一類奇攝動雙曲型非線性積分-微分系統(tǒng)

馮依虎,莫嘉琪

(1.亳州學(xué)院電子與信息工程系，安徽亳州236800; 2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖241003)

一類奇攝動雙曲型非線性積分-微分系統(tǒng)

馮依虎1,莫嘉琪2

(1.亳州學(xué)院電子與信息工程系，安徽亳州236800; 2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖241003)

本文研究了一類兩參數(shù)雙曲型非線性積分-微分奇攝動系統(tǒng).首先利用Fredholm型積分方程,得到了系統(tǒng)的外部解;然后用多重尺度變量方法得到了系統(tǒng)的邊界層校正項,再利用伸長變量方法得到了系統(tǒng)的初始層校正項;最后由不動點理論證明了奇攝動解的合成漸近展開式的一致有效性.

積分-微分方程;奇攝動;雙曲型方程

0 引言

非線性雙曲型積分-微分系統(tǒng)在應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子力學(xué)、建筑學(xué)、物理化學(xué)等學(xué)科中有許多應(yīng)用.奇攝動理論和方法,已被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)物理、彈性力學(xué)、流體力學(xué)和生物化學(xué)等自然科學(xué)中,許多學(xué)者已經(jīng)做了研究[1-10].作者等在這方面也做了一些工作[11-17].本文是利用奇攝動理論來討論一類雙曲型積分-微分系統(tǒng)的模型.

考慮如下一類雙曲型積分-微分系統(tǒng)模型

其中ε、μ是小的正參數(shù),

x≡(x1,x2,···,xn)∈Ω,Ω是Rn中的有界區(qū)域,?Ω為Ω的C1+α類的邊界(α∈(0,1)為H¨older指數(shù)),L為一致橢圓型算子,T0為正常數(shù),T為積分算子,ψ(x)和K(x,y)＞0為連續(xù)函數(shù).

系統(tǒng)模型(1)—(4)是具有兩參數(shù)的積分-微分方程初始邊值問題.我們來研究它的奇攝動解.首先作如下假設(shè).

[H2]aij,ψ,fi,gi和hji(i=1,2,···,m,j=1,2)關(guān)于它們的變元在對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)為光滑的函數(shù),且gi(0,x)=h1i(x),x∈?Ω,i=1,2,···,m;

[H3]fi(t,x,ui,0,0)=0,fiui(t,x,ui,ε,μ)≤-c1＜0,其中c1為正常數(shù).

1 Fredholm型積分方程

模型(1)—(4)的退化系統(tǒng)為

再假設(shè)

[H4]非線性積分方程(5)有解Ui00(x),i=0,1,···,m.

構(gòu)造模型(1)—(4)的外部解U=(U1,Un,···,Un).設(shè)

將(6)式代入雙曲型積分-微分方程(1),按ε和μ的冪展開非線性擾動函數(shù)項fi,合并εrμs同次冪的系數(shù)并分別令其為零.關(guān)于ε0μ0的系數(shù)為零,就是積分方程(5).它的解為Ui00(x)(i=0,1,···,m).關(guān)于εrμs(r,s=0,1,···,r+s/=0)的系數(shù)為零,得Fredholm型積分方程

其中

由積分方程(7),可以得到解.再由(5)、(7)式得到的解Uirs(r,s=0,1,···,i=1,2,···,m)代入(6)式,便得到了模型(1)—(4)的外部解U=(U1,U2,···,Um).但它未必滿足邊界條件(2)和初始條件(3)、(4).因此我們尚需構(gòu)造邊界層校正項V=(V1,V2,···,Vm)和初始層校正項W=(W1,W2,···,Wm).

2 多重尺度變量與邊界層校正

首先在區(qū)域Ω的邊界?Ω的鄰域上建立局部坐標(biāo)系(ρ,φ)∶規(guī)定在區(qū)域Ω的邊界?Ω的鄰域內(nèi)的每一點P的坐標(biāo)ρ(≤ρ0)為點P到?Ω的距離,其中ρ0為足夠小的正常數(shù),使得在邊界?Ω上的每一點的內(nèi)法線在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0內(nèi)相互不相交.而坐標(biāo)φ=(φ1,φ2,···,φn-1)是在n-1維流形?Ω上的一個非奇坐標(biāo)系,并設(shè)點P的坐標(biāo)φ就是通過點P的內(nèi)法線和邊界?Ω的交點Q的坐標(biāo)φ.故在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0中的算子L為

在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0上引入多重尺度變量[1-2]

其中ξ(ρ,φ)為待定函數(shù),它將在下文中決定.為了方便,以下我們?nèi)砸驭褋肀硎具@時由(8)式有

其中

設(shè)雙曲型積分-微分系統(tǒng)(1)—(4)的解為u=(u1,u2,···,um),其中

將(10)式代入(1)、(2)式,得到

將(10)、(13)式代入(11)、(12)式,按ε和μ的冪展開非線性函數(shù)的項,合并εrμs的同次冪項的系數(shù),有

其中Girs為逐次已知的函數(shù),它們的結(jié)構(gòu)從略.

由積分-微分系統(tǒng)(14)—(17)式,可依次得到virs(r,s=1,2,···,i=1,2,···,m).并由假設(shè)知virs具有如下邊界層性態(tài)

為了方便,以下仍然以virs將得到的virs(i=1,2,···,m)代入(13)式,我們便得到了雙曲型積分-微分系統(tǒng)初始邊值問題(1)—(4)的邊界層校正函數(shù)V= (V1,V2,···,Vm).

3 伸長變量與初始層校正

設(shè)

和

將(18)、(19)式代入(1)、(3)、(4)式,按ε,μ展開非線性項,再由εrμs同次冪的系數(shù),得到

由此我們便能構(gòu)造兩參數(shù)非線性雙曲型積分-微分系統(tǒng)初始邊值問題(1)—(4)的解(u1,u2,···,um)有如下形式的漸近展開式

其中λ=max(εM+1μM,εMμM+1).

4 舉例

考慮如下一類波動方程積分-微分初始邊值問題

其中t,x分別為時間、空間變量,u(t,x)為波的振動位移函數(shù),ε,μ是小的正參數(shù),擾動項函數(shù)f(u,ε,μ)=(ε+μ)exp(-u),而積分算子Tu為

問題(27)—(30)是具有兩參數(shù)的波動積分-微分方程初始邊值問題.我們利用本文的方法來求得其奇攝動漸近解.

顯然,Fredholm型積分方程(32)的解為U00(t,x)=0.

再由(7)式,U01,U10分別滿足

由U00(t,x)=0和(31)式,可分別得到積分方程(33)、(34)的解為

于是波動方程積分-微分初始邊值問題(27)—(30)的外部解U的展開式為

其次,在x=0的鄰域設(shè)利用多重尺度方法,由(14)—(17)式可依次得到

于是,在x=0的鄰域的邊界層校正項的漸近表示式

同樣,在x=1的鄰域設(shè)

由此,便得到波動方程積分-微分初始邊值問題(27)—(30)在區(qū)域[0,1]的“邊界”(端點)x= 0,x=1鄰域的合成邊界層校正項V為

其中S0為x=0的鄰域,S1為x=1的鄰域.

再在t=0的鄰域設(shè)利用伸長變量變換法,由問題(21)—(23)和(24)—(26)可得

于是波動方程積分-微分初始邊值問題(27)—(30)的初始層校正項W的漸近展開式為

最后由(35)—(36)式,便得到波動方程積分-微分初始邊值問題(27)—(30)波的振動位移函數(shù)u(t,x)的形式漸近展開式

其中邊界層校正項V(σ)由(37)式表示.

5 不動點原理和解的一致有效性

現(xiàn)證明漸近式(26)為雙曲型積分-微分系統(tǒng)(1)—(4)解的一致有效的漸近展開式.

首先,設(shè)N是個線性賦范空間,B是Banach空間.設(shè)F為由N到B的非線性映射,且F[0]=0.并設(shè)F[p]可分解為F[p]=L[p]+Ψ[p],其中L為在p=0時F的線性化算子.算子L和Ψ滿足如下條件∶

(I)L-1為L的連續(xù)逆映射,且

其中l(wèi)為不依賴于q的正常數(shù).

(II)KN(r)表示球{p|p∈N,‖p‖≤r},存在正數(shù)滿足Lipschitz條件∶‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖≤m(r)‖p2-p1‖,?p1,p2∈KN(r),0≤r≤并且當(dāng)r→0時m(r)單調(diào)下降為零.現(xiàn)有如下泛函分析不動點定理.

定理1[1-2]在上述條件(I)、(II)下,設(shè)r0=sup{r|0≤r的任何f∈B,存在p∈N,使得F[p]=f,且||p||≤2l-1||f||≤r0.

現(xiàn)用上述不動點原理來估計雙曲型積分-微分系統(tǒng)(1)—(4)漸近解(26)的余項R.設(shè)

利用(38)式和性態(tài)(18)、(26)式,有

固定ε,μ,選擇線性賦范空間N為

由不動點假設(shè),成立

其中l(wèi)是不依賴于ε,μ的正數(shù),的連續(xù)逆算子.Lipschitz條件為

其中C1,C2和C為獨立于ε,μ的常數(shù),并對任意的p1,p2,在球KN(r)(‖r‖≤1)中成立.再由定理1,奇攝動非線性雙曲型積分-微分系統(tǒng)(1)—(4)的解的漸近展開式(38)的余項R滿足

于是有如下定理.

定理2在假設(shè)[H1]—[H4]下,奇攝動非線性雙曲型積分-微分系統(tǒng)(1)—(4)存在一個解上關(guān)于ε,μ成立一致有效的漸近展開式(38).

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(責(zé)任編輯：林磊)

A class of singularly perturbed hyperbolic nonlinear integral-differential system

FENG Yi-hu1,MO Jia-qi2
(1.Department of Electronics and Information Engineering,Bozhou College, Bozhou Anhui236800,China; 2.Department of Mathematics,Anhui Normal University,Wuhu Anhui241003,China)

A class of singularly perturbed system for the hyperbolic nonlinear integraldifferential system is considered.Firstly,the outer solution to system is obtained by employing the Fredholm type integral equation.Then the boundary layer corrective term is constructed using the variables of multiple scales method.And the initial layer corrective term is found via the stretched variable method.Finally,from the f i xed point theory,the uniformly valid behavior for the composed asymptotic expansion of singular perturbation solution is proved.

integral-differential equation;singular perturbation;hyperbolic type equation

O175.29

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.03.004

1000-5641(2017)03-0039-09

2016-03-17

國家自然科學(xué)基金(11202106);安徽省教育廳自然科學(xué)重點基金(KJ2015A347,KJ2017A702);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016520);亳州學(xué)院科學(xué)研究項目(BSKY201431)

馮依虎,男,碩士,副教授,研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué).E-mail：fengyihubzsz@163.com.