倪盼睿
【摘 要】文章通過討論躍遷振幅與時(shí)空線元之間的關(guān)系、表象空間中線元與能量-動量張量時(shí)間分量之間的關(guān)系,得到了路徑積分在四維時(shí)空背景下以及用無限小生成算符表述的形式、表象空間與四維時(shí)空之間的對應(yīng)關(guān)系,以及時(shí)空曲率張量如何影響表象空間里的曲率,同時(shí)揭示了彎曲時(shí)空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理。
【關(guān)鍵詞】表象空間 躍遷振幅 時(shí)空線元 路徑積分
在量子力學(xué)中,我們可以用路徑積分來計(jì)算躍遷振幅,并且此時(shí)的路徑已經(jīng)是在四維時(shí)空意義下的了。現(xiàn)在的問題是如何寫出四維時(shí)空意義下每個路徑的相因子,以及其與量子算符之間的聯(lián)系。另外,抽象量子態(tài)矢可以看作是時(shí)間參數(shù)的單參函數(shù),那么一個隨時(shí)間演化的量子事件在所有表象中對應(yīng)的保長不變量,即幾何量上的線元,是可以通過作差來計(jì)算的。
一、路徑積分在四維時(shí)空背景下以及用無限小生成算符表述的形式
(一)坐標(biāo)表象特征值微元的無限小生成算符表達(dá)
我們首先寫出無限小生成算符的表達(dá)形式:
(1.1.1)
其中I是單位矩陣,通過移項(xiàng),我們可以得到:
(1.1.2)
此時(shí)可以取左邊矩陣的對角元,即:
(1.1.3)
考慮到量子態(tài)的歸一性,最終有:
(1.1.4)
(二)路徑積分新的表述形式
經(jīng)典的路徑積分具有如下的形式:
(1.2.1)
其中的Lagrange量是一個附在運(yùn)動路徑上不隨坐標(biāo)改變的標(biāo)量,在四維時(shí)空中我們就可以找到這樣的一個量,即時(shí)空線元長度。此時(shí)式(1.2.1)改寫為:
其中J是變換矩陣?,F(xiàn)在利用式(1.1.4),有:
現(xiàn)在出現(xiàn)的問題在于,此時(shí)的路徑積分不一定是Gauss型嚴(yán)格可積的,因?yàn)槠渲械腖agrange量并不一定是的二次型,但是我們可以假設(shè)如果Lagrange量是的二次型,此時(shí)路徑積分嚴(yán)格可積。此時(shí)要求度規(guī)張量是對角化的,我們得到:
此時(shí)由于躍遷振幅的連續(xù)性條件,有:
最終我們得到躍遷振幅Gauss可積情形下的一個積分結(jié)果:
(1.2.6)
現(xiàn)在我們來討論其與變分為零的經(jīng)典路徑之間的聯(lián)系。我們在經(jīng)典路徑周圍對每個路徑的相因子做級數(shù)展開,有:
此時(shí)先討論較大的時(shí)候,此時(shí)當(dāng)趨近于零時(shí)相因子是均勻分布在上的,因此積分的結(jié)果為零;而當(dāng)與同階趨近于零時(shí):
此時(shí):
而在這里S0對應(yīng)的經(jīng)典路徑應(yīng)該滿足彎曲時(shí)空中的測地線方程。
(三)彎曲時(shí)空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理
在量子力學(xué)中我們已經(jīng)知道了如下表達(dá)式:
(1.3.1)
(1.3.2)
而由標(biāo)架表示的黎曼曲率張量也是被定義成對易子的形式,因此我們可以寫出含曲率張量的不準(zhǔn)原理。
將黎曼曲率張量用標(biāo)架表示,有:
聯(lián)立式(1.3.1),有:
(1.3.4)
比較式(1.3.2),得:
故最終我們得到的彎曲時(shí)空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理為:
(1.3.6)
二、表象空間與四維時(shí)空之間的對應(yīng)關(guān)系
在前文中我們已經(jīng)提到如何計(jì)算表象空間中一個量子事件對應(yīng)的線元,附在其上的參數(shù)不是別的,正是時(shí)間量t:
此時(shí)將能級用能量-動量張量的時(shí)間分量表示出來,而不同的能級對應(yīng)的能量-動量張量的時(shí)間分量表示不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果:
進(jìn)一步地,運(yùn)用Einstein引力場方程,我們可以很直觀地看到表象空間線元與四維時(shí)空曲率之間的對應(yīng)關(guān)系:
其中c是光速,G00是Einstein張量的分量,G是引力常量。
再者,表象空間中一個量子事件的曲率可以通過下式計(jì)算:
(2.1.4)
最終我們得到了如下等式:
上式直接給出了表象空間中一個量子事件的曲率與四維時(shí)空曲率之間的對應(yīng)關(guān)系。