

（2）主動(dòng)尋求多方面的教學(xué)資源?？梢越柚趫D書館、網(wǎng)絡(luò)等資源，從多個(gè)角度學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

（3）加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)。

（4）尋找與自己專業(yè)課程的結(jié)合點(diǎn)，以從中發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的用途，發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的實(shí)際用途，找到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)比較中學(xué)數(shù)學(xué)教材和若干高等數(shù)學(xué)教材，以及對(duì)一些大學(xué)新生的調(diào)查，我們比較系統(tǒng)地列出了上述兩種教材之間的知識(shí)點(diǎn)的重疊和斷層現(xiàn)象，并且從多個(gè)角度，有針對(duì)性地提出了一些建議，以促進(jìn)高等學(xué)校中高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，為理工科類學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供了一些指導(dǎo)意見。關(guān)于如何改進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果，將是我們進(jìn)一步研究的目標(biāo)。

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