基于搜索算法的太陽(yáng)影子變化建模

劉嬋 江偉

摘 要：如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面。本文旨在2015年數(shù)學(xué)建模A題數(shù)據(jù)資料前提下建立基于搜索算法的太陽(yáng)影子變化模型。首先通過(guò)建立地平坐標(biāo)系，利用太陽(yáng)高度角和太陽(yáng)方位角來(lái)定位太陽(yáng)的影子，并聯(lián)立太陽(yáng)高度角，太陽(yáng)方位角，赤緯角，時(shí)角等的計(jì)算公式，得到影子長(zhǎng)度的變化模型一，使用MATLAB軟件編程求解模型，計(jì)算出影子長(zhǎng)度以及變化的曲線圖。然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)影子的長(zhǎng)度是先減小后增大，在11時(shí)44分達(dá)到最小值3.8411m，在15時(shí)達(dá)到最大值7.7393m，太陽(yáng)高度角則先增大后減小并與影子長(zhǎng)度呈相反的增長(zhǎng)過(guò)程，影子長(zhǎng)度最短時(shí)太陽(yáng)高度角達(dá)到最大值37.991°，影子長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)達(dá)到最小值21.1878°，而太陽(yáng)方位角則隨時(shí)間增長(zhǎng)而變大，最后對(duì)影子長(zhǎng)度的變化曲線圖進(jìn)行了擬合，誤差（MSE）不超過(guò)10-2。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)影子；太陽(yáng)高度角；太陽(yáng)方位角；MATLAB

1 問(wèn)題的提出與分析

確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的一個(gè)非常重要的技術(shù)，太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化規(guī)律來(lái)確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。如何建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算出某固定地點(diǎn)直桿太陽(yáng)影子的變化曲線，并找到影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。

由于太陽(yáng)和地球半徑差別很大，故在可假定地球是一個(gè)球體，位置不動(dòng)，僅僅考慮太陽(yáng)公轉(zhuǎn)來(lái)建立地平坐標(biāo)系，根據(jù)公式的推導(dǎo)借助軟件計(jì)算影子的長(zhǎng)度以及畫(huà)出曲線圖并分析。

2 定義與符號(hào)說(shuō)明

3 模型的建立與求解

3.1 模型假設(shè)

1）地球自轉(zhuǎn)忽略不計(jì)，僅考慮地球公轉(zhuǎn)。

2）地球?yàn)橐?guī)則球體。

3）附件數(shù)據(jù)真實(shí)無(wú)誤差。

3.2 地平坐標(biāo)系的建立

盡管地球繞著太陽(yáng)運(yùn)行，但由相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在地球上看卻是太陽(yáng)在天空中運(yùn)動(dòng)。為了精確描述太陽(yáng)在天空中的運(yùn)動(dòng)和位置，由于太陽(yáng)和地球半徑差別很大，故在本文中假定地球是一個(gè)球體，位置不動(dòng)，僅僅考慮太陽(yáng)公轉(zhuǎn)來(lái)建立地平坐標(biāo)系，以地平面為xoy平面，以直桿底端的端點(diǎn)為原點(diǎn)，以直桿的方向?yàn)閦軸，這樣就可以用太陽(yáng)高度角和太陽(yáng)方位角來(lái)確定太陽(yáng)天空中所處的位置，如下圖所示：

其中xoy面表示地平面，原點(diǎn)o為直桿底部頂點(diǎn)，h為太陽(yáng)高度角（即太陽(yáng)直射光線與地平面間的夾角），A為太陽(yáng)方位角（即太陽(yáng)直射光線與地平面正北向所夾的角）。

3.3 分析與建模

模型的分析和建立分為以下幾個(gè)步驟：

3.3.1太陽(yáng)高度角h的計(jì)算

其中，

φ表示緯度，即某點(diǎn)與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角，其數(shù)值在0至90度之間；

δ表示太陽(yáng)赤緯角，即地球赤道平面與太陽(yáng)和地球中心的連線之間的夾角；

Ω表示時(shí)角，即在地球赤道平面上的投影與當(dāng)?shù)貢r(shí)間12點(diǎn)時(shí)、地中心連線在赤道平面上的投影之間的夾角。

3.3.2太陽(yáng)方位角A的計(jì)算

其中δ表示太陽(yáng)赤緯角；Ω表示時(shí)角。

3.3.3太陽(yáng)赤緯角δ的計(jì)算

其中n表示積日，例如從2015年1月1日到2015年10月22日之間的積日n=295天。

3.3.4時(shí)角Ω的計(jì)算

其中真太陽(yáng)時(shí)ST=北京時(shí)間t+時(shí)差，時(shí)差=（120-當(dāng)?shù)亟?jīng)度）/15。

3.3.5影長(zhǎng)與直桿長(zhǎng)度的關(guān)系

圖一中直桿的高度為H=3m，太陽(yáng)影長(zhǎng)為L(zhǎng)，滿足如下關(guān)系式：

3.3.6太陽(yáng)影子投影分量之間的關(guān)系

影子長(zhǎng)度在x、y軸方向上的投影分別為x、y，則有：

將以上（1）至（6）式聯(lián)立，可建立由當(dāng)?shù)貢r(shí)間、經(jīng)度、緯度計(jì)算太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的模型一，如下所示：

3.4 模型的求解

將2015年10月22日9：00——15：00這一時(shí)間段按3分鐘為單位進(jìn)行劃分（參考了附件中時(shí)間的劃分方式），通過(guò)如下MATLAB程序?qū)δＰ鸵贿M(jìn)行求解（軟件版本號(hào)為7.0.1.），畫(huà)出隨時(shí)間變化的影子長(zhǎng)度圖如下圖所示：

為了便于分析各個(gè)參數(shù)對(duì)影子長(zhǎng)度的影響，同時(shí)將太陽(yáng)高度角和太陽(yáng)方位角隨時(shí)間變化的曲線與圖二曲線放在一起進(jìn)行分析：

從圖三很容易觀察到：隨著時(shí)間的推移，影子的長(zhǎng)度是先減小后增大，在11時(shí)44分達(dá)到最小值3.8411m，在15時(shí)達(dá)到最大值7.7393m，太陽(yáng)高度角則先增大后減小并與影子長(zhǎng)度呈相反的增長(zhǎng)過(guò)程，影子長(zhǎng)度最短時(shí)太陽(yáng)高度角達(dá)到最大值37.991°，影子長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)達(dá)到最小值21.1878°，而太陽(yáng)方位角則隨時(shí)間增長(zhǎng)而變大。

3.5 影子長(zhǎng)度曲線擬合

從圖三可以看出，由影子的軌跡圖像，關(guān)于最低點(diǎn)是左右對(duì)稱(chēng)的，從以下的影子軌跡線形成圖四中也可以觀察出來(lái)，也就是說(shuō)影子的軌跡圖像與某個(gè)拋物線的形狀很接近，因此，可對(duì)影子曲線軌跡進(jìn)行二次函數(shù)擬合。

以時(shí)間t為自變量，以影子長(zhǎng)度為因變量，使用MATLAB程序?qū)τ白忧€圖進(jìn)行二次函數(shù)擬合，得出擬合函數(shù)為：

擬合圖如下所示：

由于樣本數(shù)量較多，故在誤差估計(jì)時(shí)計(jì)算的是均方差的數(shù)值，均方差（MSE）=8.9*10-3，擬合效果較好。

l（t）是一個(gè)拋物線，關(guān)于時(shí)間11時(shí)45分對(duì)稱(chēng)，即為擬合出的當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)間，與圖二的真實(shí)正午時(shí)間相差一分鐘，說(shuō)明擬合的效果比較好，符合實(shí)際情況。

參考文獻(xiàn)：

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通訊作者：江偉