基于核與灰半徑序列的GM(1，N)預(yù)測(cè)模型及其在霧霾中的應(yīng)用

熊萍萍,李軍,張倩,張雪純

(南京信息工程大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;b.氣象災(zāi)害教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;c.氣候與環(huán)境變化國(guó)際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室;d.氣象災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)警與評(píng)估協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)

基于核與灰半徑序列的GM(1，N)預(yù)測(cè)模型及其在霧霾中的應(yīng)用

熊萍萍a,b,c,d,李軍a,張倩a,張雪純a

(南京信息工程大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;b.氣象災(zāi)害教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;c.氣候與環(huán)境變化國(guó)際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室;d.氣象災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)警與評(píng)估協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)

既有的關(guān)于GM(1,N)模型的研究,都是建立在實(shí)數(shù)序列基礎(chǔ)上,文章將對(duì)GM(1,N)模型進(jìn)行拓廣,深入探討該模型在區(qū)間灰數(shù)序列情形下的建模機(jī)理和建模方法,提出了基于核與灰半徑的GM(1，N)模型。將以區(qū)間灰數(shù)序列的核序列和灰半徑序列為基礎(chǔ)建立GM(1，N)預(yù)測(cè)模型,進(jìn)而對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的核與灰半徑進(jìn)行模擬預(yù)測(cè),根據(jù)核與灰半徑的計(jì)算公式推導(dǎo)出區(qū)間灰數(shù)的上界和下界,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的模擬預(yù)測(cè)。最后,將文中提出的GM(1，N)模型應(yīng)用于對(duì)霾存在時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的預(yù)測(cè)研究中,模擬預(yù)測(cè)效果較好,從而驗(yàn)證了該模型的有效性和可行性。

灰色系統(tǒng)理論;GM(1，N)預(yù)測(cè)模型;區(qū)間灰數(shù);核與灰半徑

0 引言

鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代初提出的灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于我們的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技等各個(gè)領(lǐng)域。灰色模型是灰色理論的重要內(nèi)容[1],如GM(1,1)模型,GM(1,N)模型等,其中GM表示Grey Model,即灰色模型,GM(1,1)表示一階微分方程、一個(gè)變量的灰色模型;GM(1,N)表示一階微分方程、N個(gè)變量的灰色模型。GM(1,N)模型是一階多變量灰色模型,該模型中包含一個(gè)系統(tǒng)行為變量和N-1個(gè)影響因子變量,該模型主要分析多個(gè)影響因子變量對(duì)系統(tǒng)行為變量的作用,在已知影響因子變量的變化趨勢(shì)的情形下,還可以對(duì)系統(tǒng)行為變量作預(yù)測(cè)[2]。一些學(xué)者利用GM(1,N)模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)研究,如對(duì)東北地區(qū)糧食綜合生產(chǎn)能力進(jìn)行預(yù)測(cè)[3],對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)[4],對(duì)廣東海洋經(jīng)濟(jì)進(jìn)行預(yù)測(cè)[5],GM(1,N)模型得到較廣泛的應(yīng)用。

目前,針對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測(cè)模型主要集中于單變量GM(1,1)模型。通過(guò)區(qū)間灰數(shù)的核序列和灰度序列,運(yùn)用灰度不減公理對(duì)區(qū)間灰數(shù)的GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)[6];也有部分學(xué)者通過(guò)區(qū)間灰數(shù)的核序列和灰度序列以及區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)區(qū)間灰數(shù)的GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)[7];在區(qū)間灰數(shù)的核與灰半徑的基礎(chǔ)上,求得連續(xù)區(qū)間灰數(shù)的上界和下界,實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測(cè)[8];也可以運(yùn)用灰數(shù)帶和灰數(shù)層對(duì)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)[9]。楊錦偉研究了在不確定信息廣泛存在的正態(tài)分布背景下區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測(cè)問(wèn)題[10]。曾波通過(guò)包絡(luò)線將振蕩序列拓展為具有明確上界與下界的區(qū)間灰數(shù)序列,對(duì)區(qū)間灰數(shù)振蕩序列進(jìn)行模擬與預(yù)測(cè)[11]。葉璟在充分挖掘和拓展“灰度不減”公理的基礎(chǔ)上,建立了區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[12]。李曄從三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)序列中提取出核序列、“重心”點(diǎn)序列和精確度序列,在不破壞灰數(shù)整體性的前提下,構(gòu)建了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測(cè)模型[13]。以上研究對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測(cè)建模有一定的促進(jìn)作用,但主要集中于單變量灰色預(yù)測(cè)模型。

一些學(xué)者也對(duì)GM(1,N)模型進(jìn)行了研究,利用粒子群優(yōu)化算法求解灰色多變量GM(1,N|γ，τ)模型中的相關(guān)參數(shù),并對(duì)系統(tǒng)行為序列進(jìn)行預(yù)測(cè)[14];研究了基于Simpson公式的GM(1,N)建模的新算法[15]和廣義灰色多變量GM(1,N)模型及算法[16]。王正新先后探討了灰色多變量GM(1,N)冪模型及灰色時(shí)滯多變量GM(1,N)模型的建模機(jī)理[17,18]。然而,目前關(guān)于GM(1,N)模型的研究,都是建立在實(shí)數(shù)序列基礎(chǔ)上,本文將對(duì)GM(1,N)模型進(jìn)行拓廣,深入探討該模型在區(qū)間灰數(shù)序列情形下的建模機(jī)理和建模方法。首先求出系統(tǒng)行為變量序列和N-1個(gè)影響因子變量序列的核與灰半徑序列,其次對(duì)系統(tǒng)行為變量序列和N-1個(gè)影響因子變量序列的核序列建立GM(1,N)模型,并對(duì)系統(tǒng)行為變量序列和N-1個(gè)影響因子變量序列的灰半徑序列建立GM(1,N)模型,然后利用系統(tǒng)行為變量序列的核與灰半徑序列的模擬預(yù)測(cè)值,從而可以得到系統(tǒng)行為變量相應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)的上界與下界的模擬預(yù)測(cè)值,最后運(yùn)用文中所構(gòu)建的模型對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

1 基本概念與公理

定義1:設(shè)灰數(shù)?∈[a,b],a

定義3:由區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],k=1,2,3,…構(gòu)成的序列稱為區(qū)間灰數(shù)序列X(?);X(?)中所有的上界組成的序列,稱為X(?)的上界序列,記為Xb=(b1,b2,…,bn);X(?)中所有的下界組成的序列,稱為X(?)的下界序列,記為Xa=(a1,a2,…,an);X(?)中所有的核組成的序列,稱為X(?)的核序列,記為X?=(?1,?2,…,?n);X(?)中所有的灰半徑組成的序列,稱為X(?)的灰半徑序列,記為Xr=(r1,r2,…,rn)[9]。

2 基于區(qū)間灰數(shù)序列核與灰半徑的GM(1,N)模型

GM(1,N)模型是一階多變量灰色模型,該模型中包含N個(gè)變量,一個(gè)系統(tǒng)行為變量和N-1個(gè)影響因素變量。該模型主要分析多個(gè)影響因素變量對(duì)系統(tǒng)行為變量的作用,在已知影響因素變量的變化趨勢(shì)的情形下,可以對(duì)系統(tǒng)行為變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。本節(jié)將主要介紹基于核序列以及灰半徑序列的GM(1,N)模的建模機(jī)理。

2.1 基于核序列的GM(1,N)模型*GM(1,N)模型的建模機(jī)理詳見(jiàn)編著“劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].第5版.北京：科學(xué)出版社，2010”中的169-170頁(yè)

…

為GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解為:

的近似時(shí)間響應(yīng)式為:

?

(3)累減還原式為:

(4)GM(1,N)模型的差分模擬式為:

2.2 基于灰半徑序列的GM(1,N)模型

…

為GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解為:

的近似時(shí)間響應(yīng)式為:

(3)累減還原式為:

(k).

(4)GM(1,N)模型的差分模擬式為:

(k).

2.3 區(qū)間灰數(shù)上界和下界的推導(dǎo)

由命題(1)可以求得系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測(cè)值:

3 實(shí)例分析

3.1 霧霾的定義

本文依照大氣成分中的PM2.5的指標(biāo)進(jìn)行判定。當(dāng)PM2.5濃度大于 75 μg/m3時(shí),判定為霾;當(dāng)PM2.5濃度小于等于75 μg/m3時(shí),判定為非霾。相對(duì)濕度大于95%時(shí),判定為霧。張建忠指出,通常將霧和霾同時(shí)存在且區(qū)域性能見(jiàn)度低于10 km的空氣普遍渾濁現(xiàn)象稱為“霧霾”天氣。本文將“霧和霾同時(shí)存在”定義為“霧霾混合”。

在本文中研究的時(shí)期為2016年3月2日到3日,PM2.5濃度大于75 μg/m3,相對(duì)濕度小于95%,被判定為霾。即對(duì)霾存在時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進(jìn)行區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)。

3.2 GM(1，3)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

影響空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的影響因素有很多,有PM2.5、PM10、SO2、CO、NO2、O3、風(fēng)向、風(fēng)速、氣溫、相對(duì)濕度、氣壓等。先對(duì)影響AQI的影響因素進(jìn)行多元回歸分析,采用2016年3月2日與3月3日每小時(shí)的數(shù)據(jù),共48組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)。運(yùn)用多元回歸分析中逐步回歸的方法,通過(guò)SPSS軟件得到如下結(jié)果為:空氣質(zhì)量指數(shù)AQI有2個(gè)主要的影響因素,即相對(duì)濕度和PM2.5。

本文中選取某個(gè)時(shí)辰之前的六個(gè)小時(shí)中AQI與2個(gè)影響因素的最大最小值,產(chǎn)生區(qū)間灰數(shù),求其核與灰半徑,并建立GM(1.3)模型。這次試驗(yàn)選取了2016年3月2日的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。數(shù)據(jù)來(lái)源于http:∥www.aqistudy.cn/historydata/。下面通過(guò)灰色系統(tǒng)建模軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算,設(shè)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI為X0,PM2.5為X2,相對(duì)濕度為X2.

已知原始數(shù)據(jù)為:

將前7個(gè)區(qū)間灰數(shù)序列數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù),將第8個(gè)區(qū)間灰數(shù)作為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

表1 區(qū)間灰數(shù)序列

表2 AQI、PM2.5及相對(duì)濕度的核序列

3.2.1 AQI核序列的預(yù)測(cè)

步驟1:將原始數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算,得到AQI、PM2.5及相對(duì)濕度的核序列,數(shù)據(jù)如表2。

步驟2:通過(guò)灰色系統(tǒng)理論建模軟件可以得到,參數(shù)估計(jì)值為:a=2.01,b1=2.67,b2=-0.05。由軟件可以得到,其平均相對(duì)誤差為4.55%。

步驟3:通過(guò)計(jì)算得到AQI對(duì)應(yīng)區(qū)間灰數(shù)序列的第8個(gè)區(qū)間灰數(shù)的核的預(yù)測(cè)值:

1 070.72-941=129.72，

3.2.2AQI灰半徑序列的預(yù)測(cè)

步驟1:將得到的原始數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算,得到AQI、PM2.5及相對(duì)濕度的灰半徑序列,數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 AQI、PM2.5及相對(duì)濕度的灰半徑序列

步驟2:通過(guò)灰色系統(tǒng)理論建模軟件可以得到,參數(shù)估計(jì)值為:a=2.22,b1=2.61,b2=0.13。由軟件可以得到,其平均相對(duì)誤差為5.04%。

步驟3:通過(guò)計(jì)算得到AQI對(duì)應(yīng)區(qū)間灰數(shù)序列的第8個(gè)區(qū)間灰數(shù)的灰半徑的預(yù)測(cè)值:

3.2.3 AQI對(duì)應(yīng)區(qū)間灰數(shù)上界和下界的預(yù)測(cè)

根據(jù)核與灰半徑的定義,推導(dǎo)出區(qū)間灰數(shù)序列上界和下界。已知

當(dāng)k=7時(shí),得到結(jié)果如下:

ak+1=123.99;bk+1=135.45，

即

從而可求得平均相對(duì)誤差為Δ=0.97%。

在對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI、PM2.5及相對(duì)濕度的核與灰半徑分別建立的GM(1，3)模型中,得到核與灰半徑的預(yù)測(cè)誤差分別為0.98%和4.54%,對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)上界和下界的預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差為0.97%,預(yù)測(cè)效果較好。

3.3 方法比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的模型的有效性,下面討論當(dāng)不考慮PM2.5和相對(duì)濕度的影響,直接采用移動(dòng)平均法以及文獻(xiàn)[9]中的預(yù)測(cè)方法對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進(jìn)行預(yù)測(cè)。

從而可求得平均相對(duì)誤差為Δ=2.37%。

?

從而可求得平均相對(duì)誤差為Δ=3.34%。

移動(dòng)平均法、GM(1,1)預(yù)測(cè)模型(文獻(xiàn)[9])及本文提出的GM(1,3)預(yù)測(cè)模型對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)序列第8個(gè)區(qū)間灰數(shù)的上界和下界的預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 三種預(yù)測(cè)結(jié)果的比較

通過(guò)與移動(dòng)平均法和GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較分析,可知利用本文的建模思想構(gòu)建的GM(1,3)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果較好。這說(shuō)明通過(guò)引入外部變量,將主要影響因素PM2.5和相對(duì)濕度引入空氣質(zhì)量指數(shù)AQI中,在一定程度上能更真實(shí)地反映系統(tǒng)行為變量即空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的變化趨勢(shì)。

4 結(jié)論

本文在實(shí)數(shù)序列GM(1,N)模型的基礎(chǔ)上,建立了基于區(qū)間灰數(shù)序列的GM(1,N)預(yù)測(cè)模型。分別通過(guò)對(duì)區(qū)間灰數(shù)的核與灰半徑序列建立GM(1,N)模型,進(jìn)而得到區(qū)間灰數(shù)序列的上界和下界的模擬預(yù)測(cè)值。然后利用基于區(qū)間灰數(shù)序列的GM(1,3)預(yù)測(cè)模型對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI在相對(duì)濕度和PM2.5濃度影響因素作用下進(jìn)行模擬預(yù)測(cè),其結(jié)果表明該預(yù)測(cè)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度,驗(yàn)證了文中所建模型的有效性和實(shí)用性。

[1] 鄧聚龍.灰色理論基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

[2] 劉思峰,黨耀國(guó),方志耕,等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].5版.北京:科學(xué)出版社,2010:1-20.

[3] 周慧秋.灰模型GM在東北地區(qū)糧食綜合生產(chǎn)能力預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究[J].農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì),2006,3:58-62.DOI:10.3969/j.issn.1000-6370.2006.03.011.

[4] 李惟佳,孫濤.灰色GM方法在股票預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].價(jià)值工程,2009,11:152-154.

[5] 白福臣.灰色GM模型在廣東海洋經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].技術(shù)經(jīng)濟(jì)與管理研究,2009,2:9-11.

[6] 曾波.基于核與灰度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(4):821-824.DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2011.04.22.

[7] 劉思峰,方志耕,謝乃明,等.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(2):313-316.

[8] 曾波,劉思峰,謝乃明,等.基于灰數(shù)帶及灰數(shù)層的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].控制與決策,2010,25(10):1585-1588.

[9] 劉解放,劉思峰,方志耕.基于核與灰半徑的連續(xù)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程,2013,31(2):61-64.

[10] 楊錦偉,肖新平,郭金海.正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)灰色預(yù)測(cè)模型[J].控制與決策,2015,30(9):1711-1716.DOI:10.13195/j.kzyjc.2014.0822.

[11] 曾波,孟偉.基于灰色理論的小樣本振蕩序列區(qū)間預(yù)測(cè)建模方法[J].控制與決策,2016,31(7):1311-1316.DOI:10.13195/j.kzyjc.2015.0765.

[12] 葉璟,黨耀國(guó),丁松.基于廣義“灰度不減”公理的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].控制與決策,2016,31(10):1831-1836.DOI:10.13195/j.kzyjc.2015.1288.

[13] 李曄,朱山麗,侯賢敏.基于核和精確度的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,44(6):165-169+174.DOI:10.16366/j.cnki.1000-2367.2016.06.029.

[14] 黃繼.灰色多變量GM模型及其粒子群優(yōu)化算法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2009,29(10):145-151.DOI:10.3321/j.issn:1000-6788.2009.10.018.

[15] 何喜滿,王勤,等.基于Simpson公式的GM建模的新算法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013,33(1):199-202.

[16] 彭琨琨,肖新平.廣義灰色多變量GM模型及算法研究[C]∥第19屆灰色系統(tǒng)全國(guó)會(huì)議論文集,2010:244-249.

[17] 王正新.灰色多變量GM冪模型及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2014,34(9):2357-2363.

[18] 王正新.多變量時(shí)滯GM(1,N)模型及其應(yīng)用[J].控制與決策,2015,30(12):2298-2304.DOI:10.13195/j.kzyjc.2014.1153.

GM (1, N) Prediction Model Based on Kernel and grey radius Sequence and Its Application on fog and haze

XIONG Pingpinga,b,c,d,LI Juna,ZHANG Qiana,ZHANG Xuechuna

(a.College of Mathematics and Statistics; b.Key Laboratoryof Meteorological Disaster,Ministry of Education (KLME); c.Joint International Research Laboratory of Climate and Environment Change (ILCEC); d.CollaborativeInnovation on Forecast and Evaluation of Meteorological Disaster(CIC-FEMD)Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

The existing GM(1,N) model research is about the real number sequence.The GM(1,N) model is extended to explore the modeling mechanism and modeling method in the case of interval gray number series, then the GM(1,N) model based on kernel and gray radius is proposed. The GM(1,N) prediction model is established based on the kernel sequence and the gray radius sequence of the interval gray number sequence,and simulate and predict the kernel and gray radius of the interval gray series. According to the formula of kernel and gray radius, the upper and lower bounds of interval gray numbers are deduced to realize the simulation and prediction of the interval gray number series. Finally, the GM(1,N) model proposed is applied to predict the air quality index AQI in the presence of haze. The simulation results show that the model is effective and feasible.

grey system theory;GM (1,N)prediction model;interval grey number;kernel and grey radius

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.017

2016-11-16；

2017-01-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(71503103;41505118;71373131;71301060;71271226;71171116);江蘇省高校自然科學(xué)研究面上項(xiàng)目(15KJB120008);國(guó)家社科基金(15BTJ019);中國(guó)博士后基金面上項(xiàng)目(2016M601849);中國(guó)制造業(yè)發(fā)展研究院2014年度開(kāi)放課題(SK20140090-13);南京信息工程大學(xué)2013年基金預(yù)研項(xiàng)目(2013x012);2015年度大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201510300009)

熊萍萍(1981-),女,湖北咸寧人,漢,副教授,南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)流動(dòng)站博士后，研究方向:灰色系統(tǒng)建模。E-mail:xpp8125@163.com

N945.12

A

0253-2395(2017)02-0273-08