基于虛擬相量直線的戴維南等值參數(shù)計算方法

李東東 ，楊銀臺 ，程云志 ，尹 睿 ，林順富 ，楊 帆 ，邊曉燕

（1.上海電力學(xué)院 電氣工程學(xué)院，上海 200090；2.上海高校高效電能應(yīng)用工程研究中心，上海 200090；3.美國德州電力可靠性委員會，美國 泰勒 76574）

0 引言

近年來，世界各地發(fā)生的多起電壓不穩(wěn)定事故已造成巨大的經(jīng)濟損失［1-2］，引起了人們的廣泛關(guān)注。隨著風(fēng)能、太陽能等新能源發(fā)電滲透率的不斷增加，電網(wǎng)的電壓穩(wěn)定性經(jīng)受著前所未有的考驗。為了保證電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行，必須對電網(wǎng)電壓穩(wěn)定性進行實時監(jiān)測。

由于相量量測技術(shù)的快速發(fā)展，基于相量量測和戴維南等值的電壓穩(wěn)定分析方法受到了各國學(xué)者的關(guān)注［3-5］。如何快速準(zhǔn)確地求取戴維南等值參數(shù)成為關(guān)鍵問題。20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)［6］開創(chuàng)性地提出僅利用本地測量信息來跟蹤戴維南等值參數(shù)。該方法利用2個或多個時刻的本地測量值求取系統(tǒng)戴維南等值電路參數(shù)，但在實際應(yīng)用中存在參數(shù)漂移等問題［7］。此后，各國學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷進行改進和完善［7-13］，這些方法均以采樣期間等值參數(shù)不變?yōu)榍疤?，對多個時間斷面的電氣信息進行采樣，所以本質(zhì)上都是對文獻(xiàn) ［6］中最小二乘法辨識思想的延續(xù)。文獻(xiàn)［7］作為研究參數(shù)漂移的經(jīng)典文獻(xiàn)，不僅對參數(shù)漂移進行了定義，也簡單地探索了解決參數(shù)漂移問題的方法，但是沒有達(dá)到理想的效果。此后諸多文獻(xiàn)雖然對參數(shù)漂移問題有所提及，但依然沒有提出很好的解決方法。

為了克服多時間斷面參數(shù)辨識法的缺陷，文獻(xiàn)［14-15］提出了只需系統(tǒng)當(dāng)前運行數(shù)據(jù)來求解系統(tǒng)戴維南等值參數(shù)的全微分法和時域仿真法。文獻(xiàn)［16］充分考慮了負(fù)荷之間的耦合特性，提出了多端口等值的概念。根據(jù)多端口等值電路同樣可以進行電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定分析［17］。此種多端口等值方法本質(zhì)上已脫離傳統(tǒng)戴維南等值的范疇。在多端口等值電路的基礎(chǔ)上，通過分析各個端口的相互影響，文獻(xiàn)［18-19］提出了一種耦合單端口等值電路。這種單端口等值電路雖然充分考慮了負(fù)荷之間的相互影響，但依然不能反映系統(tǒng)中負(fù)荷的動態(tài)特性。

本文提出虛擬相量直線的概念，利用直線相交原理求取等值參數(shù)，該方法從物理意義上求取并從幾何意義上直觀解釋戴維南等值參數(shù)。本文利用統(tǒng)計學(xué)中概率論知識，對各種擾動后的等值參數(shù)求取平均值，避免測量誤差及不可預(yù)計因素導(dǎo)致的影響。為了克服傳統(tǒng)方法中參數(shù)漂移的缺點，本文提出阻抗圓軌跡數(shù)據(jù)篩選方法。該方法可直接對采樣數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)篩選，從數(shù)據(jù)源上避免參數(shù)漂移問題，亦可適用于其他戴維南等值參數(shù)辨識方法中。典型3機9節(jié)點系統(tǒng)的仿真結(jié)果證明本文算法可以準(zhǔn)確跟蹤系統(tǒng)的戴維南等值參數(shù)。

1 傳統(tǒng)戴維南等值參數(shù)辨識法及缺點

戴維南定理指出，對電力系統(tǒng)進行分析時，可以把除研究負(fù)荷母線外的其余部分等效成一個等值電勢Eth和等值阻抗Zth的串聯(lián)模型。戴維南等值電路如圖1所示，圖中U、I分別為負(fù)荷母線的電壓和電流相量值。

根據(jù)電壓定律，可以得出戴維南等值電勢Eth、等值阻抗Zth和負(fù)荷母線電壓、電流的關(guān)系：

假設(shè)在t1、t22個連續(xù)采樣時刻等值參數(shù)不發(fā)生變化，把2個時刻的電壓、電流相量值代入式（1），得：

圖1 戴維南等值電路Fig.1 Thevenin equivalent circuit

因此，戴維南等值參數(shù)就可以根據(jù)式（2）求得：

從上述分析可以看出，傳統(tǒng)等值參數(shù)辨識法原理清晰易懂，計算簡單快速，而且由于采用本地測量技術(shù)，采樣數(shù)據(jù)已經(jīng)包含了系統(tǒng)的動態(tài)特性。但是使用本方法時需要給負(fù)荷側(cè)一個擾動，而且擾動不能太大，也不能太小。擾動過大，則不能滿足2個連續(xù)采樣時刻等值參數(shù)不發(fā)生變化的假設(shè)；擾動過小，則可能導(dǎo)致2個時刻的電壓、電流相量近似相等，引起參數(shù)漂移［7］。為更好地解決參數(shù)漂移問題，本文對此作了改進。

2 基于虛擬相量直線的戴維南等值參數(shù)辨識法

2.1 虛擬相量直線

對于Y=AX+B，如果相量A和B為已知常量，則一個相量X嚴(yán)格對應(yīng)于一個相量Y，這種相量與相量一一對應(yīng)的關(guān)系類似于二維xy平面坐標(biāo)系統(tǒng)中用直線表示的線性函數(shù)關(guān)系，故本文中將其稱為虛擬相量直線，如圖2（a）所示。

2.2 虛擬相量直線相交法

應(yīng)用到戴維南等值參數(shù)辨識法中，在t1、t22個連續(xù)時刻采樣，可以得到2條虛擬相量直線。

2條虛擬相量直線的交點即為電勢和阻抗值。利用N個時刻數(shù)據(jù)，即可得到N條虛擬相量直線，如圖2（b）所示。

在理想情況下，N條直線相互相交可以得到S=N（N-1）/2個交點。不同的交點產(chǎn)生不同的橫縱坐標(biāo)值，在小擾動時，橫縱坐標(biāo)變化的范圍不大，而且會以平均值為中心分布。故本文將橫縱坐標(biāo)的平均值作為等值參數(shù)。

圖2 虛擬相量直線Fig.2 Virtual line in phasor space

交點坐標(biāo)可由如下公式求得：

取所有交點坐標(biāo)平均值，作為系統(tǒng)戴維南等值參數(shù)：

同樣可以求得交點坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差：

其中，Eth為等值電勢模值；Zthm為等值阻抗模值；δE為交點橫坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；δZ為交點縱坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；D、E分別表示取標(biāo)準(zhǔn)差和期望，表示對相量取模值，下文同。

當(dāng)采樣時間太近或采樣時刻內(nèi)擾動過小時，2條虛擬相量直線會重合或平行，可能發(fā)生了參數(shù)漂移，交點的總個數(shù)S減少。此時應(yīng)對S進行修正，然后求取戴維南等值參數(shù)。

3 數(shù)據(jù)篩選

3.1 數(shù)據(jù)篩選原理

為不失一般性，令I(lǐng)=I∠0°。由圖1可得：

令 Zth=Rth+jXth、U=Ux+jUy，可得：

對式（10）兩邊取模值，再平方，得：

兩邊同時除以I2，得：

在阻抗Zth的復(fù)平面中，式（12）的軌跡是一個以（-Ux/I，-Uy/I）為圓心、Eth/I為半徑的圓。在任意 t時刻，均可在阻抗Zth復(fù)平面求得一個圓軌跡。在等值參數(shù)不發(fā)生變化的前提下，任意2個圓軌跡交點的橫縱坐標(biāo)即為等值電阻Rth和等值電抗Xth。由于等值參數(shù)的唯一性，3個或者多個圓軌跡交點應(yīng)該重合，即要求所有圓軌跡圓心在同一條直線上。

在實際系統(tǒng)中，若擾動過小，負(fù)荷母線電壓、電流值基本保持不變（即發(fā)生參數(shù)漂移），此時阻抗圓軌跡的圓心近似重合；若擾動過大，等值參數(shù)發(fā)生變化，此時阻抗圓軌跡的圓心將偏離直線。綜上所述，某個時刻采樣數(shù)據(jù)的有效性可以通過該時刻阻抗圓軌跡的圓心位置來判定，從而達(dá)到數(shù)據(jù)篩選的效果。

以某系統(tǒng)中9個不同時刻采集的數(shù)據(jù)為例，根據(jù)式（12）可在阻抗復(fù)平面上畫出9個阻抗圓軌跡。這9個阻抗圓軌跡的圓心分布圖如圖3所示。

圖3 圓心分布圖Fig.3 Distribution of circle centres

圖3中，圓心a1嚴(yán)重偏離直線，表明系統(tǒng)此時受到過大擾動，數(shù)據(jù)不宜采用；圓心a2和a3近似重合，表示這2個時刻參數(shù)基本保持不變，即出現(xiàn)參數(shù)漂移，因此這2個時刻數(shù)據(jù)只需采用其中一個。

3.2 數(shù)據(jù)篩選閾值設(shè)置

設(shè)任意 2 個圓心 ai（-Uxi/Ii，-Uyi/Ii）、aj（-Uxj/Ij，-Uyj/Ij）的距離為 Lij，由數(shù)學(xué)距離公式可知：

給定足夠小的正數(shù)δ作為閾值，如若Lij＜δ，則可認(rèn)為兩圓心近似重合，據(jù)此可剔除擾動過小時的采樣數(shù)據(jù)。

同理可提出剔除偏離直線點的閾值。對于任一圓心點 a（-Ux/I，-Uy/I），與其他不重合圓心點連線的斜率為 k1、k2、…，計算公式為：

設(shè)2個斜率差值的絕對值為ABSij：

給定一個足夠小的正數(shù)σ，若ABSij＜σ，則稱其為正常斜率差，否則稱之為反常斜率差。設(shè)圓心點a與其他不重合圓心點構(gòu)成的所有直線中，反常斜率差數(shù)量為P1，斜率差總數(shù)量為P2，則它們的比值λ為：

因為偏離圓心直線的圓心數(shù)量相對總圓心數(shù)量很少，所以由正常圓心點計算的λ很小，而由偏離圓心直線的圓心點計算的λ很大。給定一個足夠小的值β（例如β=5%）作為閾值，當(dāng)λ＞β時，表明該圓心點嚴(yán)重偏離圓心直線，對應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)應(yīng)剔除。

本算法流程圖如圖4所示，圖中Ii、Ij分別為任意2個不同時刻的電流源樣值，ε1和ε2為給定的足夠小正數(shù)。

圖4 算法流程圖Fig.4 Flowchart of algorithm

首先，采樣所研究母線的電壓、電流值，對采樣值進行初步篩選；然后利用本文所提算法進行參數(shù)的預(yù)估計算；最后，當(dāng)?shù)戎祬?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于ε1和ε2時，輸出結(jié)果。

4 算例仿真

4.1 簡單雙母線系統(tǒng)

對圖5所示的簡單雙母線系統(tǒng)進行仿真，仿真數(shù)據(jù)為：Rth=3 p.u.，Xth=4 p.u.，Eth=1∠0°p.u.，RL、XL予以±5%的隨機擾動。選取10個時刻數(shù)據(jù)，利用本文算法計算戴維南等值阻抗（標(biāo)幺值）如表1所示。表中Z1、Z2和Z3分別表示戴維南等值阻抗真實值、含篩選算法等值阻抗值和不含篩選算法等值阻抗值。

圖5 簡單雙母線系統(tǒng)Fig.5 A simple double bus power system

表1 簡單雙母線系統(tǒng)等值阻抗Table 1 Equivalent impedance of simple double bus power system

從表1可知，隨著閾值δ、σ和β的減小，阻抗Z2不斷趨于真實值，但由于現(xiàn)實條件的約束，閾值有下限。表中不含篩選算法的阻抗值出現(xiàn)嚴(yán)重偏離真實值甚至負(fù)值的情況，這是因為沒有進行數(shù)據(jù)篩選時計算出現(xiàn)0/0的情況，亦即文獻(xiàn)［7］指出的參數(shù)漂移現(xiàn)象。通過大量仿真得出，δ、σ和β分別為0.0200、0.0025和4.5%時效果最好，可作為推薦值。

同樣對上述系統(tǒng)選取100個時刻的數(shù)據(jù)，分成10組，求得各組阻抗的平均值ZAVE和出現(xiàn)頻率最高值ZFRE，阻抗分布范圍為ZRAN，篩選閾值使用推薦值。阻抗（標(biāo)幺值）分布規(guī)律如表2所示，表中ZREAL表示真實值。

表2 阻抗分布規(guī)律Table 2 Distribution rule of impedance

從表2可知，10組數(shù)據(jù)的虛擬相量直線的交點橫坐標(biāo)即阻抗的分布范圍很“窄”，且平均值與真實值十分接近，交點縱坐標(biāo)即等值電勢的分布規(guī)律和阻抗分布規(guī)律相似，故不再列出。

對圖5所示的簡單雙母線系統(tǒng)分別利用本文算法和傳統(tǒng)等值算法計算戴維南等值阻抗，并與真實值對比，結(jié)果如圖6所示，圖中等值阻抗為標(biāo)幺值。圖6中基于傳統(tǒng)等值算法的戴維南等值參數(shù)計算值在1.5 s左右出現(xiàn)劇烈波動的原因是加入了微小的內(nèi)部擾動。由圖6可知，基于虛擬相量直線法的戴維南等值參數(shù)計算值與真實值基本吻合。

挑選5個有代表性的時刻，與文獻(xiàn)［7］中所述的P-U關(guān)系檢驗解決漂移問題的等值算法進行對比。表3為戴維南等值阻抗（標(biāo)幺值），表中，t表示時間，Z1、Z4、Z5和 Z6分別表示戴維南等值阻抗真實值、本文算法阻抗計算值、傳統(tǒng)等值算法阻抗計算值和文獻(xiàn)［7］算法阻抗計算值。由表3得，本文算法結(jié)果比其他2種算法結(jié)果更逼近真實值。

圖6 簡單雙母線系統(tǒng)等值阻抗對比結(jié)果Fig.6 Comparison results of equivalent impedance of simple double bus power system

表3 簡單雙母線系統(tǒng)等值阻抗比較Table 3 Comparison of equivalent impedance of simple double bus power system

4.2 戴維南等值參數(shù)驗證方法

為驗證本文所提出算法的正確性，在電力系統(tǒng)仿真軟件DIgSILENT/PowerFactory中搭建含有風(fēng)電系統(tǒng)的3機9節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算。驗證方法為：用暫態(tài)仿真得到的任意一個時刻母線電壓、有功功率曲線與用該時刻戴維南等值參數(shù)計算得到的母線電壓、有功功率曲線進行對比［15］。其中，利用第k個時刻等值參數(shù)計算母線的電壓、有功功率公式為：

其中，Uk、Pk分別為戴維南等值參數(shù)計算的電壓、有功功率；ZL、RL分別為暫態(tài)仿真得到的負(fù)荷阻抗、電阻，ZL=U /I。

4.3 基于3機9節(jié)點系統(tǒng)的仿真驗證

圖7所示系統(tǒng)采用3機9節(jié)點系統(tǒng)，在公共接入點接入18臺并聯(lián)風(fēng)機組成的等效風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)，每臺風(fēng)機容量為5 MW，單機網(wǎng)側(cè)變流器容量為2 MW，經(jīng)電抗器接入三繞組變壓器，三繞組變壓器高、中、低電壓分別為30 kV、3.3 kV、0.69 kV。其中單臺雙饋風(fēng)機的仿真參數(shù)如表4所示，表中電阻、電抗、互感均為標(biāo)幺值。

本系統(tǒng)進行了3個算例的仿真。

a.算例A：從LoadA向Bus5看進去對系統(tǒng)進行戴維南等值。

b.算例B：從LoadB向Bus6看進去對系統(tǒng)進行戴維南等值。

圖7 3機9節(jié)點系統(tǒng)Fig.7 3-generator 9-bus system

表4 單臺雙饋風(fēng)機仿真參數(shù)Table 4 Simulative parameters of a single doubly-fed induction generator

c.算例C：從LoadC向Bus8看進去對系統(tǒng)進行戴維南等值。

在3次算例中，仿真時間為5 s，仿真時間內(nèi)分別在各自負(fù)荷處施加4%的負(fù)荷斜坡增長。取9個時刻數(shù)據(jù)的期望作為中間時刻的等值參數(shù)。采樣時間間隔為0.01 s，負(fù)荷變化時保持恒功率因數(shù)。

利用仿真數(shù)據(jù)，基于虛擬相量直線相交等值參數(shù)辨識法，得到算例A、算例B和算例C各自的等值阻抗模值和等值電勢頻率分布圖如圖8所示。從圖中可知，等值參數(shù)預(yù)估值的變化范圍是“狹窄”的，因此其標(biāo)準(zhǔn)差很小。這意味著平均值會非常接近高頻值，可把它們作為戴維南等值參數(shù)。

算例B中，選擇10個時刻計算虛擬相量直線交點的橫、縱坐標(biāo)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，各參數(shù)（標(biāo)幺值）示于表5。定義標(biāo)準(zhǔn)差與期望比值為相對標(biāo)準(zhǔn)差，其中δRE、δRZ分別表示戴維南等值電勢和等值阻抗的相對標(biāo)準(zhǔn)差的百分?jǐn)?shù)。從表5中可看出，每個時刻點的標(biāo)準(zhǔn)差和相對標(biāo)準(zhǔn)差均較小，幾乎都小于1%，說明通過取平均值得到的戴維南等值參數(shù)是可以保證精確度的。

圖8 等值參數(shù)頻率分布圖Fig.8 Frequency distribution of equivalent parameters

算例B的戴維南等值參數(shù)計算結(jié)果如圖9、圖10所示，圖中為標(biāo)幺值。由仿真結(jié)果可知，隨著LoadB處負(fù)荷的增長，系統(tǒng)戴維南等值電勢和等值阻抗均略微增大。

應(yīng)用圖9、圖10 的計算結(jié)果，利用式（17）、式（18）求得戴維南等值系統(tǒng)中每個時刻的Bus6母線電壓和LoadB有功功率。戴維南等值系統(tǒng)中Bus6母線電壓和LoadB處有功功率的計算結(jié)果如圖11、圖12所示，圖中母線電壓、有功功率為標(biāo)幺值。圖11中加入原電力系統(tǒng)中Bus6母線電壓暫態(tài)仿真結(jié)果進行對比，圖12中加入原電力系統(tǒng)中LoadB處有功功率暫態(tài)仿真結(jié)果進行對比。由仿真結(jié)果可見，基于虛擬相量直線的戴維南等值參數(shù)辨識法的計算結(jié)果與真實的戴維南等值參數(shù)基本一致。

表5 等值參數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差Table 5 Equivalent parameters and its standard deviations

圖9 戴維南等值電勢Fig.9 Thevenin equivalent potential

圖10 戴維南等值阻抗Fig.10 Thevenin equivalent impedance

圖11 Bus6母線電壓曲線Fig.11 Voltage curve of Bus6

圖12 LoadB線路有功功率曲線Fig.12 Active power curve of LoadB

5 結(jié)論

本文通過理論分析傳統(tǒng)戴維南等值參數(shù)辨識法的缺點，提出基于虛擬相量直線相交的戴維南等值參數(shù)辨識法。該方法克服了傳統(tǒng)參數(shù)辨識法中參數(shù)漂移帶來的誤差，利用本地測量相量值快速、準(zhǔn)確地跟蹤戴維南等值參數(shù)。本文采用阻抗圓軌跡數(shù)據(jù)篩選法較好地提高等值參數(shù)精確度，該篩選方法也適用于其他戴維南等值參數(shù)辨識法。本文方法可用于實際電力系統(tǒng)在線分析，具有廣闊的應(yīng)用前景。

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