二維系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)點奇點的判定

顧圓圓

【摘 要】本文首先介紹了變換和無窮遠(yuǎn)奇點的定義，然后舉例說明了二維系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點的判定過程，為我們將來研究系統(tǒng)軌線在整個平面上的分布情況打下基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】無窮遠(yuǎn)奇點；Poincare'變換；時間變換

0 引言

為了研究平面系統(tǒng)的軌線在全平面上的分布情況，除了需要了解系統(tǒng)在有限平面上的奇點的性態(tài)和極限環(huán)[1]的存在情況，還必須了解軌線向無限遠(yuǎn)延伸的趨勢，或者說軌線在無限遠(yuǎn)處的性態(tài)。正像奇點[2]在有限遠(yuǎn)性態(tài)研究中所扮演的重要角色那樣，軌線在無限遠(yuǎn)的性態(tài)也將取決于“無窮遠(yuǎn)奇點”的性態(tài)。

1 正文

在介紹無窮遠(yuǎn)奇點的定義之前，我們先來了解Poincare'變換[3]：首先在相平面π的上方作下半單位球面S，使平面切于它的南極點，在空間 內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，取球心為坐標(biāo)原點O，三坐標(biāo)軸分別記作X， Y， Z， 使Z 軸正向朝下且X， Y， Z 構(gòu)成右手系；在上述相平面π上，取切點 為平面坐標(biāo)系的原點，x 軸與y 軸分別與X軸Y軸平行同向。對相平面π上任一有限點M，連接OM 與半球面S 有且僅有一交點。因此，想要考察相平面π上軌線沿某一方向趨于無窮時的性態(tài)，只需研究球面上的點進(jìn)入赤道上所對應(yīng)的點的性態(tài)即可。包含赤道C的下半球面稱為Poincare'半球面[3]。

2 結(jié)論

對任一平面系統(tǒng)是否都存在無窮遠(yuǎn)奇點，赤道是否都是軌線，答案并不是確定的。對于此問題的分析討論，仍需進(jìn)一步的研究工作。

【參考文獻(xiàn)】

[1]許喜蘭.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)-非線性分析，北京：化學(xué)化工出版社，2003.6.

[2]張芷芬.微分方程定性理論，北京：科學(xué)出版社，1997.

[3]馬知恩，周義昌.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法，北京：科學(xué)出版社，2015.6.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]