橢圓型偏微分方程反問題的數(shù)值解法

摘 要：橢圓型偏微分方程及其反問題的研究具有重要的理論意義和實用價值，它廣泛應(yīng)用于地球物理學、心臟病學、無損探傷和離子物理學還有生物電場問題等領(lǐng)域，本文以橢圓型偏微分方程為背景，對其數(shù)值解法進行了研究。

關(guān)鍵詞：橢圓型偏微分方程；反問題；數(shù)值解法

1 研究背景和意義

當偏微分方程的真解未知，或方程的部分系數(shù)、初邊值條件及求解區(qū)域未知時，我們把這種問題稱為偏微分方程反問題[1]。偏微分方程反問題產(chǎn)生于工業(yè)應(yīng)用數(shù)學和計算數(shù)學，它廣泛的存在于社會生活中的各個領(lǐng)域，如固體地球物理學、地球化學、同步輻射、激光雷達、圖像/信號處理、金融經(jīng)濟、生命科學、遙感遙測、大氣物理[2]、醫(yī)學/計算機層析成像[3]等。

反演問題的典型特性是它的不適定性，如解未必存在，解未必唯一或解的連續(xù)性/穩(wěn)定性（Continuation/Stability）不一定能夠保證。近二十年來，反問題的研究得到了眾多學者的關(guān)注，特別是八十年代中期，“Inverse Problems”雜志的創(chuàng)立，推動了這一研究方向的發(fā)展，使之成為各門學科及工業(yè)技術(shù)中的熱門研究領(lǐng)域。陳難先等院士在香山第113次會議上指出了國內(nèi)八十年代初期馮康先生[4]所倡導的反問題研究依據(jù)。再次推動了橢圓型方程反問題的研究，使之得到了迅速的發(fā)展。

2 研究現(xiàn)狀和進展

橢圓型方程反問題的研究最早期是Hadamard在20世紀20年代研究線性偏微分方程Cauchy問題時提出的。蘇聯(lián)院士Tikhonov于20世紀40年代前率領(lǐng)他的研究小組對此問題的理論展開研究，最終在60年代提出了Tikhonov變分正則化方法，這種方法到目前為止仍然廣泛使用。并于70年代出版了反演理論的經(jīng)典專著《Solutions of Illposed Problems》。迭代正則化方法是關(guān)于反演理論和方法的另一個研究方向，近年來逐漸發(fā)展起來的方法有梯度型方法和Newton方法等。

我們國家最早是由中國科學院院士馮康先生[5]于20世紀80年代初期所倡導的偏微分方程參數(shù)反演問題的研究。之后，在相關(guān)的領(lǐng)域也展開了有關(guān)于橢圓型偏微分方程參數(shù)反演的理論和基本方法的研究。

3 偏微分方程反問題常用的數(shù)值解法

偏微分方程反問題的求解已經(jīng)發(fā)展了各種方法，諸如脈沖譜技術(shù)（PST）、廣義脈沖譜技術(shù)（GPST）、最佳攝動量法、蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）、各種優(yōu)化方法和正則化方法等。其中，正則化方法是最具有普遍、適應(yīng)性，在理論上最完備而且行之有效的方法。正則化方法是由著名學者Tikhonov以第一算子（特別是積分算子）方程為基礎(chǔ)發(fā)展起來的。Y.M.Chen與他的課題組人員在近20年的時間內(nèi)應(yīng)用PST或GPST方法先后討論了許多類型的偏微分方程反問題。廣義GPST是一種數(shù)值迭代方法。計算結(jié)果表明對離散后的待定未知量較少（<100）的情況，迭代收斂速度比最優(yōu)化方法快的多。通常情況下我們將不同的偏微分方程反問題轉(zhuǎn)化為各種非線性最優(yōu)化問題求解，正則化方法是一種數(shù)值迭代方法，將非線性最優(yōu)化方法和廣義脈沖譜技術(shù)各自優(yōu)點有機結(jié)合而形成的。通常情況將正則化方法和遺傳算法相結(jié)合巧妙的應(yīng)用于二維橢圓型偏微分方程反問題的數(shù)值求解中，這為解決工程實際問題中的反問題提供了一種很好的途經(jīng)。

參考文獻：

[1]Lavrentev MM，Romanov VG and Shishatski SP，1986， IllPosed Problems of Mathematical Physics and Analysis（Translations of Mathematical Monographs vol 64）[J].Providence，RI：American Mathematical Society.

[2]蘇超偉，偏微分方程逆問題的數(shù)值解法及其應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，1995：99103.

[3]姚姚.非線性反演方法及其在地質(zhì)勘探中的應(yīng)用[D]. 應(yīng)用地球物理學進展，中國地質(zhì)大學出版社，1996.

[4]郜吉東，丑紀范.數(shù)值天氣預報中的兩類反問題及一種數(shù)值解法——理想試驗[J].氣象學報，1994，52（2）：129137.

[5]R.Gorenflo，F(xiàn)unktionen theoretische Bestimmung des Aussenfeldes zueiner zwei dimensionalen magnetohydrostatischen Konfiguration，Z.Angew.Math.Phys，1965，16，279290.

[6]王耀威.博士學位論文：圖像和視屏檢索技術(shù)中的若干問題研究[D].中國科學院研究生院，2005.

作者簡介：龐娜（1987），女，漢族，寧夏人，碩士，助教，研究方向：科學工程與計算。