混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下的亞式期權(quán)定價

耿延靜,周圣武

(中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇徐州221008)

混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下的亞式期權(quán)定價

耿延靜,周圣武

(中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇徐州221008)

給出了標(biāo)的資產(chǎn)服從混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程的幾何平均亞式期權(quán)定價的解析解.運用廣義It?o引理和自融資交易策略得到混合分?jǐn)?shù)布朗運動下帶跳的幾何平均亞式期權(quán)定價的偏微分方程模型.結(jié)合邊值條件,通過求解該偏微分方程得到亞式期權(quán)定價的解析解.通過數(shù)值試驗,討論各定價參數(shù)對期權(quán)價值的影響.本文推廣了一些已有的結(jié)論,所得結(jié)果更貼近實際金融市場.

混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程;幾何平均亞式期權(quán);偏微分方程

0 引言

亞式期權(quán)是一種強(qiáng)路徑依賴型期權(quán),在期權(quán)到期日的收益依賴于在整個期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)所經(jīng)歷的價格平均值,因此亞式期權(quán)廣受歡迎.Kemna和Vorst[1]通過波動率的變化求出了幾何平均亞式期權(quán)定價的解析公式;Wong和Cheung[2]研究了隨機(jī)波動率模型下的亞式期權(quán)定價模型;Ching-Sung Chou[3]推出了跳-擴(kuò)散過程下的亞式期權(quán)定價模型.

經(jīng)典的期權(quán)定價模型都假設(shè)金融資產(chǎn)價格(如股價)服從幾何布朗運動,但大量的實證研究結(jié)果表明,金融資產(chǎn)價格并不服從幾何布朗運動,而是呈現(xiàn)出一種“尖峰厚尾”的分布,且存在自相似性和長期相關(guān)性;分?jǐn)?shù)布朗運動正好具備這些性質(zhì),能夠更好地刻畫金融資產(chǎn)價格的演化過程.但是分?jǐn)?shù)布朗運動既不是Markov過程,又不是半鞅,所以不能使用通常的It?o積分來計算,這給分?jǐn)?shù)布朗運動下的期權(quán)定價研究帶來了一定的困難.于是Cheridito[4-5]建議使用混合分?jǐn)?shù)布朗運動作為噪聲來驅(qū)動一個金融資產(chǎn)的價格,這種噪聲有著與半鞅類似的性質(zhì).Kuznetsov[6]、Z¨ahle[7]和Mishura[8]建立了混合分?jǐn)?shù)布朗運動下的Black-Scholes定價模型.王曉天[9-10]研究了分?jǐn)?shù)布朗運動下帶交易費用的Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價以及分?jǐn)?shù)布朗運動下帶交易費用的有波動率微笑的歐式期權(quán)定價問題.大部分對奇異期權(quán)的研究都假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)滿足連續(xù)擴(kuò)散過程,然而在實際金融市場中股票價格可能會出現(xiàn)“跳躍”,不少學(xué)者考慮用Poisson過程和布朗運動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程來描述股票價格變化并且給出了一些期權(quán)價格的解析解.Farshid Mehrdoust等[11]給出了算術(shù)平均亞式期權(quán)在帶跳的雙因素隨機(jī)波動率模型下的數(shù)值解;Nisha Rambeerich[12]給出了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從跳-擴(kuò)散過程的歐式期權(quán)和美式期權(quán)的數(shù)值解.近年來,不少學(xué)者在對期權(quán)進(jìn)行定價時將以上兩種情況同時考慮進(jìn)去.肖偉林[13]運用等價鞅測度方法求解出在分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下歐式貨幣期權(quán)的解析解;彭斌[14]利用分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程的It?o公式給出了幾何平均亞式期權(quán)定價公式并使用控制變量的方法對算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行蒙特卡羅模擬.豐月姣[15]和孫玉東[16]等利用分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程的It?o公式研究了帶跳的混合分?jǐn)?shù)布朗運動下的利差期權(quán)定價問題.FoadShokrollahi[17]運用保險精算法得到混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下的利差期權(quán)定價公式.

本文假定股票價格遵循混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程,利用混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程隨機(jī)分析理論,得到了混合分?jǐn)?shù)-跳擴(kuò)散環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)價格所滿足的Black-Scholes偏微分方程,并通過求解該偏微分方程,給出了幾何平均亞式期權(quán)的定價公式.

1 定價模型

考慮一個股票價格既有連續(xù)又有間斷的復(fù)雜的金融市場,對于連續(xù)部分有“尖峰厚尾”和“長期相關(guān)性”的特性,對于間斷部分在價格過程中有異常波動.假設(shè)交易不需要支付交易費用,那么價格過程可由以上兩個部分疊加組成,可寫成如下形式

其中常數(shù)μt表示股票價格的預(yù)期收益率,常數(shù)qt表示股票支付的紅利率,常數(shù)σ表示股票價格的波動率,是混合分?jǐn)?shù)布朗運動,Bt是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,是赫斯特指數(shù)H∈(0,1)的分?jǐn)?shù)布朗運動;Nt=Qt-λt是補(bǔ)償泊松過程,Qt是強(qiáng)度為λ的泊松過程,且Qt、Bt、相互獨立.

定理1(混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程公式)假設(shè)Wt=Bt+均屬于L2(P),

那么

因f(t,Wt)在t1時刻的變化量為f(t1,Wt1)-f,故

當(dāng)跳躍次數(shù)i在區(qū)間(0,t)服從泊松過程時,則有

設(shè)g(φ)∈C2(R→R),又(dQt,dQt)=λdt,對g(Qt)應(yīng)用廣義積分[14],有

又Wt=Bt++Qt-λt,則

證明設(shè)Nt在ti時刻發(fā)生第i次跳躍.由于+Qt-λt,當(dāng)i=1時,即Wt在(0,t)時刻只發(fā)生了一次跳,且跳時刻為t1,則在(0,t1)、(t1,t)內(nèi)沒有發(fā)生跳躍,那么由分?jǐn)?shù)型公式可得

定理2隨機(jī)微分方程(1)的解是

證明由定理1及定理2即可得證.

定理3假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格St滿足混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程(1),則執(zhí)行價格為K、到期日為T的幾何平均亞式看漲期權(quán)在t(0≤t≤T)時刻的價值Vc(t,Jt,St)滿足如下數(shù)學(xué)模型∶

證明因為亞式期權(quán)是路徑依賴型期權(quán),幾何平均亞式看漲期權(quán)在t時刻的價值V= Vc(t,Jt,St)不僅依賴于時間和標(biāo)的資產(chǎn)的價格還依賴于路徑Jt,資產(chǎn)價格在[0,t]上的幾何平均值,則

假設(shè)在金融市場中有一種債券和一種股票,債券和股票的價格分別滿足下列微分方程∶

由自融資交易策略,有

由定理1和定理2,有

由于期權(quán)的價值與構(gòu)造的投資組合的價值相等,故

即rtVtσ2(1+2Ht2H-1+λ).則上式變?yōu)?/p>

2 模型求解

定理4假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格St滿足混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程(1),則執(zhí)行價格為K、到期日為T的幾何平均亞式看漲期權(quán)在t(0≤t≤T)時刻的價值Vc(t,Jt,St)為

其中

2.3快速房顫患者的房顫患者和肽素與pro-BNP水平呈正相關(guān),Pearson相關(guān)系數(shù)為0.610(P=0.000)

證明由定理3知,幾何平均亞式看漲期權(quán)在t(0≤t≤T)時刻的價值Vc(t,Jt,St)滿足模型(4).令

那么模型(4)轉(zhuǎn)化為

其中α(t),β(t),γ(t)為待定函數(shù),則

代入(6)式,整理后得

結(jié)合終止條件α(T)=β(T)=γ(T)=0,解得

由熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解理論可知,(8)式的解為

故(8)式的解為

變量還原后有

推論1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格St滿足混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程(1),則執(zhí)行價格為K、到期日為T的幾何平均亞式看跌期權(quán)在t(0≤t≤T)時刻的價值Vp(t,Jt,St)為

其他符號與定理4一致.

證明由邊值條件V(T,JT,ST)=(K-JT)+,運用定理3中的方法求解方程(4)得到看跌期權(quán)的價值Vp(t,Jt,St).

3 數(shù)值實驗

根據(jù)定理4中的定價公式進(jìn)行數(shù)值實驗,討論定價公式中的各個參數(shù)對期權(quán)價值的影響.考慮一只標(biāo)的資產(chǎn)為股票的亞式期權(quán),其標(biāo)的股票價格服從混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程(1).假設(shè)股票的當(dāng)前價格S=80元、期權(quán)的敲定價K=80元、股票價格的年波動率σ=0.4、無風(fēng)險年利率r=0.05、紅利率q=0.01,即對定理給出的亞式期權(quán)在t時刻的價值,考慮當(dāng)其他參數(shù)不變時該期權(quán)的價值隨其中某一參數(shù)變化的情況.對于亞式看跌期權(quán),參數(shù)假設(shè)與看漲期權(quán)一致.在不同赫斯特指數(shù)下和標(biāo)的股票價格下的亞式看漲、看跌期權(quán)價值的關(guān)系如圖1,在不同跳躍強(qiáng)度下和標(biāo)的股票價格下的亞式看漲、看跌期權(quán)價值的關(guān)系如圖2.從圖1中可以看出赫斯特指數(shù)與亞式看漲、看跌期權(quán)的價值成反比,且對亞式期權(quán)價值的影響幅度隨著標(biāo)的資產(chǎn)的減小而減小.從圖2中可以看出跳躍強(qiáng)度與亞式看漲、看跌期權(quán)的價值成正比且跳躍強(qiáng)度對亞式看漲期權(quán)價值的影響程度比對亞式看跌期權(quán)價值的影響程度小.

圖1 對應(yīng)不同H值的亞式期權(quán)價值Fig.1 Asian option pricing corresponding to different H

在參數(shù)假設(shè)取值不變的情況下,圖3給出了到期期限和赫斯特指數(shù)同時變化時亞式看漲、看跌期權(quán)價值的走勢情況,圖4給出了到期期限和跳躍強(qiáng)度同時變化時亞式看漲、看跌期權(quán)價值的走勢情況.由圖3、圖4可知,隨著期權(quán)期限的增加,期權(quán)的價值也在不斷增加,與實際情況相符.

圖2 對應(yīng)不同λ值的亞式期權(quán)價值Fig.2 Asian option pricing corresponding to different λ

圖3 赫斯特指數(shù)、到期時間和亞式期權(quán)價值的關(guān)系Fig.3 The relation of Hurst exponent,expiry date and Asian option

圖4 跳躍強(qiáng)度、到期時間和亞式看漲期權(quán)價值的關(guān)系Fig.4 The relation of jump intensity,expiry date and Asian option

4 結(jié)論

本文假設(shè)股票價格滿足混合分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程,通過It?o引理和自融資交易策略推導(dǎo)出混合分?jǐn)?shù)布朗運動下帶跳的亞式期權(quán)的定價模型,再運用變量替換法對定價模型進(jìn)行求解,得到幾何平均亞式期權(quán)的解析解.通過數(shù)值實驗可以看出赫斯特指數(shù)與跳躍強(qiáng)度對亞式期權(quán)價值有明顯的影響.

[1]KEMNA A G Z,VORST A C F.A pricing method for options based on average asset values[J].Journal of Banking and Finance,1990,14(1):113-129.

[2]WONG H Y,CHEUNG H L.Geometric Asian options:Valuation and calibration with stochastic volatility[J]. Quantitative Finance,2004,4(3):301-314.

[3]CHOU C S,LIN H J.Asian options with jumps[J].Statistics&Probability,2006,6(14):1983-1993.

[4]CHERIDITO P.Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modelling[D].Z¨urich: Swiss Federal Institute of Technology,2001.

[5]CHERIDITO P.Arbirage in fractional Brownian motion models[J].Finance and Stochastics,2003,7(4):533-553.

[6]KUZNETSOV Y A.The absence of arbitrage in a model with fractal Brownian motion[J].Russian Mathematical Surveys,1999,54(4):847-848.

[7]Z¨AHLE M.Long range dependence,no arbitrage and the Black–Scholes formula[J].Stochastics and Dynamics, 2002,2(2):265-280.

[8]MISHURA Y S.Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes[M].Berlin:Springer, 2008.

[9]WANG X T.Scaling and long-range dependence in option pricing I:Pricing European option with transaction costs under the fractional Black–Scholes model[J].Physica A,2010,389(3):438-444.

[10]WANG X T.Scaling and long-range dependence in option pricing V:Multiscaling hedging and implied volatility smiles under the fractional Black–Scholes model with transaction costs[J].Physica A,2011,390(9):1623-1634.

[11]MEHRDOUST F,SABER N.Pricing arithmetic Asian option under a two-factor stochastic volatility model with jumps[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2015,85(18):3811-3819.

[12]RAMBEERICH N.A high order finite element scheme for pricing options under regime switching jump dif f usion processes[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2016,300(2):83-96.

[13]XIAO W L.Pricing currency options in a fractional Brownian motion with jumps[J].Economic Modelling,2010, 27(5):935-942.

[14]PENG B.Pricing Asian power options under jump-fraction process[J].Journal of Economics,Finance and Administrative Science,2012,17(33):2-9.

[15]豐月姣.帶跳混合分?jǐn)?shù)布朗運動下利差期權(quán)定價[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,30(6):922-925.

[16]孫玉東.帶跳混合分?jǐn)?shù)布朗運動下利差期權(quán)定價[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2013,32(11):1377-1385.

[17]SHOKROLLAHI F.Actuarial approach in a mixed fractional Brownian motion with jumps environment for pricing currency option[J].Advances in Dif f erence Equations,2015,257(1):1-8.

(責(zé)任編輯：林磊)

Pricing Asian option under mixed jump-fraction process

GENG Yan-jing,ZHOU Sheng-wu
(Department of Mathematics,China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu221008,China)

This paper mainly studied the geometric average Asian option pricing on the condition that the underlying asset followed mixed jump-fraction process.The general It?o’s lemma and the self-f i nancing dynamic strategy were obtained by using the partial differential equation of such option pricing in the mixed fractional environment with jump. With the combination of boundary condition,an analytic formula for the geometric average Asian option was derived by solving the partial differential equation.The numerical experiments were showed to discuss the inf l uence of different parameters on the option value.The results were the generalization of some existing results which was closer to the real f i nancial market.

mixed jump-fraction process;geometric average Asian option;partial differential equation

O211.6

：A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.03.003

1000-5641(2017)03-0029-10

2016-06-23

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(2013XK03)

耿延靜,女,碩士研究生,研究方向為金融數(shù)學(xué).E-mail：gengyanjing ah@qq.com.

周圣武,男,教授,研究方向為金融數(shù)學(xué).E-mail：zswcumt@163.com.