基于ARMA模型的黃金期貨價(jià)格實(shí)證分析

徐珺

摘 要：本文利用基于隨機(jī)時(shí)間序列分析的ARMA模型構(gòu)建黃金期貨價(jià)格預(yù)測(cè)方法。首先對(duì)一段時(shí)間內(nèi)黃金期貨價(jià)格的時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，識(shí)別其適合的ARMA模型，并檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義和殘差的白噪聲特性，從而對(duì)時(shí)間序列后續(xù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文對(duì)2006年1月2日至2016年1月10日的523個(gè)紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價(jià)格進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明平穩(wěn)化后的時(shí)間序列適合MA模型，模型殘差序列屬于白噪聲系列。靜態(tài)預(yù)測(cè)方法表明模型相對(duì)平均誤差為1.69%，向前三步（2016年1月11日、18日、25日）預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差小于2%，說(shuō)明ARMA模型在黃金期貨價(jià)格短期預(yù)測(cè)（3-4周內(nèi)）上精度較高，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：黃金期貨價(jià)格；時(shí)間序列；ARMA（p，q）模型；短期預(yù)測(cè)

中圖分類(lèi)號(hào)：F22；F830.94 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-7866 （2017） 04-016-07

引言

黃金是一種重要的金融投資品，具有良好的避險(xiǎn)與保值功能，因而一直是投資的熱點(diǎn)。因此，如何正確地預(yù)測(cè)黃金價(jià)格，從而更理性地在黃金市場(chǎng)中進(jìn)行投資，是黃金市場(chǎng)眾多投資者所面對(duì)的難題。研究黃金價(jià)格預(yù)測(cè)的方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。國(guó)內(nèi)外學(xué)者較多地從影響黃金價(jià)格變動(dòng)的因素，如世界黃金資源供需狀況、美元指數(shù)、石油價(jià)格以及世界政治經(jīng)濟(jì)形勢(shì)[1]等等著手，研究黃金價(jià)格與影響其變動(dòng)的主要因素之間的關(guān)系，從而建立回歸模型。但由于黃金是一種同時(shí)擁有商品屬性和貨幣屬性的特殊商品，影響其價(jià)格的因素眾多，同時(shí)，隨著時(shí)間和條件的改變，影響因素對(duì)于黃金價(jià)格的作用方式和程度也會(huì)不同，并且黃金價(jià)格的各個(gè)影響因素之間也會(huì)發(fā)生相互作用，使得黃金價(jià)格的預(yù)測(cè)變得較為復(fù)雜。其中，李京[2]采用GA—BP算法針對(duì)黃金價(jià)格進(jìn)行了預(yù)測(cè)建模分析，該算法沒(méi)有對(duì)復(fù)雜、非線性且具有嚴(yán)重不確定性金融系統(tǒng)的提出經(jīng)驗(yàn)性假設(shè)條件，直接利用黃金價(jià)格以及相關(guān)宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的輸入/輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)并進(jìn)行預(yù)測(cè)，但忽略了黃金價(jià)格波動(dòng)的隨機(jī)性，該方法會(huì)帶來(lái)比較大的偏差。劉二菊[3]先將灰色預(yù)測(cè)模型GM（1，1）與馬爾科夫鏈結(jié)合得到灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型（GM-Markov模型）來(lái)對(duì)隨機(jī)波動(dòng)性較大的黃金價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并在此基礎(chǔ)上，對(duì)GM-Markov 模型進(jìn)行改進(jìn)，即將新陳代謝灰色預(yù)測(cè)模型與加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)結(jié)合形成的組合預(yù)測(cè)模型，應(yīng)用于該隨機(jī)波動(dòng)性較大的黃金價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)中進(jìn)行預(yù)測(cè)，以尋求一種能夠更為精確預(yù)測(cè)黃金價(jià)格的模型方法，但由于馬爾科夫過(guò)程的無(wú)后效性，對(duì)于那些數(shù)據(jù)前后相關(guān)性大的黃金數(shù)據(jù)時(shí)間序列，這也會(huì)引起偏差。由于黃金價(jià)格數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著豐富的信息，因此我們運(yùn)用時(shí)間序列建模的方法來(lái)分析黃金價(jià)格的變動(dòng)，能使黃金價(jià)格的預(yù)測(cè)變得較為合理。本文將以2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價(jià)格為例，通過(guò)建立ARMA模型即自回歸移動(dòng)平均模型，對(duì)黃金期貨價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。

一、ARMA模型基本理論及建模方法簡(jiǎn)述

（一）基本理論

ARMA模型即自回歸移動(dòng)平均模型是一類(lèi)常用的隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）創(chuàng)立，也稱(chēng)B-J方法。其基本思想是：某些時(shí)間序列是依賴于時(shí)間的一族時(shí)間變量，構(gòu)成該時(shí)序的的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述[4]。

ARMA模型有三種基本類(lèi)型：自回歸模型、移動(dòng)平均模型以及自回歸移動(dòng)平均模型。其中，自回歸模型（AR）通常反映經(jīng)濟(jì)變量的當(dāng)前值與其過(guò)去值的關(guān)系；移動(dòng)平均模型（MA）反映了經(jīng)濟(jì)變量當(dāng)前值與當(dāng)前及過(guò)去的隨機(jī)誤差項(xiàng)的關(guān)系；兩者結(jié)合的模型即為自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）反映了當(dāng)前值與過(guò)去值和隨機(jī)誤差項(xiàng)之間的關(guān)系，通常我們用AR（p）、MA（q）或ARMA（p，q）來(lái)表示對(duì)應(yīng)的滯后時(shí)期。

AR（p）模型的一般形式為：

MA（q） 模型的一般形式為：

ARMA（p，q） 模型的一般形式為：

其中，p和q分別為該模型的自回歸階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)；φt和θt為不為零的未知參數(shù)；ut為獨(dú)立的誤差項(xiàng)；Yt為時(shí)間序列。

（二）建模方法

針對(duì)時(shí)間序列的建模方法，主要包括以下幾個(gè)步驟[5，6]：

（1）時(shí)間序列的預(yù)處理.根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）分析結(jié)果，檢驗(yàn)其趨勢(shì)及其季節(jié)性變化規(guī)律，用ADF單位根檢驗(yàn)方法判斷該時(shí)間序列的平穩(wěn)性。如果該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，則需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理（通常為一階差分處理，若差分后仍未平穩(wěn)，可采用二階或以上的差分處理）。

（2）模型的識(shí)別.模型的識(shí)別即通過(guò)時(shí)間序列樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）的值選擇適當(dāng)?shù)腁RMA模型和相應(yīng)的p、q值，若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)在p后截尾，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的（呈幾何型或振蕩型衰減趨于0），可斷定序列適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)在q后截尾，則可斷定序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的（ACF在q階后衰減趨于0，PACF在p階后衰減趨于0），則可斷定序列適合ARMA模型。

（3）模型的參數(shù)估計(jì).使用最小二乘法計(jì)算模型未知參數(shù)的值，并檢驗(yàn)其是否具有統(tǒng)計(jì)意義。若參數(shù)不顯著，則應(yīng)舍去不顯著的系數(shù)并進(jìn)行重新估計(jì)[7]。

（4）殘差的白噪聲檢驗(yàn).對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷其是否為一個(gè)白噪聲序列。若殘差是白噪聲序列，就說(shuō)明時(shí)間序列中有用的信息已經(jīng)被提取完畢了，無(wú)需對(duì)模型再做修改。如果殘差不是白噪聲，就說(shuō)明殘差中還有有用的信息，需要修改模型進(jìn)行進(jìn)一步提取。

（5）模型的預(yù)測(cè).利用已建立的ARMA模型對(duì)原始數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，確定所建立的模型是否可以用于樣本觀測(cè)值以外的范圍，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某瑯颖咎匦訹8]。

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)選取及模型的預(yù)處理

本文數(shù)據(jù)選取紐約交易所2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）收盤(pán)價(jià)格的周平均數(shù)據(jù)，共523個(gè)數(shù)據(jù)，黃金期貨價(jià)格以金衡盎司為單位，美元計(jì)價(jià)。計(jì)量分析軟件使用的是Eviews6.0版本。得到樣本數(shù)據(jù)Y的時(shí)序圖如圖1所示。

由圖1可看出在2011年以前，黃金價(jià)格走勢(shì)呈明顯的振蕩上揚(yáng)態(tài)勢(shì)，而12年后則明顯呈下跌趨勢(shì)。

時(shí)間序列的樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏相關(guān)系數(shù)圖見(jiàn)圖2。

可以看出樣本的自相關(guān)系數(shù)遠(yuǎn)在95%的置信區(qū)間之外，且除去隨機(jī)因素，它的值接近1，因而結(jié)合上兩圖可判斷該黃金價(jià)格序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列。對(duì)于該序列需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，以此來(lái)消除數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性，使序列平穩(wěn)化。差分后得到序列D（Y），如圖3所示。

可以看出樣本的自相關(guān)系數(shù)遠(yuǎn)在95%的置信區(qū)間之外，且除去隨機(jī)因素，它的值接近1，因而結(jié)合上兩圖可判斷該黃金價(jià)格序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列。

通過(guò)作差分時(shí)序圖發(fā)現(xiàn)，原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分后，數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性基本消除了，數(shù)據(jù)大致圍繞一個(gè)固定值上下波動(dòng)，可初步判斷該序列為平穩(wěn)序列。

為了進(jìn)一步確認(rèn)一階差分后序列的平穩(wěn)性，我們引入單位根檢驗(yàn)（ADF）[9]，單位根檢驗(yàn)是時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種方法。檢驗(yàn)方法為將檢驗(yàn)所得到的t統(tǒng)計(jì)量與ADF分布表中給定顯著水平下的臨界值比較，如果t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，則拒絕零假設(shè)，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的時(shí)間序列。檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由上圖檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，顯著性水平為5%時(shí)，D（Y）的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-18.46809小于的臨界值-2.866868，且其伴隨概率P=0.0000<0.05，因而拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為D（Y）不存在單位根，是平穩(wěn)的時(shí)間序列，可建立ARMA（p， q）模型。

（二）模型的識(shí)別

確認(rèn)了序列的平穩(wěn)性后，接下來(lái)就需要進(jìn)行ARMA模型p、q的識(shí)別，p和q值可以通過(guò)觀察樣本的自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)圖來(lái)獲得，具體方法前文已有講述。黃金價(jià)格一階差分序列的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）分析結(jié)果如圖5所示。

可以大致判斷該序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均在1階以后顯著不為零，無(wú)法采用一般方法來(lái)判定p、q值，我們初步嘗試建立ARMA（1，1）模型，結(jié)果如圖6所示。

該模型滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根均在單位圓內(nèi)，因而該模型是平穩(wěn)且可逆的。但經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果采用ARMA（1，1）模型，則模型里每一項(xiàng)的系數(shù)都無(wú)法通過(guò)顯著水平為5%的t檢驗(yàn)，即系數(shù)均不顯著。因此，繼續(xù)嘗試嘗試AR（1）和MA（1）模型，結(jié)果如圖7和圖8所示。

以上模型滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根均在單位圓內(nèi)，因而該模型是平穩(wěn)且可逆的。通過(guò)t檢驗(yàn)，AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則輔助判斷得出，MA（1）模型的系數(shù)較為顯著，且AIC、SC值相對(duì)較小，因而選擇MA（1）模型對(duì)黃金價(jià)格的一階差分系列進(jìn)行建模較為合適。

（三）模型的建立

由上圖MA（1）參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知，模型對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為：

其中ut，ut-1是均值為零的白噪聲序列。

（四）模型殘差的白噪聲檢驗(yàn)

對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

如圖可知，殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都在95%的置信區(qū)間內(nèi)，說(shuō)明其沒(méi)有顯著異于零，且Q統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率P全都大于0.05，因此可以判定已建立模型的殘差序列是一個(gè)白噪聲序列。

（五）模型的擬合與預(yù)測(cè)

采用Eviews軟件中的靜態(tài)預(yù)測(cè)方法，將模型與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到如圖10結(jié)果。

如圖所示，該模型的相對(duì)平均誤差（Mean Abs. Percent Error）為1.69%，且預(yù)測(cè)值（YF）都在置信區(qū)間之內(nèi)，說(shuō)明模型與原始數(shù)據(jù)擬合程度很高，預(yù)測(cè)效果很好，可以以用該模型對(duì)未來(lái)黃金價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。但是，由于ARMA模型只能依據(jù)黃金價(jià)格本身的時(shí)間序列數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，其預(yù)測(cè)精度會(huì)受其他因素的影響而下降，隨之產(chǎn)生誤差會(huì)逐步積累，因而只能進(jìn)行短期預(yù)測(cè)[10]。

利用該模型進(jìn)行向前八步預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表1。

可以看到，該模型的預(yù)測(cè)前三步相對(duì)誤差小于2%，還是比較準(zhǔn)確的，說(shuō)明該模型在黃金期貨價(jià)格的短期預(yù)測(cè)上具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

三、結(jié)論

影響黃金價(jià)格變動(dòng)的因素是多樣且復(fù)雜的，本文不對(duì)影響黃金價(jià)格的各種因素的作用機(jī)理做具體分析，而是從黃金價(jià)格本身的時(shí)間序列著手，應(yīng)用了ARMA模型的相關(guān)知識(shí)，對(duì)2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價(jià)格數(shù)據(jù)建立了MA（1）模型，并對(duì)黃金價(jià)格的走勢(shì)進(jìn)行分析及預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示，該模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際數(shù)據(jù)相比擬合度較高，短期預(yù)測(cè)結(jié)果較為精確，說(shuō)明該模型具有較高的應(yīng)用價(jià)值，這為投資者如何更準(zhǔn)確而理性地投資黃金提供了方法和理論依據(jù)，但由于ARMA模型僅適用于短期預(yù)測(cè)，如果投資者要在黃金市場(chǎng)進(jìn)行長(zhǎng)期投資，還需要考慮黃金資源供需狀況、美元指數(shù)、石油價(jià)格等影響黃金價(jià)格變動(dòng)的因素。

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