關(guān)于隨機(jī)和概率分布律遞推公式的探討

徐 懷，趙鈺萱，蔣書涵， 陳 丹

(安徽大學(xué) 1.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；2.紐約石溪學(xué)院；3.大數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；4.管理學(xué)院, 合肥 230039)

1. 前言

2. 遞推公式及其證明

在這一節(jié)中，我們證明隨機(jī)和概率分布率的遞推公式。

首先指出下述兩條顯然的性質(zhì)：

證明：

關(guān)于g0的證明是一目了然的，我們略過。

下證gi,i≥1

分解上式中的第二和第三項(xiàng)得，

分解第一項(xiàng)，分別于第三項(xiàng)和第五項(xiàng)合并得，

分別合并第一和第三項(xiàng)，第二和第四項(xiàng)得，

3. 算法步驟

根據(jù)上述的遞推公式，設(shè)計(jì)以下的算法過程：

步驟1 根據(jù)隨機(jī)變量NXi對(duì)a,b,fi變量賦初值

步驟3 對(duì)隨機(jī)和的概率分布律gi求和，判斷∑gi是否等于1，若小于1，重復(fù)步驟2。若等于1，進(jìn)入步驟4。

步驟4 輸出概率分布列和概率分布列，繪出圖形。

4. 數(shù)值例子

(1)計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量N服從二項(xiàng)分布B(n,p)。其概率分布律為

(2)計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量N服從參數(shù)為λ泊松分布。其概率分布律為

(3)計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量N服從參數(shù)為γ,β負(fù)二項(xiàng)分布。其概率分布律為

下面給出的三個(gè)數(shù)值例子，就是分別假設(shè)計(jì)數(shù)變量N服從二項(xiàng)分布、泊松分布、負(fù)二項(xiàng)分布。

例1(二項(xiàng)分布)：若X概率分布律如下，

X1 2 3

p1/2 1/3 1/6

此時(shí)f1=1/2,f2=1/3,f3=1/6。

例2(泊松分布)：設(shè)N服從參數(shù)為λ的泊松分布，即a=0,b=λ。

假設(shè)X取值為正整數(shù)，若X概率分布律如下，

X1 2 3 4 5 6 7

p0.3 0.2 0 0.15 0.1 0.05 0.2

此時(shí)f1=0.3,f2=0.2,f3=0,f4=0.15,f5=0.1,f6=0.05,f7=0.2,

當(dāng)N服從參數(shù)λ=1,2,3,4,5的Poisson分布時(shí)，我們計(jì)算出概率分布律gi,i=1,…,19如下:

圖1 隨機(jī)和概率分布律 圖2 隨機(jī)和分布函數(shù)

表1 計(jì)數(shù)變量服從泊松分布時(shí)概率分布律

例3(負(fù)二項(xiàng)分布)：若概率分布律如下，

X1 2 3 4 5

p0.2 0.5 0.15 0.2 0.15

此時(shí)f1=0.2,f2=0.3,f3=0.15,f4=0.2,f5=0.15

圖3 隨機(jī)和概率分布率 圖4隨機(jī)和分布函數(shù)

5. 總結(jié)

文中首先給出隨機(jī)和的定義，證明隨機(jī)和的概率分布律的遞推公式，隨后給出遞推公式的算法，并給出幾個(gè)數(shù)值的例子。相較采用全概率公式，文中給出的遞推公式在計(jì)算概率分布律的效率和精度上有很大的提升，希望此方法在類似問題研究中能提供方法上的借鑒。