基于參數不確定性的概率預報研究

趙信峰　徐鵬　劉開磊　趙麗霞　徐十鋒　郟建

摘要：水文模型參數的選取通常依靠經驗判斷或者依賴歷史庫中的不完備數據集進行自動優(yōu)選，所選參數并不一定能夠準確反映流域降雨徑流特點，更不足以反映不同洪水漲落階段洪水特征的變化?；谒哪Ｐ蛥荡嬖陲@著不確定性的客觀事實，以隨機參數驅動水文模型，并結合數值模型實現概率預報。通過東灣流域36場洪水模擬試驗，揭示了水文參數不確定性對洪水預報結果的顯著影響，提出的概率預報算法能夠給出精確、可靠的預報結果，說明該算法能夠降低水文模型參數所帶來的洪水預報不確定性。

關鍵詞：洪水預報；新安江模型；參數不確定性；概率分布；概率預報

受參數不確定性影響，洪水預報模型往往難以達到足夠的精度，在實際洪水預報中基于傳統(tǒng)的洪水預報模型得到的預報結果，其不確定性程度較高，難以據此作出合適的防汛調度決策，在實際應用中往往通過校正或概率預報的方式來降低洪水預報的不確定性。本研究從模型參數存在不確定性的客觀現實出發(fā)，分析參數的概率分布特征以生成隨機參數簇，驅動洪水預報模型產生初始預報解集，采用適合的方法對預報結果進行綜合，得到概率預報結果。

1模型介紹

1.1新安江模型及其參數

新安江模型是1983年由河海大學趙人俊教授帶領水文預報教研室研制，并逐步完善起來的流域產匯流模型。該模型在國內水文預報中得到廣泛應用，并在國際水文學研究中取得有價值的成果。

新安江模型是典型的概念性模型，由蒸散發(fā)、產流、分水源和匯流4個模塊組成。模型參數較多，一般需要根據優(yōu)化目標函數對參數的敏感性，將參數劃分為敏感、不敏感、區(qū)域敏感三類。對不敏感參數一般取經驗值，不參與優(yōu)選；對于敏感或區(qū)域敏感參數，則需要充分考慮參數水文特性，采用客觀優(yōu)選或SCE-UA等自動優(yōu)化方法確定參數值。

河網蓄水消退系數CS常被歸為敏感參數，對洪水預報結果的影響較大，目前針對其水文特性及統(tǒng)計規(guī)律的研究較多，成果也較為豐富。根據李致家在沙埠流域對CS參數規(guī)律的研究成果可知，CS是時段長度和線性水庫的蓄泄系數的函數，反映流域匯流特性及線性水庫的時問尺度變化。陸曼皎嘗試通過蓄泄系數參數規(guī)律來間接推求CS值，其模擬試驗在皖南山區(qū)面積為100-3 000 km2的13個流域進行，結果表明地理因子公式推求得到CS的方法具有一定的可操作性，同時驗證了計算步長、時段內人流分布可能帶來的參數不確定性。

1，2 BMA模型

BMA（Bayesian Model Averaging）是基于多預報序列的先驗信息進行模型綜合的數值模型。DUAN等在美國3個水文站進行模擬試驗，研究BMA方法的集合預報性能，其研究表明BMA對降低洪水預報結果的不確定性程度效果顯著。BMA模型依賴較長系列預報結果進行模型訓練，進而根據各個時刻的初始（先驗）預報結果估計預報變量的后驗概率特征，生成概率預報以及均值、中位數形式的確定性預報結果。

在采用BMA模型進行集合預報時，無須關注各模型中哪個是最優(yōu)模型，也無須要求各模型均能夠提供高精度的預報結果，只須提供序列足夠長的資料以進行BMA模型訓練。因此，在實際使用中，BMA模型能夠避免因對最優(yōu)模型的判斷不準而帶來的不確定性，避免產生較差的預報結果，同時能夠提供較為可靠的預報變量概率分布描述。

2基于參數不確定性的概率預報算法

實際上，BMA模型的先驗信息并不局限于多模型預報結果，只要給出多個時間序列的原始預報數據及相應的實測序列，BMA就可以正常執(zhí)行運算?？紤]到在執(zhí)行實時洪水預報時，最優(yōu)參數并不能提前預知，因此可以依據參數的先驗概率分布特征，隨機給出某參數多個可能的值，以驅動水文模型產生相應多個預報結果。在BMA框架下，把隨機參數所產生的多個預報結果視作BMA的集合預報成員，以基于以上各參數模擬歷史場次洪水的計算結果作為先驗信息，進行BMA模型訓練；進而，以BMA模型綜合當前洪水的多個預報結果，得到在考慮參數不確定性的情境下，預報變量的概率分布的描述。其中，隨機生成的該參數的多個可能值被統(tǒng)一稱為參數簇。

根據以上思路，以新安江模型為例，考慮其參數CS的不確定性，采用如下步驟構建基于參數不確定性的概率預報算法（簡稱PROP）。

（1）獲取參數的先驗概率分布。根據經驗，選擇以新安江模型的參數CS為例，考察該參數在歷史各場洪水中的數值變化特征，考察各常見分布類型在描述CS的概率分布中的適用性。選出合適的分布類型之后，計算分布函數的參數，獲取CS的先驗概率分布。

（2）隨機生成參數簇。根據CS的先驗概率分布特征，隨機生成維度為Ⅳ的參數簇。

（3）構建預報信息庫。基于以上N個參數，分別驅動新安江模型模擬所有場次的歷史洪水，計算得到各場洪水的次模模擬結果。在實時洪水預報中，步驟（2）中得到的參數簇可以在洪水預報之前生成，以降低運算量，保證實時性；這里提到的“歷史洪水”應當變成“當前場次以前的歷史洪水”。

（4）訓練BMA模型。根據成員數為N的歷史洪水預報結果的集合，訓練BMA模型參數。受限于篇幅，此處不對相關技術細節(jié)作詳細描述，可在參考文獻[7]中查閱。

（5）生成預報變量后驗概率分布。設后驗分布的采樣數目為L，然后將當前的N個預報結果代入訓練好的BMA模型中，基于蒙特卡羅采樣方法生成成員數為L的預報變量的解集。當L值足夠大時，該解集與預報變量的后驗概率分布相似，可以認為該解集的分布情況反映了預報變量的后驗概率分布特征，解集的均值可以視作預報變量的期望值。

在PROP算法中，模型參數的最優(yōu)值無須提前預知，因此該算法能夠避免洪水預報中不合理的參數對預報結果的負面影響。該算法僅依靠比較成熟、單一的新安江模型即可實現集合預報，無須引進其他模型，算法的實現簡便。該算法能夠提供變量的后驗概率分布及期望值等信息，比傳統(tǒng)水文模型的信息更豐富，能夠為防汛決策提供更多有價值的支持信息。

3試驗流域及數據介紹

3.1流域概況

本研究所選試驗流域為東灣流域（見圖1），位于東經111°-112°、北緯33.0°-34.5°之間的伊河河源地區(qū)，流域面積為2 856 km2。流域地勢西高東低，上游林地面積大，屬大陸性季風氣候區(qū)。降水量的年內分布極不均勻，每年7-9月降水量占年降水量的一半以上。年降水量隨高程增加而遞增，山地為多雨區(qū)，河谷及附近丘陵為少雨區(qū)。降水年際變化較大，最大年降水量為最小年降水量的2倍左右。

3.2流域數據

本研究選擇東灣流域1962-2011年36場洪水用于數值模擬試驗。模型參數率定中，采用先優(yōu)化日模參數，再模擬出各場次洪水初始時刻的流域土壤飽和程度，然后排列出敏感次模參數的順序。由于本研究所關注的是參數的不確定性程度及基于參數不確定性的相關理論方法，每場洪水的最優(yōu)參數值不同，這就需要知道各場洪水中的最優(yōu)參數值，因此每場洪水都需要優(yōu)化得到一個最優(yōu)參數值。

根據《水文情報預報規(guī)范》（GB/T 22482-2008），本研究中涉及的洪水預報精度評定，均采用NSE（Nash-Sutcliffe Efficiency Coefficient）指標作為評價依據。以每場洪水的最優(yōu)參數為依據，分別執(zhí)行預報并計算NSE指標值。統(tǒng)計結果顯示，所選各場洪水均達到丙級以上精度，其中乙級以上32場，甲級以上11場，說明新安江模型在東灣流域適用性好，本研究的成果對于推進新安江模型在該流域及相似流域的應用具有一定的參考價值。

4參數CS的先驗概率分布

本研究采用SCE-UA算法。分別對每場洪水進行參數率定，以獲取CS在每場洪水的最優(yōu)值。計算率定得到36個CS參數值的累計概率值，并應用常見的Beta、Gamma、Laplace、Logistic、P-Ⅲ、Weibull（兩參數）、對數正態(tài)、正態(tài)、指數分布共9種分布函數對CS值的統(tǒng)計概率分布點進行擬合。擬合情況見圖2，圖中橫坐標表示直接統(tǒng)計最優(yōu)CS值的頻率；縱坐標表示相應CS值在不同分布類型中的頻率估計值；NSE為擬合確定性系數，其數值范圍為（-∞，1]，數值越大，則擬合度越高，相應的分布函數越適合于描述最優(yōu)CS值的概率分布特征。

從圖2可以看出，所選9個分布函數的確定性系數值均在0.9以上，各分布函數對最優(yōu)CS值的擬合度均較高。Beta、P-Ⅲ相對于其他分布函數表現更優(yōu)，然而P-Ⅲ分布對較大CS值的擬合效果較差，因而可以認為Beta分布是這9個分布函數中最好的，適合于描述不同場次洪水中最優(yōu)CS值的概率分布特征。在確定參數CS所服從分布類型之后，記錄其分布函數的各項參數值，隨機生成50組（L=50）不同的CS參數。

5原始預報集合的獲得

將隨機生成的50組參數分別代入新安江模型，獨立地對所選歷史洪水進行模擬計算，可以獲得集合預報成員數為50的預報值序列，然后結合對應的實測數據對BMA模型進行訓練。針對每場洪水，利用訓練好的BMA模型綜合50個原始預報結果進行集合預報運算。圖3、圖4分別展示了實測一原始預報一PROP均值預報流量過程比較、PROP概率預報流量過程。限于篇幅，在圖3、圖4中將36場洪水彼此首尾相連，繪制在同一張圖上。由于圖中相鄰兩時刻的時間跨度可能比較大，因此該洪水過程并不代表1962-2011年完整的流量過程，僅用于說明各集合預報成員及PROP在這36場洪水中的表現。

從圖3可以看到，基于隨機參數所構建的各集合預報成員，模擬得到的流量過程的總體趨勢與實測的相差不大，但是仍然可見大量的原始預報結果偏離實測值。各集合預報成員所選CS參數值不同，是各自預報結果之間產生顯著差異的唯一原因。這進一步印證了參數不確定性的存在會導致預報結果顯著發(fā)散的現象，也強調了參數不確定性是水文預報中必須考慮的一個重要因素。PROP算法均值預報結果與實測流量結果的總體變化趨勢一致，說明基于PROP方法進行洪水預報時，其確定性預報結果更為穩(wěn)定、可靠，且無須事先進行參數率定，因而可以避免參數不確定性導致的計算精度降低。

6概率預報結果的獲得與分析

概率預報時常采用90%置信區(qū)問來表征預報變量的概率分布情況，置信區(qū)間中的實測點占全部實測點的比例（即覆蓋率CR）被認為能夠反映概率預報結果的可靠性。CR的取值范圍為[0，1]，CR值越大，實測點落在置信區(qū)問內的比例越大，依據概率預報結果漏報的可能性越小。

從圖4可以看出，PROP所提供的90%置信區(qū)間基本上能夠將實測值包含在內，CR值達到93.0%。PROP算法的洪峰預報結果可靠性高，所選36場洪水中有31場的實測洪峰落在概率預報的置信區(qū)間之內，例如在1975年大洪水中，實測洪峰流量為4 200 m3/s，對應的PROP預報90%上、下限分別為4 430 ma/s與490 m3/s。綜合PROP的概率預報結果對整體與洪峰附近洪水過程的匹配程度，可以認為該模型所獲得的概率預報結果較為可靠。

7結論

本研究基于水文模型的參數存在顯著不確定性的客觀事實，以隨機生成的參數驅動水文模型，并結合數值模型構建PROP算法實現集合預報。通過東灣流域36場洪水模擬試驗，揭示了水文模型參數不確定性對洪水預報結果的顯著影響，并驗證了PROP所提供的確定性及概率預報結果的精確性、可靠性，證明PROP能夠降低水文模型參數所帶來的洪水預報不確定性。

在實際洪水預報中，參數的優(yōu)選往往依靠經驗判斷或者依賴歷史庫中的不完備數據集進行自動優(yōu)化，然而由于洪水特征無法準確預知，甚至在一場洪水不同階段所要求參數的值也存在較大差異，因此所選參數并不一定適合當前洪水的預報。PROP算法為考慮參數不確定性的條件下實現準確的洪水預報問題，提供了一個可靠的解決方案。該算法強化了對參數概率分布特征的描述，弱化了對求解最優(yōu)參數值的要求，降低了參數不確定性導致較差預報結果的可能性：依賴現有較為成熟的BMA模型，為洪水預報工作提供更為豐富、可靠的預報信息，對于完善并提高現有的洪水預報技術具有參考價值。

然而也需要看到，本研究所采用的參數僅僅針對單一的參數CS，實際洪水預報中往往有多個參數存在明顯不確定性，如何準確描述多參數的聯(lián)合概率分布，以及如何在洪水預報中同時考慮多參數不確定性的影響，將是一個有價值的研究方向。