關(guān)于愛(ài)因斯坦、伯格曼和第五維度的注記

摘 要 在1938年的論文中，愛(ài)因斯坦和伯格曼證明了，在遠(yuǎn)距情況下，與愛(ài)因斯坦-麥克斯韋理論相容的四維理論其實(shí)是一個(gè)五維理論的推論，而且這個(gè)五維理論關(guān)于每個(gè)維度都是對(duì)稱(chēng)的。他們因此而成為以此為基礎(chǔ)的現(xiàn)代觀(guān)點(diǎn)的先驅(qū)。但過(guò)了不久，他們卻將論點(diǎn)撤回了，還用一種對(duì)現(xiàn)代讀者來(lái)說(shuō)相當(dāng)不自然的方式修改了這理論，破壞了它關(guān)于五個(gè)維度的對(duì)稱(chēng)性。這是為什么？筆者從彼得·伯格曼的回信中得知，原來(lái)這是因?yàn)?，那個(gè)更對(duì)稱(chēng)的五維理論會(huì)導(dǎo)致存在一個(gè)新的遠(yuǎn)距作用場(chǎng)（一個(gè)無(wú)質(zhì)量的標(biāo)量場(chǎng)）。而在1938年，愛(ài)因斯坦和伯格曼并不想讓這種作用場(chǎng)出現(xiàn)。

關(guān)鍵詞 電磁力和引力統(tǒng)一理論 五維理論 遠(yuǎn)距作用場(chǎng)

本文主要討論愛(ài)因斯坦和伯格曼1938年關(guān)于五維時(shí)空中電磁力和引力統(tǒng)一理論的論文[4]的一個(gè)歷史細(xì)節(jié)。三十多年前，當(dāng)我第一次讀到這篇文章時(shí)，就立即對(duì)其中一點(diǎn)感到好奇。馬上我就會(huì)說(shuō)到，愛(ài)因斯坦和伯格曼在文章的開(kāi)頭就引入了一個(gè)十分現(xiàn)代化的觀(guān)點(diǎn)，即可能存在第五個(gè)維度。但他們隨即又收回了這一說(shuō)法，并破壞了在現(xiàn)代讀者看來(lái)這一理論所蘊(yùn)含的一種自然之美。這是為什么呢？

我猜想，這大概是因?yàn)樵?938年，愛(ài)因斯坦和伯格曼還不想由此導(dǎo)致一個(gè)新的遠(yuǎn)距作用場(chǎng)（一個(gè)無(wú)質(zhì)量的標(biāo)量場(chǎng)）的存在性。我曾寫(xiě)信給彼得·伯格曼詢(xún)問(wèn)此事（圖1），根據(jù)我對(duì)他回信（圖2）的理解，我的猜測(cè)是對(duì)的。這篇文章里，我會(huì)解釋這一問(wèn)題，并說(shuō)明我是如何理解伯格曼的回信的。

導(dǎo)致愛(ài)因斯坦想要統(tǒng)一電磁力和引力的一個(gè)重要因素，是提奧多·卡魯扎（Theodor Kaluza）[6]在1921年的一個(gè)提議。奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）[7]后來(lái)也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并推廣了這理論，因此現(xiàn)在通常被稱(chēng)作卡魯扎—克萊因理論。這個(gè)提議指出，除了傳統(tǒng)相對(duì)論中的四個(gè)維度（三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度）外，還有第五個(gè)維度；而電磁力是由第五個(gè)維度中的引力場(chǎng)發(fā)生偏振而產(chǎn)生的①。

雖然按照愛(ài)因斯坦的預(yù)想，這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是理論的全部，但這個(gè)觀(guān)點(diǎn)看上去已經(jīng)十分現(xiàn)代，并且很有可能是正確的。卡魯扎最初的提議其實(shí)忽略了一個(gè)對(duì)現(xiàn)代讀者來(lái)說(shuō)十分重要的因素。雖然卡魯扎引入了第五維，從而把電磁力和引力結(jié)合起來(lái)，但他并沒(méi)有將五維的場(chǎng)方程以一種對(duì)稱(chēng)的方式表達(dá)出來(lái)。因此，對(duì)于現(xiàn)代讀者來(lái)說(shuō)，卡魯扎并沒(méi)有在電磁力和引力之間構(gòu)成對(duì)稱(chēng)性，而他所完成的，與其說(shuō)是一個(gè)統(tǒng)一的理論，不如說(shuō)只是一套統(tǒng)一的符號(hào)②。

愛(ài)因斯坦和伯格曼的主要?jiǎng)?chuàng)造，在于把第五個(gè)維度作為物理實(shí)體來(lái)嚴(yán)肅對(duì)待，而不是單純?yōu)榱藢⒍纫?guī)張量和電磁勢(shì)整合到一個(gè)5階矩陣之中。在引言中，他們寫(xiě)道：“我們此處的理論與卡魯扎的理論有一個(gè)關(guān)鍵不同：我們賦予了第五維以實(shí)際的物理意義，而卡魯扎引入第五維只是為了得到電磁場(chǎng)度規(guī)張量的一個(gè)新分量?？斣谶x擇合適的坐標(biāo)系時(shí)，假設(shè)了場(chǎng)變量?jī)H依賴(lài)于四個(gè)坐標(biāo)x1，x2，x3，x4，而不依賴(lài)于第五個(gè)坐標(biāo)x0。很明顯，這是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)告訴我們，物理連續(xù)統(tǒng)是四維的。但我們想要指出，在不違反物理連續(xù)統(tǒng)的四維特征的情況下，也可以賦予第五個(gè)坐標(biāo)一些（物理）意義?！?/p>

為了解釋為什么宇宙即便有第五個(gè)維度而看起來(lái)依然是四維的，愛(ài)因斯坦和伯格曼用一條細(xì)長(zhǎng)的管子①打了比方（圖3）。這意思是說(shuō)，如果一個(gè)人近距離觀(guān)察管子，那么它看上去是二維的，因?yàn)榭梢钥吹剿拈L(zhǎng)度和寬度（如果再近一點(diǎn)，看到了材料的厚度，那么管子就是三維的），而如果從極遠(yuǎn)的地方觀(guān)察，那就會(huì)以為管子是一維的，因?yàn)閺倪@么遠(yuǎn)的距離只能看出管子的長(zhǎng)度。

以前的學(xué)者有時(shí)要么“規(guī)定”了我們不能觀(guān)察第五維，要么假設(shè)第五維只在方程中出現(xiàn)而沒(méi)有物理意義。不管前者還是后者，都導(dǎo)致該理論在現(xiàn)代科學(xué)家眼中不盡如人意，而且無(wú)法由它來(lái)給出有效的預(yù)測(cè)。相反，愛(ài)因斯坦和伯格曼幾乎已經(jīng)表明，雖然大自然的方程式中所有五個(gè)維度的地位是平等的，但在我們的世界中第五維要小得多，因此更難觀(guān)察。這是一個(gè)很超前的想法，大概也是愛(ài)因斯坦離“統(tǒng)一場(chǎng)論”這一現(xiàn)代重要課題最為接近之處了。大約四十年后，歐詹·克雷梅（Eugène Cremmer）和朱愛(ài)爾·謝爾克（Joel Scherk）[3]用了大量篇幅來(lái)介紹此觀(guān)點(diǎn)，還用“自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺”等一套十分現(xiàn)代化的術(shù)語(yǔ)來(lái)稱(chēng)呼它②。從那時(shí)起，卡魯扎-克萊因理論就成了自然力統(tǒng)一理論的一個(gè)關(guān)鍵成分。

然而，就在同一篇論文的最后部分，愛(ài)因斯坦立刻撤回了這一論點(diǎn)，并且我相信在之后的論文中，愛(ài)因斯坦再也沒(méi)有研究它。取而代之，愛(ài)因斯坦和伯格曼加了一個(gè)約束條件（存在指定長(zhǎng)度的閉測(cè)地線(xiàn)），這導(dǎo)致他們陷入了在今天的讀者看來(lái)極其繁復(fù)的計(jì)算之中。愛(ài)因斯坦、伯格曼和瓦倫坦·巴格曼（Valentine Bargmann）隨后專(zhuān)門(mén)發(fā)表了一篇論文來(lái)討論這些計(jì)算[5]。

愛(ài)因斯坦和伯格曼沒(méi)有明確解釋他們?yōu)槭裁匆脒@一約束，破壞了（用現(xiàn)代話(huà)說(shuō)）第五維度和前四維之間的對(duì)稱(chēng)性。這一約束看上去十分“人為”而不自然，他們引入必有其原因。我立刻想到了一個(gè)理由。如果他們沒(méi)有引入這個(gè)約束，那么第五維上的長(zhǎng)度波動(dòng)就會(huì)在四維中產(chǎn)生一個(gè)無(wú)質(zhì)量的標(biāo)量場(chǎng)①。從宏觀(guān)的角度來(lái)看，撇開(kāi)電磁力而就引力部分來(lái)說(shuō)，這不是純粹的廣義相對(duì)論，而是廣義相對(duì)論和諾德斯特姆引力理論的結(jié)合。而這理論是愛(ài)因斯坦所反對(duì)的，也是被他所推翻了的。這種混合理論現(xiàn)在常常被稱(chēng)為標(biāo)量—張量理論②。

早在三十年前，我就閱讀了愛(ài)因斯坦和伯格曼的文章以及其他一些早期關(guān)于卡魯扎-克萊因理論的論文，因?yàn)槲覍?duì)克雷梅—謝爾克的自發(fā)緊化觀(guān)點(diǎn)之源頭究竟能追溯到多早感到非常好奇。顯然，愛(ài)因斯坦和伯格曼已經(jīng)接近這一理論了，但他們引入約束的決定破壞了理論的簡(jiǎn)潔和優(yōu)美，這就急需一個(gè)解釋。不過(guò)最明顯的解釋是，在1938年，愛(ài)因斯坦根本就不想把廣義相對(duì)論變成一個(gè)標(biāo)量—張量理論。

我相信我與伯格曼的通信（圖1和圖2）證實(shí)了這一點(diǎn)。他寫(xiě)道：“限制度規(guī)張量分量g5k形式的原因在我相對(duì)論教科書(shū)的275頁(yè)有詳細(xì)的解釋。簡(jiǎn)單地說(shuō)，原因就在于這個(gè)理論并不是標(biāo)量—張量理論（布蘭斯-迪克類(lèi)型）但在宏觀(guān)上仍使g55=1。”其正文在參考文獻(xiàn)[5]中可以找到。伯格曼說(shuō)這個(gè)理論“不是”一個(gè)標(biāo)量—張量理論，我認(rèn)為他的意思是指它“并不需要”是一個(gè)標(biāo)量—張量理論。緊接著他繼續(xù)說(shuō)道，所加的約束是一個(gè)導(dǎo)致它不能成為統(tǒng)一理論的一個(gè)“瑕疵”（我的注釋在方括號(hào)中）：“……在最初的K—K理論中，五維對(duì)稱(chēng)不是“自發(fā)”被破壞的，而是在一開(kāi)始被一個(gè)基靈（向量）場(chǎng)的假設(shè)所摧毀。在EBB[愛(ài)因斯坦—伯格曼—巴格曼]的修改中，它則是被一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)假設(shè)[假設(shè)第五維度是一個(gè)圓] 和愛(ài)因斯坦測(cè)地線(xiàn)假設(shè)[消除標(biāo)量約束]所破壞。無(wú)論是哪種，分解為四維對(duì)稱(chēng)加上一個(gè)R或S1的規(guī)范群，在討論動(dòng)力學(xué)定律之前就已經(jīng)建立在理論當(dāng)中了?！边@也很可能被認(rèn)為是這些理論的缺陷，因?yàn)樗鼈儾皇钦嬲跋嗳荨钡模唇y(tǒng)一的），這就違背了其創(chuàng)始人的期望。依我的理解，在伯格曼最后一個(gè)注解中，他承認(rèn)消除這個(gè)不想要的無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的代價(jià)就是破壞了理論的優(yōu)美性。

也許，如果愛(ài)因斯坦再年輕一些，他就會(huì)遵循在今天看來(lái)合乎邏輯的卡魯扎-克萊因理論，并由此預(yù)知廣義相對(duì)論需要做一個(gè)標(biāo)量—張量的修訂。這絕對(duì)會(huì)是一個(gè)大膽的預(yù)想，但愛(ài)因斯坦并沒(méi)有選擇那條路。正如我們現(xiàn)在知識(shí)所證明的，如果按照這個(gè)預(yù)測(cè)，那么理論和后來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不相符。但這仍然會(huì)是一個(gè)至關(guān)重要的進(jìn)步，因?yàn)樗粌H說(shuō)明了如果要統(tǒng)一自然力就會(huì)存在一個(gè)新的場(chǎng)，還會(huì)引出今天研究自然力統(tǒng)一理論的物理學(xué)家仍然為之奮斗的許多問(wèn)題。例如，弦理論的模量問(wèn)題就是一個(gè)。

據(jù)托馬斯·阿普爾基斯特（Thomas Appelquist）、阿蘭·喬多斯（Alan Chodos）和彼得·喬治奧利弗·弗雷德（Peter George Oliver Freund）①的歷史綜述，等到十年之后，帕斯卡·約爾當(dāng)（Pascal Jordan）和蒂埃里·拉塞爾（Thierry Lasserre）才再一次討論在沒(méi)有約束條件的情況下，從五維卡魯扎-克萊因理論如何來(lái)引出這個(gè)標(biāo)量—張量理論②。后來(lái)，卡爾·布蘭斯（Carl Brans）和羅伯特·迪克（Robert Dicke）系統(tǒng)地研究了標(biāo)量—張量理論，這為迪克改進(jìn)廣義相對(duì)論的某些經(jīng)典實(shí)驗(yàn)注入了一些動(dòng)力。

愛(ài)因斯坦和伯格曼用一句可以啟發(fā)當(dāng)今物理學(xué)家的話(huà)總結(jié)了他們的文章：“不僅要從形式上引入第五維度，而且要賦予其一定的物理意義，這才能讓人滿(mǎn)意。畢竟，這和我們?cè)谖锢硎澜缃?jīng)驗(yàn)的四維空間的特征并沒(méi)有矛盾?！边@一點(diǎn)他們解釋得很好。但他們也寫(xiě)道：“毫無(wú)疑問(wèn)，卡魯扎的目的就是通過(guò)引入一個(gè)統(tǒng)一的場(chǎng)結(jié)構(gòu)來(lái)獲得關(guān)于引力和電磁力的一些新的物理視角。但這一目標(biāo)并未實(shí)現(xiàn)?！痹谶@里不得不說(shuō)的是，愛(ài)因斯坦和伯格曼顯然并不喜歡由他們的理論所引出的那個(gè)物理視角。

我感謝保羅·斯坦哈特（Paul Steinhardt），他在討論時(shí)給了我各種啟發(fā)。

附錄 兩封信件譯文

1981年1月19日

彼得 · G · 伯格曼教授

雪城大學(xué)（Syracuse University）物理系

紐約，雪城，13210

親愛(ài)的伯格曼教授：

我寫(xiě)這封信給您，是因?yàn)樽罱覍?duì)引力規(guī)范場(chǎng)統(tǒng)一理論的卡魯扎-克萊因方法有了興趣。我產(chǎn)生了一些關(guān)于該理論歷史發(fā)展的疑問(wèn)，同時(shí)也很想知道在“古典”時(shí)期人們是怎樣理解這個(gè)理論的。

在您與愛(ài)因斯坦合作的那篇論文中（《數(shù)學(xué)年刊》1938年第39卷，第683），您清楚地解釋了，在場(chǎng)的變化的特征范圍比第五維的半徑大得多的情況下，第五維緊的五維時(shí)空，是如何表現(xiàn)得只有四維的（即便場(chǎng)非平凡地依賴(lài)于全部五個(gè)坐標(biāo)）。作為其基礎(chǔ)，您指出，度規(guī)的gij分量 （i，j=1，L4） 可以是全部五個(gè)坐標(biāo)的任何函數(shù)。正如您在論文中所注明的，這就向同等對(duì)待所有五個(gè)維度邁出了一大步。但在此之后，您并沒(méi)有允許gi5 和g55成為坐標(biāo)的任意函數(shù)。這是什么原因？

我所找到的最早提議度規(guī)應(yīng)當(dāng)以任意方式依賴(lài)于所有五個(gè)坐標(biāo)的（緊或非緊），是克雷梅（Cremmer）和謝爾克（Scherk）的工作（《核物理》1976年B103第393頁(yè)；B108第409頁(yè)）。有比他們更早提出這一觀(guān)點(diǎn)的嗎？如果沒(méi)有的話(huà)，為什么呢？是因?yàn)橄胍蒰55引出的無(wú)質(zhì)量的標(biāo)量粒子嗎？

我另寄了一份我最近寫(xiě)的一篇關(guān)于卡魯扎-克萊因理論的文章，以及一篇我用狄拉克方程證明正能量定理的文章①。

致禮

愛(ài)德華·威滕

1981年1月23日

愛(ài)德華·威滕博士

物理系

賈德文大樓

普林斯頓大學(xué)

新澤西州，普林斯頓，08540

親愛(ài)的威滕博士：

限制度規(guī)分量的函數(shù)表達(dá)形式的原因在我寫(xiě)的相對(duì)論教科書(shū)②的275頁(yè)已有指出。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，其中的原因就是這個(gè)理論并非（布蘭斯-迪克型的）標(biāo)量-張量理論，但在宏觀(guān)上保持了g55=1。當(dāng)然，在這種EBB理論中，你必須把你的基本假設(shè)寫(xiě)成有理可循的不依賴(lài)坐標(biāo)的（內(nèi)蘊(yùn)）形式。愛(ài)因斯坦的提議指出了經(jīng)過(guò)流形上的每一點(diǎn)都有一條由該點(diǎn)回到自身的（閉）測(cè)地線(xiàn)，并且這測(cè)地線(xiàn)沒(méi)有尖頂和棱角。由此可以直接推出，在整個(gè)流形上這樣的閉測(cè)地線(xiàn)的長(zhǎng)度是個(gè)常數(shù)，從而進(jìn)一步得出可以引入一個(gè)具有您所說(shuō)的性質(zhì)的坐標(biāo)系。

如果丟掉這個(gè)測(cè)地線(xiàn)假設(shè)，你就得到了與一個(gè)標(biāo)量-張量理論十分相似的理論。可能也存在一個(gè)更好的（非測(cè)地的）曲線(xiàn)族（參見(jiàn)再版的泡利的《百科全書(shū)》文章后面的評(píng)論），但據(jù)我所知，這個(gè)猜想沒(méi)人證明也沒(méi)人證偽。不管考不考慮測(cè)地線(xiàn)假設(shè)，這個(gè)理論在宏觀(guān)上是四維的，引入第五維本來(lái)就是出于微觀(guān)上的考慮。

我剛剛收到您的那篇論文《尋找…》①。到現(xiàn)在我還只讀了引言部分，以后我再寫(xiě)信給你討論這篇文章。無(wú)論如何，在最初的K—K理論中，五維對(duì)稱(chēng)不是“自發(fā)”被破壞的，而是在一開(kāi)始被一個(gè)基靈（向量）場(chǎng)的假設(shè)所摧毀。在EBB的修訂中，它則是被一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)假設(shè)和愛(ài)因斯坦測(cè)地線(xiàn)假設(shè)所破壞。無(wú)論是哪種方式，分解為四維對(duì)稱(chēng)加上一個(gè)R或S1的規(guī)范群，在討論動(dòng)力學(xué)定律之前就已經(jīng)建立在理論中了。這也很可能被認(rèn)為是這些理論的缺陷，因?yàn)樗鼈儾皇钦嬲跋嗳荨钡模唇y(tǒng)一的），這就違背了它們創(chuàng)始人的期望。

致禮，

彼得·伯格曼

致 謝 感謝清華大學(xué)高等研究院的楊振寧教授和西北農(nóng)林科技大學(xué)的林開(kāi)亮博士提供的諸多幫助！

參考文獻(xiàn)

[1] Chodos， A.， Freund， P.. Modern Kaluza-Klein Theories[M]. Addison-Wesley. 1987.

[2] Bergmann， P.. An Introduction To The Theory Of Relativity[M]. Prentice-Hall. 1942.

[3] Cremmer， E.， Scherk， J.. Dual Models In Four Dimensions With Internal Symmetries[J]. Nucl. Phys. 1976. B103： 399； Spontaneous Compactification Of Space In An Einstein Yang-Mills Higgs Theory[J]. Nucl. Phys. 1976a. B108： 409.

[4] Einstein， A.， Bergmann， P.. On A Generalization Of Kaluza's Theory Of Electricity[J]. Annals of Mathematics. 1938. 39： 683.

[5] Einstein， A.， Bargmann， V.， Bergmann， P.. On The Five-Dimensional Representation Of Gravitation And Electricity[A]. Theodore von Karman Anniversary Volume[C]. 1941. 212.

[6] Kaluza， T.. On The Unification Problem In Physics[J]. Sitzungsberichte Pruss. Acad. Sci. 1921： 966. Reprinted in English translation in reference [1].

[7] Klein， O.. Quantum Theory And Five-Dimensional Theory Of Relativity[J]. Z. Phys. 1926. 37： 895. Reprinted in English translation in reference [1]； The Atomicity Of Electricity As A Quantum Theory Law[J]. Nature. 1926a. 118： 516. Reprinted in [1].

A Note on Einstein， Bergmann， and the Fifth Dimension

Edward WITTEN

Abstract： This note is devoted to a detail concerning the work of Albert Einstein and Peter Bergmann on unified theories of electromagnetism and gravitation in five dimensions. In their paper of 1938， Einstein and Bergmann were among the first to introduce the modern viewpoint in which a four-dimensional theory that coincides with Einstein-Maxwell theory at long distances is derived from a five-dimensional theory with complete symmetry among all five dimensions. But then they drew back， modifying the theory in a way that spoiled the five-dimensional symmetry and looks contrived to modern readers. Why？ According to correspondence of Peter Bergmann with the author， the reason was that the more symmetric version of the theory predicts the existence of a new long range field （a massless scalar field）. In 1938， Einstein and Bergmann did not wish to make this prediction.

Keywords： unified theories of electromagnetism and gravitation， five dimensional theory， long range field