高中生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

聶靖翔+康淑瑰+田果萍

摘要：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維活動(dòng)形式。要從問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行問(wèn)題的設(shè)計(jì)、解題時(shí)的思維引導(dǎo)、解題后的反思與總結(jié)等一系列過(guò)程來(lái)培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；思維；高中生；問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）20-0224-02

一、核心概念闡述

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為思維是人的信息加工過(guò)程。信息加工的基本過(guò)程包括問(wèn)題解決、模式識(shí)別和學(xué)習(xí)（即信息的獲取和存儲(chǔ)）[1]。數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)，具有概括性、問(wèn)題性和相似性等特征。[2]

二、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)策略

教育的對(duì)象是學(xué)生，教師既要關(guān)注高中生的心理發(fā)展特點(diǎn)，又要適應(yīng)高中生思維發(fā)展特征，還得兼顧數(shù)學(xué)思維的規(guī)律去設(shè)計(jì)高中生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)策略。

學(xué)習(xí)方式是指每個(gè)人在學(xué)習(xí)時(shí)所具有的或偏愛(ài)的方式。[3]田果萍老師曾對(duì)高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式做過(guò)調(diào)查研究，研究表明：68.0%的學(xué)生注重聽(tīng)課；73.3%的學(xué)生大量做題；57.9%的學(xué)生進(jìn)行總結(jié)。[4]這反映出聽(tīng)課與練習(xí)成為高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的雙主渠道，而且練習(xí)與聽(tīng)課相比較而言顯得更加重要，高中生在構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)十分重視知識(shí)的系統(tǒng)化，自主學(xué)習(xí)的意識(shí)與技能必有待提高。如果把數(shù)學(xué)問(wèn)題比作修一條路的話(huà)，已知條件是材料，問(wèn)題是設(shè)計(jì)圖，數(shù)學(xué)思維能力是建造過(guò)程，基礎(chǔ)能力就是地基。不管我們是領(lǐng)悟到還是學(xué)習(xí)到新的知識(shí)，都要有舊知識(shí)作為鋪墊，才能使全體學(xué)生進(jìn)步，來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。中國(guó)學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)，是以科學(xué)性、時(shí)代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與三個(gè)方面。綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細(xì)化為國(guó)家認(rèn)同等十八個(gè)基本要點(diǎn)。[5]

不同階段的學(xué)生因年齡特點(diǎn)在各學(xué)段的具體表現(xiàn)不同?！按蟊姅?shù)學(xué)”作為新課標(biāo)基本理念的第一條，其理想結(jié)果是給所有學(xué)生“一雙能用數(shù)學(xué)視角觀(guān)察世間的眼睛，一個(gè)能用數(shù)學(xué)思維思考世間的頭腦”。[6]本文結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、實(shí)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、大學(xué)期間在培訓(xùn)機(jī)構(gòu)擔(dān)任高中教師的經(jīng)歷，從問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行設(shè)計(jì)、思維引導(dǎo)、解題后的反思與總結(jié)等一系列過(guò)程來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、案例及其討論

案例1：從問(wèn)題出發(fā)并進(jìn)行問(wèn)題的設(shè)計(jì)。

在課堂教學(xué)中教師應(yīng)重視問(wèn)題情境，盡可能的把數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際生活中的問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，與學(xué)生水平較為符合，來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例如：（1）賣(mài)一送一（即買(mǎi)一只茶壺送一只茶杯）；（2）打9折（即按購(gòu)買(mǎi)總價(jià)的90%付款）。其中還有一個(gè)前提條件是：購(gòu)買(mǎi)茶壺3個(gè)以上（茶壺20元/個(gè)，茶杯5元/個(gè)）。[7]由此，不禁想到：這兩種優(yōu)惠辦法有區(qū)別嗎？到底哪種更便宜呢？這種與生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更加容易吸引到學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，更深入的思考從而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

案例2：解題時(shí)的思維引導(dǎo)。

首先：根據(jù)題意可以采用方程的思想去思考如下：

設(shè)茶壺X個(gè)，茶杯Y個(gè)，一共用去Z元。

第一種優(yōu)惠方式：當(dāng)Y3，Y≥0時(shí)

20X=Z（Y3，Y≥0）

當(dāng)Y≥X，X>3，Y≥0時(shí)

20X+5（Y-X）=Z（Y≥X，X>3，Y≥0）

15X+5Y=Z（Y≥X，X>3，Y≥0）

第二種優(yōu)惠方式：（20X+5Y）×0.9=Z（X>3，Y≥0）

18X+4.5Y=Z（X>3，Y≥0）

其次：從問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行求解。題目問(wèn)兩種優(yōu)惠方式哪一個(gè)更便宜，商家既然給了多種優(yōu)惠方式，就說(shuō)明在合理的情況下使用合理的優(yōu)惠方式最省錢(qián)，那么就要找在什么時(shí)候兩種方式花得錢(qián)一樣多，即Z相等。

當(dāng)Y3，Y≥0時(shí)

20X=18X+4.5Y（Y3，Y≥0）

2X=4.5Y 即Y=4/9X

當(dāng)Y≥X，X>3，Y≥0時(shí)

15X+5Y=18X+4.5Y（Y≥X，X>3，Y≥0）

0.5Y=3X，即Y=6X

解得當(dāng)【0≤Y≤4/9X、Y≥6X、X>3】時(shí)，第二種優(yōu)惠方式比較劃算；當(dāng)【4/9X≤Y≤6X】時(shí)，第一種優(yōu)惠方式比較劃算。

案例3：解決問(wèn)題后的反思與總結(jié)。

題不在多，反思就好。從元認(rèn)知理論的角度來(lái)看，反思與總結(jié)是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的關(guān)鍵所在。問(wèn)題解決之后，要反思解題的過(guò)程。學(xué)習(xí)反而是一個(gè)深化（包含優(yōu)化）知識(shí)[8]與方法、監(jiān)控思維的起航。學(xué)生深刻地體會(huì)到定義域是函數(shù)整體中不可分割的一部分（彌補(bǔ)了初次學(xué)習(xí)時(shí)的不全面性與不深刻性），加深了對(duì)分段函數(shù)的理解，領(lǐng)教了分類(lèi)討論的必要性；在對(duì)解題步驟的審核驗(yàn)證過(guò)程中，鍛煉了思維的縝密性；及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并及時(shí)糾正。這就是元認(rèn)知體驗(yàn)，使得思路暢通，解題速度加快，思維更加開(kāi)闊，提高了數(shù)學(xué)和核心素養(yǎng)。

問(wèn)題解決之后，還要反思題目特征。提高解決問(wèn)題的能力，思維品質(zhì)不僅是一種思維特征，而且也是一種認(rèn)知方式，解題之后要舉一反三。數(shù)學(xué)思維的價(jià)值在于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)：觸類(lèi)旁通可以培養(yǎng)思維的廣闊性；想一想如果題目中的某個(gè)條件改變一下，會(huì)是什么結(jié)論，這種嘗試可培養(yǎng)思維的靈活性；揣摩解題規(guī)律可培養(yǎng)思維的深刻性；對(duì)解題速度進(jìn)行評(píng)價(jià)可培養(yǎng)思維的批判性；能提出自己的觀(guān)點(diǎn)或方法可培養(yǎng)思維的獨(dú)立性。數(shù)學(xué)思維源于問(wèn)題、成于問(wèn)題，因此我們要抓住解題教學(xué)這一數(shù)學(xué)教育教學(xué)上的永恒主題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)：

[1][美]司馬賀.人類(lèi)的認(rèn)知[M].荊其誠(chéng)，等，譯.北京：科學(xué)出版社，1986.

[2]任樟輝.數(shù)學(xué)思維論[M].桂林：廣西教育出版，1996.

[3]陳奇，劉儒.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，2006.

[4]田果萍，張生平，趙霞.高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的調(diào)查與分析[J].教學(xué)與管理，2010，（9）：52-53.

[5]中國(guó)學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)[EB/OL].[2016-12-10].http：//edu.sina.com.cn/zl/edu/2016-09-18/11143922.shtml.

[6]劉兼，孫曉天.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京師范大學(xué)出版，2003.

[7]吳水龍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的嘗試[J].學(xué)周刊（B版），2014，（7）期：180-181.

[8]秦芳.高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（20）（s2）：117-118.