三類p4階群的連通4度Cayley圖

孫莉敏，張聰，徐尚進(jìn)

(1.信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,信陽 464000;2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

三類p4階群的連通4度Cayley圖

孫莉敏1，張聰1，徐尚進(jìn)2

(1.信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,信陽 464000;2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

稱有限群G的Cayley圖X=Cay(G,S)是正規(guī)的,如果G的右正則表示R(G)正規(guī)于圖X=Cay(G,S)的全自同構(gòu)群。主要采用群論方法, 證明了三類冪零類為3的p4(p是奇素?cái)?shù))階群連通4度Cayley圖都是正規(guī)的。

Cayley圖; 正規(guī)Cayley圖; 正規(guī)子群

本文涉及的圖均為有限、連通、簡單、無向圖。對于圖X,用V(X),E(X) 和Aut(X)分別表示其頂點(diǎn)集,邊集和全自同構(gòu)群。稱圖X是點(diǎn)傳遞圖,如果Aut(X)作用在V(X)上是傳遞的。 與圖X的一個頂點(diǎn)u相連的頂點(diǎn)的全體稱為u的領(lǐng)域,記作N(u). |N(u)|稱為點(diǎn)u的度數(shù)。圖X的每條無向邊可產(chǎn)生一對方向相反的有向邊, 稱為X的弧,X的弧集記作Arc(X).顯然Aut(X)可誘導(dǎo)弧集Arc(X)上的置換作用。如果這個作用是傳遞的,則稱X是弧傳遞圖。

設(shè)G是一個有限群,取S?G{1},滿足S=S-1(這樣的S稱為G的Cayley子集)。則群G關(guān)于其Cayley子集S的Cayley圖X:=Cay(G,S)定義為:

塊圖的一個有效的應(yīng)用是Aut(X)非擬本原,即Aut(X)包含非傳遞且非平凡正規(guī)子群N,此時N的軌道即為非平凡塊,從而得到以所有N-軌道為頂點(diǎn)的塊圖,通常記作XN.容易證明Val(XN)≤Val(X).

對于給定的群,一個基本問題是決定它的Cayley(有向)圖的正規(guī)性。 但大多情況下是很困難的,盡管如此,在這方面還是取得了豐富成果,比如,階為不同奇素?cái)?shù)乘積群上任意度數(shù)Cayley圖是正規(guī)的(見文獻(xiàn)[1])。 方新貴等證明了絕大多數(shù)非交換單群的連通3度Cayley圖是正規(guī)的(見文獻(xiàn)[2-4])。 文[15]表明,在同構(gòu)意義下,所有A6的連通5度非弧傳遞Cayley圖中只有22個非正規(guī)。 文[16]研究了4m階擬二面體群G=〈a,b|a2m=b2=1,ab=am+1〉的4度Cayley圖的正規(guī)性,其中m=2r且r>2. 針對p-群連通4度Cayley圖的正規(guī)性:Feng和Xu(見文獻(xiàn)[5])得出,對于任一個pn(n≤p)階群G,除p=5外,G的所有連通4度Cayley圖都是正規(guī)的。在文獻(xiàn)[6-8]中證明了交換群上的大多數(shù)連通小度Cayley圖是正規(guī)的,且具有兩個冪零類的p-群上所有連通4度Cayley圖正規(guī),這里p是奇素?cái)?shù)。目前,對于p4(p是奇素?cái)?shù))階群G,當(dāng)G的冪零類(記作c(G))大于2時,其連通4度Cayley圖的正規(guī)性還沒有完全解決。

本文完整解決了三類冪零類為3的p4(p是奇素?cái)?shù))階群連通4度Cayley圖的正規(guī)性。以下給出本文所指的兩類c(G)=3且秩為2的p4階群(p是奇素?cái)?shù)):

G1(p)=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=ap, [a,c]=b, [b,c]=1〉;

G2(p)=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=aλp, [a,c]=b, [b,c]=1〉 ,

其中λ模p非剩余。

G3(3)=〈a,b,c|a9=b3=c3=1, [a,b]=1, [a,c]=b, [b,c]=a-3〉 .

本文主要采用群論方法來研究圖,凡文中未定義而引用的群與圖的概念請參考文獻(xiàn)[9]。

1 引理

第一個引理在Cayley圖的研究中是一個很明顯的結(jié)論。

引理1.1 設(shè)X=Cay(G,S)是有限群G的度數(shù)不超過4的連通Cayley圖,A1是X的全自同構(gòu)群A=Aut(X)關(guān)于G的單位元1的點(diǎn)穩(wěn)定子群,則A1的階不含大于3的素因子, 即|A1|=2i·3j.

關(guān)于“3素?cái)?shù)單群”有:

引理1.2[11]設(shè)G是階含3個素因子的有限非交換單群,則G及其階只有如下8種情況:(1)A5,階為22·3·5; (2)A5,階為23·32·5; (3)PSL(2,7),階為23·3·7; (4)PSL(2,8),階為23·32·7; (5)PSL(2,17),階為25·32·17; (6)PSL(3,3),階為24·33·13; (7)PSU(3,3),階為25·33·7;(8)PSU(4,2),階為26·34·5.

下面兩個引理對本文結(jié)論的證明是至關(guān)重要的。

引理1.3[10]設(shè)p是一個素?cái)?shù),G為一個有限p-群,X=Cay(G,S)是G的連通4度Cayley圖,A=Aut(X),N是A的一個極小正規(guī)子群。如果|G|≠5,則N是初等交換p-群。

引理1.4[10]設(shè)X=Cay(G,S)是3-群G的連通4度Cayley圖,A1是A=Aut(X)關(guān)于單位元1的點(diǎn)穩(wěn)定子群,則A1是2-群。

下面是(有向)圖X與群G的Cayley(有向)圖同構(gòu)的一個充要條件。

引理1.5[9]圖X同構(gòu)于群G的Cayley(有向)圖當(dāng)且僅當(dāng)Aut(X)包含一個同構(gòu)于G的正則子群。

由文獻(xiàn)[7]中的定理1.2和文獻(xiàn)[8]中的定理1.1, 我們有:

引理1.6 設(shè)p是一個奇素?cái)?shù),G是一個p-群且c(G)≤2,則G的連通4度Cayley圖X非正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)X?K5,G?Z5.

引理1.7[12]p3(p是奇素?cái)?shù))階非交換群上的連通4度Cayley圖是正規(guī)的。

引理1.9[9]群G的Frattini子群恰由G的所有非生成元組成。

2 主要結(jié)果

引理2.1 設(shè)p是奇素?cái)?shù),則G1(p),G2(p)和G3(3)的連通4度Cayley圖正規(guī)。

證明 設(shè)G=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=aλp, [a,c]=b, [b,c]=1〉,則

當(dāng)λ≡1(modp)時G=G1(p); 當(dāng)λ為p的二次非剩余時G=G2(p).

由群G的結(jié)構(gòu)易得G′=〈ap〉×〈b〉,CG(G′)=〈b〉×〈c〉?Zp×Zp2.

再設(shè)X=Cay(G,S)是G的連通4度Cayley圖,Op(A)是A=Aut(X)中的最大正規(guī)p-子群。

由引理1.1,A1是{2,3}-群, 當(dāng)p=3時, |A|=|A1||G|=2i3j(i,j是非負(fù)整數(shù)),A可解,Op(A)>1;當(dāng)p≠3時, |A|=|A1||G|=2i3jp4(i,j是非負(fù)整數(shù))。 由引理1.2,A不是單群, 因而, 它至少存在一個非平凡正規(guī)子群, 取A的一個極小正規(guī)子群H, 則由引理1.3,H是初等交換p-群, 因而是A的一個正規(guī)p-群,所以此時亦有Op(A)>1. 另由引理1.4, 易得, 當(dāng)p≥3時,R(G)∈Sylp(A), 則Op(A)≤R(G).所以1

往證Op(A)=R(G). 若Op(A)

(1)A中沒有p階正規(guī)子群。

否則, 取N為A的一個p階正規(guī)子群, 則N

若Val(XN)=2. 則XN是一個長為p3的圈,此時A/K≤D2p3.由引理1.4,K∩R(G)=K1N∩R(G)=N,所以R(G)/N=R(G)/R(G)∩K?R(G)K/K≤A/K≤D2p3,即R(G)/ND2p3,再由R(G)/N是p-群,可得R(G)/N循環(huán),于是R(G)′≤N,但是R(G)非交換,故只能R(G)′=N,即有|R(G)′|=p.此與|G′|=p2矛盾。

若Val(XN)=4. 此時K作用在每一個塊上正則, 也即K=N.這時顯然R(G)/N作用在V(XN)上正則,由引理1.5,XN是群R(G)/N的一個Cayley圖, 由引理1.6 以及引理1.7, 得XN正規(guī),即R(G)/N?A/N,從而R(G)?A,與Op(A)

(2)A中沒有p2階正規(guī)子群。

否則, 仍設(shè)N為A的一個p2階正規(guī)子群且XN是X關(guān)于N-軌道做成的塊圖,K為A作用在N-軌道上的核。 由引理1.8, |V(XN)|=p2. 當(dāng)然,Val(XN)=2或4.

若Val(XN)=2,則XN是一個長為p2的圈,類似(1),可得R(G)′≤N. 而|R(G)′|=p2,所以R(G)′=N.此時R(G)/R(G)′=R(G)/N是循環(huán)群,設(shè)R(G)/R(G)′=〈dR(G)′〉.但由R(G)為p-群,R(G)′≤Φ(R(G)),可得R(G)=〈d,R(G)′〉=〈d,Φ(R(G))〉.再由引理1.9,R(G)=〈d〉,此與R(G)非交換矛盾。

若Val(XN)=4, 類似(1)仍可得Op(A)=R(G), 矛盾于我們的假設(shè)。

所以假設(shè)不成立,Op(A)=R(G), 從而R(G)?A,也即X正規(guī)。

對于G=G3(3),由其結(jié)構(gòu)易知G′=〈a3〉×〈b〉,CG(G′)=〈a〉×〈b〉?Z9×Z3.以下證明同上, 可得R(G)=O3(A)?A,從而其連通4度Cayley圖正規(guī)。

定理2.2 設(shè)|G|=pk,p是奇素?cái)?shù),且|G′|=pk-2,|CG(G′)|=pk-1,但CG(G′)則G的連通4度Cayley圖X正規(guī)。

證明 顯然G′Z(G),G至少為p4階非交換p-群。 下面用歸納法證明之。 當(dāng)|G|=p4時, 由文獻(xiàn)[14],滿足條件的p4階群即本文所研究的三類群, 由引理2.1, 結(jié)論成立; 假設(shè)|G|=ps(4

假設(shè)Op(A)是A=Aut(X)中的最大正規(guī)p-群。類似引理2.1, 1

所以O(shè)p(A)=R(G),X正規(guī)。

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Three Kinds of Connected Tetravalent Cayley Graphs of Orderp4

SUN Limin1，ZHANG Cong1，XU Shangjin2

(1.School of Mathematics and Information,Xinyang University,Xinyang 464000，China;2.School of Mathematics and Information Sciences, Guangxi University,Nanning 530004,China)

The Cayley graphCay(G,S) of finite groupGis normal, if the right regular representationR(G) ofGis normal in the full automorphism group of this Cayley graph.We mainly use the group theory, and prove three kinds of connected tetravalent Cayley graphsCay(G,S) of finite p-group with orderp4andc(G)=3 are all normal.

cayley graph;normal cayley graph;normal subgroup

山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)40(2):225-228,2017JournalofShanxiUniversity(Nat.Sci.Ed.)

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.003

2016-04-26；

2016-11-01

國家自然科學(xué)基金(11361006);廣西壯族自治區(qū)自然科學(xué)基金(2013GSNSFAA019018);河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15B110008,17A110030);信陽學(xué)院院級科研項(xiàng)目(2016zd01)

孫莉敏(1982-),女,講師,碩士,E-mail:suncayley@126.com

O157

A

0253-2395(2017)02-0221-04