三階半線性中立型阻尼泛函微分方程的振動性

林文賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東潮州521041)

三階半線性中立型阻尼泛函微分方程的振動性

林文賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東潮州521041)

研究了一類具有阻尼項的三階半線性中立型泛函微分方程的振動性.通過引入?yún)?shù)函數(shù)和廣義Riccati變換,結(jié)合積分平均技巧和一些分析技巧,建立了該類方程的所有解振動或收斂于零的若干新的充分條件,推廣和改進(jìn)最近文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果.

三階中立型方程;半線性;阻尼項;振動性

近年來,泛函微分方程的振動性和漸近性研究開始受到關(guān)注,最近的成果可以參看文獻(xiàn)[1-5].本文將考慮如下的一類三階半線性中立型阻尼泛函微分方程

的振動性,其中α是兩個正奇整數(shù)之比.假設(shè)下列條件成立.(H1)r(t),q(t)∈C([t0,∞),(0,∞)),p(t),m(t)∈C([t0,∞),[0,∞)),0≤p(t)≤p＜1,且

(H2)τ(t),σ(t)∈C([t0,+∞),(0,+∞)),τ(t)≤t,σ(t)≤t,limt→∞τ(t)=limt→∞σ(t)=∞;K＞0,u/=0,g(t)∈C(R,[L,+∞)),L＞0.

引理1[6]設(shè)u(t)＞0,u′(t)＞0,u′′(t)≤0,t≥t0,則對任一λ∈(0,1),存在Tλ≥t0,使得

引理2[7]設(shè)u(t)＞0,u′(t)＞0,u′′(t)＞0,u′′′(t)≤0,t≥Tλ,則存在β∈(0,1)和Tβ≥Tλ,使得

引理3[8]設(shè)A＞0,B＞0,X≥0,

引理4設(shè)x(t)是方程(E)的最終正解,令

則y(t)只有下列兩種可能,即存在T≥t0,使得當(dāng)t≥T時,有

證明設(shè)x(t)是方程(E)的最終正解及條件(H3),則存在t1≥t0,當(dāng)t≥t1時,有x(t)＞0,x(σ(t))＞0,x(g(t))＞0.易知.y(t)＞x(t)＞0且

如果y′′(t)＜0,則存在常數(shù)M＞0,使得

在[t2,t)上對上式積分,有

上式中令t→∞,利用(H1),有y′(t)→-∞,因此,y′(t)最終為負(fù).但是,由y′(t)和y′′(t)最終為負(fù),可知y(t)最終為負(fù),此與y(t)＞0的假設(shè)矛盾,故有y′′(t)＞0.因此,y(t)只能有(A)和(B)兩種類型.引理4證畢.

引理5設(shè)x(t)是方程(E)的最終正解,且相應(yīng)的y(t)為(B)型.若

則limt→∞x(t)=limt→∞y(t)=0.

證明設(shè)x(t)是方程(E)的最終正解,且相應(yīng)的y(t)為(B)型,存在常數(shù)l≥0,使得limt→∞y(t)=l.可以斷言l=0.事實上,若l＞0,則對任意ε＞0,存在t2＞t1,使得l＜y(t)

聯(lián)合(H3)、(H4)、(4)式和方程(E),得

(5)式可寫成

注意到y(tǒng)(σ(t))＞l,t≥t3≥t2,z′(t)≥0,有

從t3到t對(7)式積分,得到

上式與(2)式矛盾.因此,l=0.又由于0＜x(t)≤y(t),于是有l(wèi)imt→∞x(t)=0.引理5證畢.

定理1設(shè)n＞1,且(2)式成立.若存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

則方程(E)的每一解x(t)振動,或者當(dāng)t→∞時x(t)→0,其中

這里的α和β由引理1和引理2定義.

證明設(shè)方程(E)存在非振動解x(t),不失一般性,設(shè)x(t)最終為正(當(dāng)x(t)最終為負(fù)時可類似證明),故存在充分大的t1≥T(T在引理1中提及),使得當(dāng)t≥t1時有x(t)＞0,x(τ(t))＞0,x(σ(t))＞0.y(t)由(2)式定義,由引理3,y(t)可能為(A)型或(B)型.

假設(shè)y(t)為(A)型,則有x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))≥y(t)-py(τ(t))≥(1-p)y(t).故由(H3),(H4)和(E),得

則由引理2和引理3得到

其中Q(t)由(9)式定義.

由引理4得

上式與條件(8)矛盾.

假設(shè)y(t)為(B)型,則由引理5有l(wèi)imt→∞x(t)=limt→∞y(t)=0.定理1證畢.

令D={(t,s)|t≥s≥t0},D0={(t,s)|t＞s≥t0}.函數(shù)H(t,s)∈C(D,R)稱為屬于?類,記作H∈?,如果

(i)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)＞0,(t,s)∈D0;

定理2設(shè)(2)式成立,且存在函數(shù)H∈?和ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

其中Q(s)由(5)式定義,則方程(E)的每一解x(t)振動,或者當(dāng)t→∞時x(t)→0.

證明如同定理1的證明,設(shè)x(t)是(E)的非振動解,不妨設(shè)x(t)＞0,x(τ(t))＞0,x(σ(t))＞0,y(t)由(2)式定義.由引理3,y(t)可能為(A)型或(B)型.

若y(t)為(A)型,定義函數(shù)W(t)如同(11)式,則W(t)＞0且(12)式成立.令

利用引理3,有

則由(15)式得

這與條件(14)矛盾.

如果y(t)為(B)型,證明與定理1的第二部分的證明一樣,故省略.定理2證畢.

注當(dāng)m(t)=0,α=1時方程(E)就是文獻(xiàn)[5]所研究的方程,因而本文的結(jié)論推廣和改進(jìn)了文[5]的相應(yīng)結(jié)果.

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(責(zé)任編輯：林磊)

Oscillation of certain third-order half linear neutral functional dif f erential equations with damping

LIN Wen-xian
(College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou Guangdong521041,China)

This paper investigates the oscillation of third-order half linear neutral functional dif f erential equations with damping.By introducing parameter function and the generalized Riccati transformation and using integral averaging technique and some necessary technique,some new sufficient conditions which ensure that any solution of such equation oscillates or converges to zero were proposed.The corresponding results in literature are extended and improved.

third-order neutral equations;half linear;damping terms;oscillation

O175.1

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.03.005

1000-5641(2017)03-0048-06

2016-09-18

廣東省高等教育教學(xué)改革項目(GDJG20142396);廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新項目(2014GXJK 125);廣東省自然科學(xué)基金(S2013010013372)

林文賢,男,教授,研究方向為泛函微分方程理論及應(yīng)用.E-mail：linwx66@163.com.