風暴尺度集合卡爾曼濾波中的采樣誤差訂正局地化方法研究

閔錦忠 黃欣慧 陳耀登 楊春

摘要 在中尺度WRF-EnSRF系統(tǒng)中最新引入的采樣誤差訂正局地化方法不僅考慮了回歸系數(shù)偏差，而且計算量較小。該方法基于狀態(tài)變量和對應觀測值的相關系數(shù)的分布關系，根據(jù)離線蒙特卡洛技術制作的關于集合數(shù)和樣本相關系數(shù)的查找表格確定局地化系數(shù)因子，進而訂正由集合數(shù)選取有限造成的背景誤差協(xié)方差被低估引起的采樣誤差。本文利用風暴過程的雷達觀測資料做了一系列風暴尺度的資料同化理想試驗，探討了采樣誤差訂正局地化方法在風暴尺度集合卡爾曼濾波同化中的技術特點和同化效果。結果表明：相比于經(jīng)驗局地化方法，采樣誤差訂正局地化方法能夠有效地改善集合同化的效果，對距離的敏感度更低，尤其在天氣系統(tǒng)發(fā)展變化較快的階段，新方法優(yōu)勢更大。并且，對不同觀測變量以及在風暴發(fā)展的不同階段使用不同的局地化方法，所得的結果都存在一定的差異，因此需要根據(jù)同化對象合理地選擇局地化方法。

關鍵詞 EnSRF 采樣誤差 局地化 采樣誤差訂正局 地化

集合卡爾曼濾波同化由于其簡易性和可執(zhí)行性（Evensen，1994），在地球物理資料同化研究中得到廣泛應用（Evensen，2006；Kalnay et al.，2007）。然而集合算法存在多種誤差，如采樣誤差（Harlim and Hunt，2007；閔錦忠等，2015）、模式誤差（Dee andTodling，2000；Hansen，2002；陳杰等，2012）、代表性誤差（Daley，1993）、觀測系統(tǒng)產(chǎn)生的描述誤差（Eyre et al.，1993）以及總觀測誤差（Kistler et al.，2001）等。這些誤差中，有限集合成員及線性假設造成的采樣誤差是集合算法中獨有的誤差來源，他低估了分析誤差協(xié)方差，導致濾波發(fā)散。因此，開展集合卡爾曼濾波同化中采樣誤差的相關研究，對提高濾波同化的效果具有較高的理論和實際應用價值。

通過局地化方法來訂正觀測和模式狀態(tài)變量之間的分析誤差協(xié)方差（Houtkamer and Mitchell， 2000）是訂正采樣誤差最常用的方法之一（Hamill，2001；Houtkamer and Mitchell，2001；Harlim and Hunt，2007）。鑒于有限集合不能正確估計遠距離觀測和模式狀態(tài)變量問的微弱相關，為抑制分析場引入的高頻噪音，Houtekamer and Mitchell（1998）提出“截斷方法”，選擇不使用距離半徑以外的觀測來更新狀態(tài)量，為最原始的局地化方法。Gaspari and Cohn（1999）在此基礎上提出由多項式近似理論支撐的局地化方法，依據(jù)確定的距離半徑調(diào)整局地化權重系數(shù)。但這兩種方法不僅選擇距離半徑相當費時，而且權重系數(shù)完全依賴于距離半徑，濾除距離半徑以外所有觀測量的影響，在物理機制上不符合真實大氣的規(guī)律。

為避免截斷方法的缺點，眾多學者開展了相關研究，如Ott et al.（2004）采用局地集合變換卡爾曼濾波法（LETKF）在局地區(qū)域進行同化，通過對背景誤差協(xié)方差矩陣進行特征值分解，同化過程中將模式狀態(tài)向量投影到由特征向量構成的內(nèi)部坐標系統(tǒng)上，最后再將局地分析向量投影回全球大氣的模式狀態(tài)向量中。Bishop and Hodyss（2007）提出自適應局地化思想，伴隨背景場誤差協(xié)方差的更新，及時更新權重系數(shù)，賦予局地化方法流依賴的特點。An-derson（2007）給出的自適應的分級集合濾波局地化方法，將集合分成多個小組，形成一系列的回歸系數(shù)來尋找使狀態(tài)變量的集合期望平均值和均方根誤差最小的回歸置信因子。劉碩（2012）將該方法引用到WRF-EnSRF同化系統(tǒng)。分級集合濾波局地化方法一定程度上克服了截斷誤差的缺點，但卻忽略了回歸系數(shù)的偏差，以及對多組集合的計算造成了計算量問題。

為解決回歸系數(shù)偏差和計算量的問題，Anderson（2012）提出了采樣誤差訂正局地化方法，不僅考慮了回歸系數(shù)偏差，而且計算量較小。該方法不再只依據(jù)觀測和狀態(tài)變量之間的相關性而忽視集合尺度對局地化的影響來確定局地化權重系數(shù)（Bishop and Hodyss，2009a，2009b；Chen and Oliver，2009），而是根據(jù)采樣誤差在集合卡爾曼濾波中的特征，利用離線的蒙特卡洛（offiine Monte Carlo）技術構造出與樣本相關系數(shù)和集合尺度相關的局地化函數(shù)。Anderson（2012）對采樣誤差訂正局地化方法的研究仍停留在對Lorenz模式和大尺度模式的應用中，而本文將采樣誤差訂正局地化方法應用到風暴尺度集合卡爾曼濾波的研究中，探討該方法在中小尺度天氣中的應用性。

1 WRF-EnSRF同化系統(tǒng)局地化方案介紹

1.1經(jīng)驗局地化方法

本文研究基于自主構建的WRF-EnSRF同化系統(tǒng)上（王世璋等，2009），該同化系統(tǒng)與預報模式相對獨立，系統(tǒng)內(nèi)部各觀測類型的同化模塊也相互獨立，滿足易于移植和擴展的要求。WRF-EnSRF原系統(tǒng)中采用Houterkamer and Mitchell（2005）提出的經(jīng)驗局地化方法，并用“schur”算子將局地相關的分段有理函數(shù)作為局地化權重系數(shù)R運用到集合協(xié)方差上：

采樣誤差訂正局地化方法每同化一個觀測量時則更新一次局地化權重系數(shù)，具有流依賴特性，且權重系數(shù)不再與距離半徑相關。系數(shù)查找表格的制作并不占用同化時間，不會帶來計算量過大的問題。目前采樣誤差訂正局地化方法已被應用到Lorenz模式和大尺度天氣模式中，針對各向異性的中小尺度天氣系統(tǒng)引用采樣誤差訂正局地化方法更加具有實際意義（Anderson，2012）。

2資料和同化方案設計

資料選取WRF自帶的超級單體風暴個例（1977年5月20日發(fā)生在美國俄克拉荷馬中部德爾城的一次典型超級風暴），初始環(huán)境場根據(jù)Tongand Xue（2005）提供的單點探空資料運行生成，為觸發(fā)對流在水平（30，50）的格點位置上方加入一個長軸半徑6 km短軸半徑1.5 km且強度為3 K橢球體熱泡。理想試驗中使用的多普勒模擬雷達資料根據(jù)王世璋等（2013）的模擬結果，通過徑向風和反射率的觀測算子模擬生成，其中徑向風由風場信息反演獲得，并由垂直速度傳遞水物質(zhì)的信息；而反射率算子完全由水物質(zhì)量構成。其他具體的參數(shù)設置參見Tong and Xue（2005）中的設置。為檢驗采樣誤差訂正局地化方法在風暴尺度集合卡爾曼濾波同化系統(tǒng)的效果，使用同真實場模擬（王世璋等，2013）相同的模式配置。

同化試驗分為基礎對比同化試驗（表1）和混合同化試驗（表2）兩組試驗。基礎對比同化試驗分析新局地化方法的實現(xiàn)性和特點，其中試驗1主要對比經(jīng)驗局地化方法和采樣誤差訂正局地化方法的應用結果，驗證方法的可行性和實現(xiàn)能力，試驗2僅同化徑向風的同時改變與溫壓風場相關的局地化半徑，測試局地化方法對距離的敏感度度。混合同化試驗（表2）根據(jù)試驗的結果以及各觀測算子的特性，比較對不同觀測算子以及不同風暴類型運用不同局地化方法后的結果。

兩組試驗均預報到第20分鐘時對全場添加一組40個成員的隨機擾動，擾動滿足N（0，1）正態(tài)分布，風場的三個分量（u，v，w）的標準差均為4.5 m/s，位溫為2 K，水汽混合比為0.005 kg/kg。加擾后進行集合預報至25 min后開始同化模擬雷達觀測資料，每隔5 min同化一次至第90分鐘同化結束。模式預報的水平范圍均為200 km×200 km，水平分辨率2 km×2 km，垂直范圍為20 km，垂直分辨率為0.5 km。徑向風觀測誤差為2 m/s，反射率的觀測誤差為3 dBz；同化過程中采用協(xié)方差松弛膨脹法，分析誤差協(xié)方差權重為0.5；除試驗2本文所有試驗的垂直局地化距離都是2 km，水物質(zhì)的水平距離半徑4 km，溫壓風場的水平距離半徑6 km。

3試驗結果分析

3.1基礎試驗結果分析

3.1.1采樣誤差訂正局地化方法可行性驗證

對比真實風暴在各個時段的演變特征（王世璋等，2013）可見，60 min前風暴處于快速發(fā)展變化的階段，之后風暴結構相對穩(wěn)定，基本以線性發(fā)展和直線移動為主。圖1給出了真實風暴和試驗1在三個同化時次風暴要素場的水平結構特征，第40分鐘時各試驗模擬出的風暴均出現(xiàn)了分裂，對流中心附近水平風場結構也已基本建立，試驗1的兩組結果對應的水平風場環(huán)流中心和上升氣流中心的強度和范圍都較真實風暴明顯偏弱，對流云團的強度和范圍也顯著偏弱和偏小，采樣誤差局地化方法的對流云團的強度相較于經(jīng)驗局地化方法有所增大。第60分鐘試驗1的結果已和真實風暴相當近似，上升氣流中心和水平環(huán)流中心的強度和范圍較20 min前都有所修正，中心強度仍偏弱，而采樣誤差訂正局地化方法的對流中心強度較強。同化結束時刻，同化模擬出的風暴形態(tài)與真實風暴更吻合，在第40分鐘的風暴中心位置上出現(xiàn)了一個新對流，但對應在試驗1的兩組同化結果中都沒有體現(xiàn)出來。分析說明引入局地化方法后能夠大致模擬出風暴的形態(tài)，證明采樣誤差訂正局地化方法能夠應用于WRF-EnSRF同化系統(tǒng)，且在第60分鐘前由采樣誤差訂正局地化方法可以獲得更好的同化結果。

3.1.2距離敏感度分析

采樣誤差訂正局地化方法的觀測對模式狀態(tài)量的影響權重不同于經(jīng)驗局地化方法，不依賴于局地化半徑，但同化過程中遠距離的觀測量仍易產(chǎn)生不可避免的虛假相關，在風暴發(fā)展的初期影響范圍較小使用小距離半徑能減少遠距離觀測的虛假相關，但隨著風暴的發(fā)展風暴尺度增大，較小的局地化距離半徑易忽略有用的觀測信息，所以對局地化方法選取合適的局地化距離半徑是有必要的，同時合適的局地化距離半徑可以節(jié)約計算時間。

圖2分析發(fā)現(xiàn)同一局地化半徑應用不同的局地化方法時，除個別水物質(zhì)相關的變量外采樣誤差訂正局地化方法的NSEE都更低，而比較不同局地化條件下相同方法的均方根偏差發(fā)現(xiàn)采樣誤差訂正局地化方法結果差異更小。綜合以上特點說明使用采樣誤差訂正局地化方法后的同化結果對局地化距離的敏感度小于經(jīng)驗局地化方法。這是因為采樣誤差訂正局地化方法不再局限于距離半徑而存在，從而能夠傳遞更多合理的觀測信息使結果對距離的敏感度降低。

3.1.3加入反射率的同化

僅同化徑向風主要改善了風場信息和雷達強回波帶的位置，但同化反射率能改善模式中微物理量和動力場的配置（劉寅，2011），使回波的形態(tài)接近更真實風暴。試驗3中同時同化徑向風和反射率以試圖結合兩者的優(yōu)點使模擬結果更接近于真實情況。對比均方根誤差（圖3）發(fā)現(xiàn)使用采樣誤差訂正局地化方法后的均方根誤差整體上低于使用經(jīng)驗局地化法的均方根誤差，此優(yōu)勢主要表現(xiàn)在第60分鐘前，即風暴快速發(fā)展期間，其間采樣誤差訂正局地化方法的均方根誤差快速下降，隨后收斂，這一現(xiàn)象說明新方法在風暴迅速發(fā)展時段能傳遞更多有效的觀測信息，也可以認為offline Monte Carlo技術計算的局地化權重系數(shù)更有利于訂正觀測和模式狀態(tài)量間的關系。

試驗3中風暴要素場中各變量的結構特征得到了明顯的修正。圖4給出風暴要素場垂直剖面結構特征以便分析動力和熱力場的配置，可以看出5 km高度上的要素場分布在加入反射率同化以后第40分鐘的同化結果就已接近真實場，真實風暴已發(fā)展到有15 km高度的深對流，對流中心高度接近12.5km，采樣誤差訂正局地化方法訂正后的風暴高度接近真實高度，而經(jīng)驗局地化方法模擬出的對流高度偏低。真實風暴對流區(qū)域的后部對應底層輻合高層輻散的傾斜上升氣流，前部則是下沉氣流，形成不對稱的次級環(huán)流有助于局地對流的發(fā)展；后部上升區(qū)則存在深厚的暖區(qū)中心，這種熱力配置為上升運動發(fā)展提供有利條件，積蓄有效位能，和動力結構配合易形成不穩(wěn)定層結，維持風暴發(fā)展。但在使用經(jīng)驗局地化方法時，前部的下沉氣流中卻也存在這樣一個暖區(qū)，減弱下沉氣流的趨勢，一定程度上削弱垂直風場的非對稱性。綜合對比發(fā)現(xiàn)采樣誤差訂正局地化方法得到的物理場配置更符合對流發(fā)展和維持的機理。第60分鐘時采用采樣誤差訂正局地化方法對流的強度和范圍都得到相應的增大，但經(jīng)驗局地化方法因正反饋配置的減弱不能很好的觸發(fā)對流發(fā)展，對流強度偏弱。同化結束時刻風暴發(fā)展穩(wěn)定，真實場暖區(qū)中心增強，風暴前端出現(xiàn)了大小為5 K的擾動位溫中心，采樣誤差訂正局地化方法在風暴前端形成模擬出與此一致的擾動位溫中心，而經(jīng)驗局地化方法得到的位溫中心呈現(xiàn)東西走向、狹長且面積偏大。

基礎對比試驗的結果驗證了采樣誤差訂正局地化方法可以應用于WRF-EnSRF系統(tǒng)中，同化效果也得到一定程度的提高，同時發(fā)現(xiàn)采樣誤差訂正局地化方法相較于經(jīng)驗局地化方法能捕捉更多有用的觀測信息，從而對距離的敏感度更低，另外加入反射率的同化訂正了水物質(zhì)變量而顯著提高要素場的同化質(zhì)量。

3.2混合試驗同化結果分析

根據(jù)試驗3的均方根誤差（圖6）顯示第60分鐘前采樣誤差訂正局地化方法的均方根誤差相對更低，但隨著同化時次的遞增經(jīng)驗局地化方法的均方根誤差相對有更好的收斂效果。此現(xiàn)象的產(chǎn)生與兩種方法局地化權重系數(shù)的選取有關，經(jīng)驗局地化方法中觀測對模式狀態(tài)向量的影響關于距離是單調(diào)遞減的，所確定的權重系數(shù)是一個給定的系數(shù)值，而采樣誤差訂正局地化方法的局地化權重系數(shù)有自適應特征，且不嚴格依賴于局地化距離，在原理上存在強非線性。依據(jù)局地化權重系數(shù)的水平特征分布（圖5），采樣誤差訂正局地化方法中觀測對每個狀態(tài)變量的影響在大體上滿足遠距離處權重系數(shù)較小的特點，但是在一定距離范圍內(nèi)其權重函數(shù)系數(shù)的分布形態(tài)與經(jīng)驗局地化方法的基本不同。經(jīng)驗局地化方法的權重系數(shù)的等值線是均勻分布的，采樣誤差訂正局地化方法的等值線卻無規(guī)律，反映出新方法的非線性特征，且各狀態(tài)變量的權重系數(shù)形態(tài)也不同。而在風暴發(fā)展初期非線性發(fā)展為主，采樣誤差訂正局地化方法的局地化函數(shù)體現(xiàn)了這一特性，則第60分鐘前同化結果優(yōu)于經(jīng)驗局地化方法的結果；而之后風暴趨于線性發(fā)展，經(jīng)驗局地化方法的均方根誤差更收斂。

針對以上現(xiàn)象為使局地化方法最大可能的發(fā)揮優(yōu)勢，對兩種局地化方法進行組合。在同化時間順序上混合兩種局地化方法，試驗4在第60分鐘后將采樣誤差訂正局地化方法換為經(jīng)驗局地化方法繼續(xù)進行同化（表2），混合試驗4和試驗3-2的均方根誤差曲線在前35 min重合，而后期混合試驗有效收斂（圖6）。對比第90分鐘同化結束時刻的要素場（圖7），對比試驗3-1試驗4雹霰混合比的中心位置和范圍得到了矯正，對比試驗3-2風暴附近原有的虛假回波消失，垂直速度中心的強度提高了約5 m/s，更接近真實風暴，證明了在風暴穩(wěn)定發(fā)展階段，經(jīng)驗局地化方法能更好的訂正采樣誤差。

采樣誤差訂正局地化方法應用后，風暴發(fā)展期間的同化效果具有一定的提升，且和經(jīng)驗局地化方法不同的是采樣誤差訂正局地化方法中各狀態(tài)量的局地權重系數(shù)分布不同（圖5），尤其對于水物質(zhì)變量分布差異更大，所以假設新方法對兩種雷達觀測資料的同化結果影響不同。因此設計試驗5（表2），對不同觀測算子應用不同的局地化方法。

定量分析均方根誤差（圖8），對比同化徑向風時使用不同局地化方法，而同化反射率時均采用采樣誤差訂正局地化方法（試驗5-1和試驗3-2），以及同化反射率時均使用經(jīng)驗局地化方法（試驗5-2和試驗3-1）。同化結果表明每組試驗對比的均方根誤差曲線走勢都大致相同，即兩種方法對同化徑向風結果影響不大。同樣比較試驗5-1和試驗3-1，以及試驗5-2和試驗3-2，確保同化徑向風時均采用相同的局地化方法，而同化反射率時采用不同的局地化方法，兩組試驗的均方根誤差曲線走勢卻不同，但隨同化時次的推進，差別逐漸減弱，認為兩個方法對反射率同化結果的影響存在差異。

以上現(xiàn)象根據(jù)徑向風和反射率特征分析其原因，徑向風的觀測算子主要反映的是風場信息，且兩種局地化方法對風場權重系數(shù)分布相似（圖5），因此兩個局地化方法對同化徑向風后的結果影響度相似；而雷達反射率的觀測算子由水汽相關量構成，而采樣誤差訂正局地化方法和經(jīng)驗局地化方法計算出的水物質(zhì)場的權重系數(shù)差異大，有明顯的非線性和線性之分，所以不同局地化方法對反射率同化后的結果存在差異大。特別在對反射率同化使用采樣誤差訂正局地化方法的試驗中，風暴快速發(fā)展階段均方根誤差快速削減，這是因為采樣誤差訂正局地化方法對水物質(zhì)產(chǎn)生強非線性權重系數(shù)符合反射率和風暴發(fā)展的特點，有利于縮短模式spin-up的時間。

綜合對比各混合同化試驗結果發(fā)現(xiàn)，對不同的觀測量針對他們的特點選用不同的局地化方法，能夠有效提高同化質(zhì)量，乃至針對風暴發(fā)展的運動性質(zhì)，對不同同化時次使用不一樣的局地化方案也能獲得更好的同化效果。

4結果和討論

本文基于WRF-EnSRF同化系統(tǒng)，通過引入采樣誤差訂正局地化方法，利用WRF中自帶的一次超級單體風暴完成一系列風暴尺度的資料同化理想試驗，并與經(jīng)驗局地化方法對比，詳細討論了采樣誤差訂正局地化方法在風暴尺度集合卡爾曼濾波同化中的實際應用特性和同化效果。研究主要得到如下結論：

1）不考慮模式誤差的理想試驗中，僅同化徑向風采用采樣誤差訂正局地化方法，隨同化時次推進模擬出的風暴能夠接近真實風暴，證明了采樣誤差訂正局地化方法的應用能力和可行性；對比應用采樣誤差訂正局地化和經(jīng)驗局地化兩種方法后的同化結果，證實采樣誤差訂正局地化方法可以獲得更準確的風暴要素場。

2）采樣誤差訂正局地化的權重系數(shù)根據(jù)狀態(tài)變量和對應觀測值的相關系數(shù)的先驗分布關系，由離線蒙特卡洛技術制作的關于集合數(shù)和樣本相關系數(shù)的查找表格確定，不再依賴于距離半徑，因此相對于經(jīng)驗局地化方法對距離半徑的敏感度較低。另外，采樣誤差訂正局地化方法隨同化時次不斷更新權重系數(shù)，體現(xiàn)出流依賴的特性。

3）在風暴非線性快速發(fā)展階段，因為采樣誤差訂正局地化方法本身具有強非線性特征，所以同化效果比經(jīng)驗局地化方法好；但對處于穩(wěn)定且線性發(fā)展階段的風暴，相對于采樣誤差訂正局地化方法，具有線性特征的經(jīng)驗局地化方法的均方根誤差得到更好收斂。在風暴發(fā)展的不同階段，選用不同的局地化方法更有有利于同化結果的優(yōu)化。

4）相對于所有的狀態(tài)量，兩種局地化方法關于風場的權重系數(shù)分布近似，混合試驗結果也證明同化徑向風時兩種方法獲得的同化結果相似；而兩種方法關于水物質(zhì)量的局地化權重系數(shù)分布差異大，所以在同化反射率時兩種局地化方法的同化結果存在差異。因此對不同觀測量針對其自身的特性選用相應的局地化方法能夠更合理的改善同化結果。

本文完成了對WRF-EnSRF同化系統(tǒng)中采樣誤差訂正局地化方法的測試，以及其特點的分析，同化試驗也獲得初步成功。但是本研究仍是基于模擬雷達觀測資料的基礎上完成的，該方法對于實際雷達資料應用能力還有待進一步驗證，更加全面的研究采樣誤差訂正局地化方法在EnSRF同化系統(tǒng)的應用性對在業(yè)務中發(fā)揮WRF-EnSRF同化系統(tǒng)的優(yōu)勢有著重要的意義。