基于博弈演化算法的PMU最優(yōu)配置方法

毛 義，呂飛鵬

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引言

基于GPS或北斗和離散傅里葉變換DFT（Discrete Fourier Transform）原理的同步相量測量單元PMU（Phasor Measurement Unit）在廣域測量系統(tǒng)WAMS（Wide Area Measurement System）中扮演著核心角色［1-4］。隨著對電力系統(tǒng)狀態(tài)評估和安全評估要求的不斷提高，基于數(shù)據(jù)采集與監(jiān)視控制（SCADA）系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集和處理亟待技術(shù)上的提升［5-6］。電力系統(tǒng)中所有PMU與一個GPS或北斗時鐘以微秒級誤差實現(xiàn)同步，可以直接測量節(jié)點電壓相量幅值和相角，并通過高速通信信道把數(shù)據(jù)傳輸?shù)秸{(diào)度中心［7］。國網(wǎng)公司正在加快WAMS的建設(shè)，目前500 kV及以上變電站、220 kV主要變電站、100 MW以上機(jī)組和新能源并網(wǎng)匯集站幾乎均安裝了PMU。

由于PMU的高成本，眾多學(xué)者都在尋求PMU最優(yōu)配置OPP（Optimal PMU Placement）方法。在解決OPP問題上，已有優(yōu)化算法主要包括確定性分析法［8-10］和啟發(fā)搜索法［11-13］兩大類。文獻(xiàn)［8］使用二進(jìn)制粒子群算法優(yōu)化配置PMU，將PMU數(shù)量與不可觀節(jié)點作為適應(yīng)度參數(shù)，使其滿足種群的最大適應(yīng)度。文獻(xiàn)［9-10］使用數(shù)字規(guī)劃算法建立不等式約束方程求解結(jié)果。確定性分析法通過建立不等式約束求解問題，結(jié)果單一、效率低、計算量大，不適合解決大型網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［11］提出使用遺傳算法解決OPP問題，并分析了系統(tǒng)發(fā)生故障的情況。文獻(xiàn)［12］研究了基于禁忌算法配置PMU，并考慮了最大冗余度問題。文獻(xiàn)［13］使用模擬退火混合遺傳算法解決PMU優(yōu)化配置問題。啟發(fā)搜索法使用某種規(guī)律隨機(jī)搜索最優(yōu)解，搜索方向不確定，全局最優(yōu)解難以得到保證，易早熟或收斂于局部最優(yōu)解。

博弈論作為一個先進(jìn)的優(yōu)化工具［5］，越來越受到學(xué)術(shù)界的重視。博弈論源于經(jīng)濟(jì)學(xué)，研究多個利益相關(guān)主體如何進(jìn)行優(yōu)化決策，其在軍事、社會科學(xué)、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在智能電網(wǎng)快速發(fā)展的過程中，博弈論為其優(yōu)化問題提供了新的解決途徑。本文以電力系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀和PMU配置數(shù)量最少為目標(biāo)，提出了一種基于博弈論［5］的演化優(yōu)化算法。電力系統(tǒng)一個節(jié)點可映射為經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個理性人，PMU最優(yōu)化配置問題可映射為理性人的博弈過程，最優(yōu)配置方案對應(yīng)于主體博弈的納什均衡解?；诓┺恼摰难莼惴ㄑ莼较虼_定，提高了收斂速度和全局搜索能力，對于實際大電網(wǎng)也有收斂性好的特征，而且使PMU的配置問題更加形象、直觀。與此同時，算法采用非合作博弈模式，提高了解的多樣性，為實際工程提供了更多選擇，提高了可操作性。

1 電力系統(tǒng)可觀測性

1.1 代數(shù)可觀性

實現(xiàn)電力系統(tǒng)可觀性，可以采用數(shù)值分析或網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞椒āＲ粋€節(jié)點數(shù)為N、測量向量維數(shù)為m的電力系統(tǒng)，其線性量測模型可表示為：

其中，Z為m維測量向量；H為m×（2N-1）維測量雅可比矩陣；x為2N-1維電壓狀態(tài)向量；E為m維測量噪聲向量。代數(shù)可觀性的理論基礎(chǔ)線性量測模型可以直接求解，即如果rank（H）=2N-1，即H滿秩，則可認(rèn)為系統(tǒng)是代數(shù)可觀的。

1.2 拓?fù)淇捎^性

從圖論的角度，可以將電力系統(tǒng)看成是一個由N個頂點和b條邊構(gòu)成的圖G=（V，E），V表示圖的頂點集，E表示圖的邊集合，它們分別對應(yīng)于系統(tǒng)的母線和支路集合。一個測量子圖 G′=（V′，E′），并有V′?V，E′?E。如果測量網(wǎng)絡(luò)滿足 V?V′，即子網(wǎng)絡(luò)圖G′中包含了圖G的所有頂點，則系統(tǒng)是拓?fù)淇捎^的。

2 OPP的數(shù)學(xué)模型

2.1 OPP目標(biāo)函數(shù)

如果在系統(tǒng)每個節(jié)點都安裝PMU，則無需迭代計算就可以實現(xiàn)整個系統(tǒng)完全可觀性。但由于PMU的高成本，如果在系統(tǒng)的每個節(jié)點都安裝PMU，則費(fèi)用太高且沒有必要。如何找到最優(yōu)的安裝位置和合理的安裝數(shù)量是需要解決的問題。n節(jié)點系統(tǒng)OPP問題可以由以下目標(biāo)函數(shù)給出：

其中，n為給定系統(tǒng)的節(jié)點數(shù)；wi為在節(jié)點i安裝PMU的成本，主要包括通信網(wǎng)絡(luò)、TA、TV、GPS接收器等，本文中不考慮各個節(jié)點PMU安裝成本差異，wi都假設(shè)為1；xi表示節(jié)點PMU安裝狀態(tài)，由一個二進(jìn)制數(shù)表示，如式（3）所示。

2.2 可觀測性的約束條件

電力系統(tǒng)一個節(jié)點是否可觀由以下規(guī)則來判斷。

a.一條已經(jīng)配置了PMU的母線，其電壓及連接到該母線每條支路的電流都能被測量。

b.若支路一端裝有PMU，則該支路另一端的節(jié)點電壓能被虛擬測量。

c.若已知支路兩端節(jié)點電壓，則該支路電流能被虛擬測量。

d.除一條支路外，若其余與某節(jié)點相連的所有支路的電流都已知，即支路上的電流能利用基爾霍夫電流定律（KCL）間接計算出來，則未知電流支路的電流能被虛擬測量。該規(guī)則適用于一個節(jié)點上的電流平衡關(guān)系已知的情況。

e.如果節(jié)點i為無負(fù)荷節(jié)點，且節(jié)點i的電壓相量未知，與節(jié)點i相連的所有節(jié)點的電壓相量已知，則節(jié)點i的電壓相量可通過計算得到。

根據(jù)以上配置原則，系統(tǒng)節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣如下：

系統(tǒng)可觀測性的約束方程可表示為：

其中，F(xiàn)（X）為一個矢量函數(shù)；X=［x1，x2，…，xn］T，表示各個節(jié)點PMU配置的狀態(tài)；A為系統(tǒng)節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣；I為所有元素都為1的n維列向量。

3 博弈算法

3.1 映射關(guān)系

博弈論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，主要研究多個決策主體存在利益聯(lián)系或沖突時，主體如何根據(jù)自身能力及所掌握的信息作出有利于自己或決策者群體的決策。一個博弈［5，14］的基本結(jié)構(gòu)由三元組合表示：

其中，G為參與博弈的理性人，每個參與者的純策略為有限集；S為策略空間，即純策略的n元組合；U為支付函數(shù)，即理性人的期望。

納什均衡在非合作博弈分析中有十分關(guān)鍵的作用和地位。納什在1950年的論文中證明了任何一個有限博弈至少有一個納什均衡。在博弈B=（G，S，U）中，策略組合為一個納什均衡，對于任意博弈方，存在是給定其他博弈方情況下 xi的最優(yōu)策略，即。也即存在一個策略組合，所有博弈方面臨同一情況，在其他博弈方不改變策略時，此時的策略是最優(yōu)策略。

本文通過一個映射關(guān)系將PMU的配置尋優(yōu)過程轉(zhuǎn)化為博弈主體尋找博弈均衡解的過程。每個節(jié)點xi映射為一個博弈主體，xi的策略映射為策略組合S的一個變量，目標(biāo)函數(shù) f（x）映射為博弈主體的支付函數(shù)U（S）。映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 映射關(guān)系Fig.1 Mapping relation

3.2 算法說明

在博弈論原理指導(dǎo)下，本文設(shè)計一種演化博弈算法（EGA）［15］。算法采用自下而上的設(shè)計方式，構(gòu)造擁有理性人特征的主體，通過主體的利益沖突來尋找納什均衡解［16］，算法的演化過程可建立一個馬爾科夫鏈模型，再通過擾動因子在均衡解隨機(jī)擾動后重新尋找均衡解，最終達(dá)到全局的帕累托最優(yōu)解。

本文設(shè)計的EGA用一個六元組合表示：

a.博弈結(jié)構(gòu)G。

對于每個主體 xi（i=1，2，…，n）用一個純策略表示，n個主體的純策略組合S對應(yīng)于PMU配置的一個解。

b.初始策略S0。

每個主體xi在自己的策略空間（0或1）中隨機(jī)選擇一個策略組成初始策略S0。

c.支付函數(shù)U。

在同一策略組合S下，各行為主體為非合作博弈模型，定義在同一策略下各主體具有相同的支付函數(shù)，如下式所示：

如果S為可行解，支付函數(shù)即為所求的目標(biāo)函數(shù)；如果S為不可行解時，C為給予所有主體的懲罰函數(shù)［16］。保證無論初始策略如何，在所有主體進(jìn)行了一次策略調(diào)整后，策略S一定收斂于可行解。

d.主體理性行為α。

本文假設(shè)所有主體都具有經(jīng)濟(jì)理性，即始終追求自身收益的最大化，在博弈演化過程中，主體通過自身策略（0或1）的調(diào)整來不斷增加自身收益。本文把主體順序從1到n的一次調(diào)整稱為一次迭代。如果一次迭代前后主體收益不再變化，即任一主體不能通過單獨(dú)改變自身策略來增加收益，此時就達(dá)到了一個納什均衡解。

e.均衡擾動因子β。

當(dāng)各個主體均無法選擇更優(yōu)的策略更新系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到了納什均衡，但納什均衡解不一定是帕累托最優(yōu)解［15］。為了進(jìn)一步演化，設(shè)置擾動因子對均衡策略進(jìn)行隨機(jī)擾動，使之偏離均衡解然后再進(jìn)行新一輪的博弈，不斷地重復(fù)這樣的過程以搜尋到更優(yōu)的解。對于S的每個主體xi的策略si，如果隨機(jī)數(shù) rand（0，1）小于擾動因子 β，主體 xi用相反策略代替si，否則策略保持不變。得到新的策略組合S′后，主體在新的策略組合再次進(jìn)行順序?qū)?yōu)。

f.最大博弈回合數(shù)T。

本文定義尋找到一個納什均衡解的過程為博弈的一個回合，T為預(yù)設(shè)的最大博弈回合數(shù)。

基于以上對算法的描述，得到算法的流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flowchart of algorithm

4 算例結(jié)果與比較

利用本文提出的博弈演化算法對IEEE 30、新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行仿真計算，并與深度優(yōu)化解（DFS）算法、模擬退火（SA）算法以及最小生成樹（MST）算法計算的結(jié)果進(jìn)行比較，說明博弈算法的可行性與優(yōu)點。應(yīng)用EGA對上海地區(qū)128節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行仿真計算，說明算法的實用性并給出配置原則建議。

4.1 算例1

在 IEEE30 節(jié)點系統(tǒng)中［12］，節(jié)點 6、9、22、25、27、28為無負(fù)荷節(jié)點。設(shè)置擾動因子β分別為0.1、0.5，最大博弈回合數(shù)T=1000。分別應(yīng)用DFS算法、SA算法、MST算法、EGA進(jìn)行仿真計算，得到結(jié)果如表1所示。

表1 IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 1 Simulative results of IEEE 30-bus system

本文的結(jié)果采用MATLAB程序，在CPU主頻為2.7 GHz的主機(jī)上運(yùn)行得到。在其他電腦上結(jié)果可能不同，但比例關(guān)系不變。從表1中可知，DFS算法和EGA的計算速度都很快，但DFS算法的收斂性差，配置PMU的數(shù)量是EGA的2倍，其所造成的不必要的冗余會導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)性能下降。SA算法解的收斂性與初始值有密切的關(guān)系，每搜索一步就要計及所有節(jié)點配置情況，計算量大、收斂速度慢。MST算法雖在收斂性速度和質(zhì)量上吸取了DFS、SA算法的優(yōu)點，但仍是一種隨機(jī)搜索算法，收斂速度和解的多樣性還是不及EGA。從表1也可看出，擾動因子的大小并不影響算法的收斂速度和收斂性。擾動因子大小只影響新的策略組合S′和納什均衡解的差異程度。但主體會在新的策略組合再次進(jìn)行順序?qū)?yōu)，并不影響最終的帕累托最優(yōu)解。比較而言，EGA利用了理性主體的理性行為，策略信息被所有主體共知，演化方向確定。除了計算約束條件外，最主要的操作就是比較不同策略的效用大小、收斂速度。由于非合作博弈可存在多個納什均衡解［14］，也保證了解的多樣性。

4.2 算例2

新英格蘭 39 節(jié)點測試系統(tǒng)［18］中，節(jié)點 1、2、5、6、9、10、11、14、17、19、22 為無負(fù)荷節(jié)點。算法設(shè)置擾動因子β分別為0.1、0.8，最大博弈回合數(shù)T=1000。分別應(yīng)用DFS算法、SA算法、MST算法、EGA進(jìn)行仿真計算，得到結(jié)果如表2所示。

當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜時，DFS的收斂性差的缺點將更明顯，配置的數(shù)量幾乎是最優(yōu)解的2倍。而SA算法收斂速度慢的缺點也暴露無遺，對于大系統(tǒng)并不適用。MST算法雖然在解的收斂性、收斂速度和解的多樣性上都得到一定的改善，但收斂速度和解的多樣性上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及EGA。

表2 新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 2 Simulative results of New England 39-bus system

4.3 算例3

上海地區(qū)220kV以上電網(wǎng)共128個節(jié)點，如圖3所示。其中，節(jié)點1—15、26、27為電源點，節(jié)點16—25、95為500 kV變電站，其他節(jié)點為220 kV變電站和負(fù)荷節(jié)點。應(yīng)用EGA分別在無條件（記為情況1）下進(jìn)行全網(wǎng)PMU配置，以及在已知所有電源點和500 kV變電站安裝PMU的條件（記為情況2）下，對系統(tǒng)其他節(jié)點配置PMU，算法設(shè)置擾動因子β=0.1，最大博弈回合數(shù)T=1000。結(jié)果如表3所示。

圖3 上海地區(qū)128節(jié)點系統(tǒng)Fig.3 Shanghai 128-bus system

表3 上海電網(wǎng)128節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 3 Simulative results of Shanghai 128-bus system

在實際大系統(tǒng)的仿真中，EGA的收斂速度快和解多樣性好的特點得到進(jìn)一步體現(xiàn)。而且可以看出，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)成幾何數(shù)量增加時，EGA的收斂速度并不會成幾何增加，依然在秒級范圍內(nèi)，更加說明EGA能很好地應(yīng)用于實際。在已知所有電源點和500 kV變電站安裝PMU的條件下，針對其他節(jié)點進(jìn)行配置PMU得到的方案雖然比無條件時多出2倍，但整體所需的PMU數(shù)量卻比無條件時多出一半。考察其中2種優(yōu)化配置方案如表4所示。

表4 上海128節(jié)點系統(tǒng)配置結(jié)果Table 4 PMU configuration of Shanghai 128-bus system

從表4中可知，2種情況下在500 kV樞紐變電站都配置了PMU，在情況2下多出的PMU數(shù)量主要是因為對所有電源點配置了PMU，造成了冗余。因此，考慮全網(wǎng)可觀測性和經(jīng)濟(jì)性，PMU的優(yōu)化配置應(yīng)從全網(wǎng)角度進(jìn)行整體優(yōu)化配置，PMU配置規(guī)劃應(yīng)和電網(wǎng)規(guī)劃同步進(jìn)行，并且優(yōu)先在500 kV樞紐變電站建設(shè)。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于博弈論的演化算法求解PMU最優(yōu)配置的問題，并通過實例驗證了算法的有效性。與常用的DFS、SA、MST算法的結(jié)果對比，證明本文算法克服了SA算法的收斂速度慢和DFS算法收斂性差的缺點。與MST算法相比，本文算法收斂速度更快、解多樣性更好，可為實際工程建設(shè)提供更多的可行性方案，在對實際大系統(tǒng)的仿真中，更體現(xiàn)了本文算法收斂性好與收斂速度快的優(yōu)點。本文提出了對現(xiàn)行PMU配置原則的建議。

本文以電力系統(tǒng)正常運(yùn)行的可觀測性為目標(biāo)，未考慮系統(tǒng)N-1狀態(tài)和通信信道故障時系統(tǒng)的可觀測性。在考慮PMU的成本時，也沒有考慮各個節(jié)點PMU安裝成本的差異。系統(tǒng)出現(xiàn)N-1狀態(tài)或通信信道有限的情況下考慮系統(tǒng)的可觀測性的PMU最優(yōu)化配置將是下一步的研究目標(biāo)。

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