實現(xiàn)三葉玫瑰線畫法的行星齒輪機構(gòu)設(shè)計及仿真

馬立安　 商玉梅　 劉曉

摘 要：設(shè)計了行星齒輪機構(gòu)，在行星齒輪機構(gòu)上安裝描圖桿，通過嚴(yán)格推導(dǎo)，證明了描圖桿頂點走過的軌跡符合三葉玫瑰線的定義。并通過三維造型軟件Creo進行實體建模、裝配和仿真，獲得軌跡線與理論推導(dǎo)相符。

關(guān)鍵詞：玫瑰線；行星齒輪；軌跡線；仿真

玫瑰線的說法源于歐洲海圖。在中世紀(jì)的航海地圖上，并沒有經(jīng)緯線，有的只是一些從中心有序地向外輻射的互相交叉的直線方向線。李星秀等人提出玫瑰線的逐點生成算法[1]，王富貴等人對玫瑰線軌跡進行了計算仿真[2]，本文設(shè)計了一種行星齒輪機構(gòu)，可以生成三葉玫瑰線。

1 運動軌跡方程推導(dǎo)

太陽輪1模數(shù)3mm，齒數(shù)20；行星輪2模數(shù)3mm，齒數(shù)20；內(nèi)齒輪3模數(shù)3mm，齒數(shù)60。描圖桿4長度為60mm。（圖1）或者只要保證齒輪模數(shù)相同，齒數(shù)比保持z1∶z2∶z3=1∶1∶3，描圖桿長度與行星輪直徑相等即可。

齒輪1旋轉(zhuǎn)，齒輪3固定。由于嚙合關(guān)系齒輪1旋轉(zhuǎn)必定帶動齒輪2旋轉(zhuǎn)，同時由于齒輪3固定，齒輪2在自轉(zhuǎn)的同時還要繞齒輪1公轉(zhuǎn)。此時與齒輪2固定在一起的描圖桿4的尖端（A點）劃過一條軌跡線，下面證明其為三葉玫瑰線。

運動分析設(shè)齒輪1轉(zhuǎn)速為ω1，則行星架的轉(zhuǎn)速為：

i1H=ω1ωH=1-iH13=1-（-6020）=4

ωH=ω1i1H=ω14

行星輪轉(zhuǎn)速

ω1-ωHω2-ωH=-z2z1=-2020

解得

ω2=2ωH-ω1=-ω12

初始位置如圖1所示，取行星架轉(zhuǎn)速為ω，則齒輪1轉(zhuǎn)速為4ω，齒輪2轉(zhuǎn)速為2ω。則太陽輪1順時針轉(zhuǎn)過4ωt，行星架順時針轉(zhuǎn)過ωt，齒輪2逆時針轉(zhuǎn)過2ωt。如圖2：

設(shè)O1A長度為l，此時ΔO1OA為等腰三角形，

ρ=OA=2lsin3ωt2（1）

φ=π2-ωt-∠O1OA=π2-ωt-π-3ωt2=ωt2（2）

令，2l=a，將（2）代入（1），得

ρ=asin3φ

正好符合三葉玫瑰線定義[3]，所以點A的運動軌跡為一條三葉玫瑰線。

2 Creo行星齒輪系建模及仿真

在Creo中太陽輪1模數(shù)3mm，齒數(shù)20；行星輪2模數(shù)3mm，齒數(shù)20；內(nèi)齒輪3模數(shù)3mm，齒數(shù)60；描圖桿4長度為60mm。創(chuàng)建模型并裝配，如圖3：

圖3 三葉玫瑰線

伺服電動機帶動齒輪1轉(zhuǎn)動，進行運動分析，完成后，創(chuàng)建描圖桿端點的軌跡曲線，即可描出三葉玫瑰線的軌跡（圖3）。

3 結(jié)論

通過嚴(yán)格公式推導(dǎo)，獲得了能夠描出三葉玫瑰線軌跡的行星齒輪系各構(gòu)件參數(shù)的公式，并通過CREO參數(shù)化建模，裝配及運動仿真，描出了預(yù)期的玫瑰線軌跡，說明推導(dǎo)是完全正確的。

參考文獻：

[1]李星秀，康寶生.玫瑰線和普通旋輪線的逐點生成算法[J].計算機工程與設(shè)計，2006，（3）.

[2]王福貴，王建偉.玫瑰線軌跡模型及其仿真實驗[J].計算機時代，2013，（4）.

[3]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第五版.北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：馬立安（1976），男，河北樂亭人，碩士，工程師，研究方向：機械設(shè)計及理論。