皮亞諾公理體系下的自然數(shù)運算（二）

張新春

2.乘法

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)定義了自然數(shù)的加法，并討論了有關(guān)加法的一些性質(zhì)與定律。我們將在這一節(jié)討論自然數(shù)的乘法。當(dāng)然，首先得把乘法定義出來。我們能利用的只有自然數(shù)的加法以及相關(guān)的運算性質(zhì)與定律。

乘法也是用歸納的方法定義的。說起來也簡單，就是對任意的兩個自然數(shù)m和n，我們都要規(guī)定n×m是什么意思（這里，我們已經(jīng)在使用“×”了，即已經(jīng)用n×m表示把n乘到m上了）。也可以這么說，對于任意的自然數(shù)n，我們要規(guī)定以下這些式子的意義：

n×0、n×1、n×2、n×3、n×4、n×5、n×6、…

因為自然數(shù)的個數(shù)是無限的，要逐個規(guī)定以上無窮多個式子的意義，我們只能利用數(shù)學(xué)歸納法?；舅悸肥牵戎苯右?guī)定上述第一個式子的意義，然后借助前一個式子的意義規(guī)定后一個式子的意義。如此下去，每一個式子的意義都規(guī)定出來了。下面，我們把上述分析寫得稍稍嚴(yán)格一點。

定義1（自然數(shù)乘法）：設(shè)n是任意的自然數(shù)，我們規(guī)定n×0=0。設(shè)已經(jīng)定義好了n×m，我們定義n×（m+）=n×m+n。

當(dāng)然，也可以說，所謂定義乘法，即是對任意的自然數(shù)m，規(guī)定以下這些式子的意義：

0×m、1×m、2×m、3×m、4×m、5×m、6×m、…

這里使用歸納法，我們也可以這樣定義乘法：

定義2（自然數(shù)乘法）：設(shè)m是任意的自然數(shù)，規(guī)定0×m=0。設(shè)已經(jīng)定義好了n×m，我們定義（n+）×m=m+（n×m）。

根據(jù)這個定義：

0×m=0，

1×m=m+（0×m）=m，

2×m=m+（1×m）=m+m，

3×m=m+（2×m）=m+m+m，

……

就像加法是重復(fù)的“后繼”一樣，乘法是重復(fù)的加法。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在引入乘法的意義時，并沒有區(qū)分這兩個算式的意義，是為了降低教學(xué)難度，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

以下是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中引入乘法的部分：

其他小學(xué)數(shù)學(xué)教材采用的方法大體類似。這里采用的是模糊的處理辦法：4個2相加，可以寫成4×2或2×4，那么2個4相加，就可以寫成2×4或4×2。也就是說，4×2可以表示2個4相加或4個2相加，2×4也可以表示2個4相加或4個2相加。于是4×2與2×4的意義就完全一樣。我們把小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于乘法的定義一般化：n×m和m×n都可以表示n個m相加或m個n相加，從而意義一樣。若作嚴(yán)格的分析，這樣的規(guī)定有兩個問題：首先，把n×m定義為n個m相加或m個n相加，首先就要解決n個m相加或m個n相加的和是否相等的問題。當(dāng)然，這個問題由加法的性質(zhì)得到保證。但即使是這樣，也還是有第二個問題，即不符合數(shù)學(xué)定義的簡潔性要求。同時，若引進(jìn)乘法的意義時，規(guī)定n×m和m×n的意義是相同的，以后又讓學(xué)生探究乘法是否具有交換律，即探究n×m的結(jié)果是否和m×n的結(jié)果相同。這在邏輯上是很荒唐的：意義都完全一樣了，結(jié)果能不相同嗎？

我們認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的負(fù)擔(dān)并不在于是把2×4的意義規(guī)定為4個2相加還是規(guī)定為4個2相加或2個4相加，而在于當(dāng)乘法的意義和基本性質(zhì)、運算定律都明確之后，在解決某一個具體問題時，我們還機械地要求學(xué)生列式只能寫成m×n而不能寫成n×m。因此，除了把乘法的意義作一個模糊處理外，我們還可以有另外一種處理辦法：首先明確規(guī)定乘法的意義（即規(guī)定m×n的唯一意義），到以后明確乘法的交換律后，再約定在解決具體問題時不再對兩個因數(shù)的順序作明確要求。

另外，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中把乘法規(guī)定為幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，這里需要補充兩個定義，一是關(guān)于1的，a伊1的意義是不能用加法說明的，即不能說a伊1是“1個a相加”，于是，原來的大綱版教材中補充規(guī)定a伊1=a；二是補充規(guī)定a伊0=0。數(shù)學(xué)中經(jīng)常有這類規(guī)定，需要強調(diào)的是，這類規(guī)定看似隨意，其實是有其合理性的。比如，要保證乘法運算定律普遍正確，就必須規(guī)定a伊1=a，a伊0=0。以a伊0為例，由乘法分配律，a伊0+a伊0=a伊（0+0）=a伊0，于是a伊0=0。這就說明，如果不規(guī)定a伊0=0，則乘法分配律就不能得到滿足。

以下討論乘法的運算定律。與證明加法交換律與結(jié)合律的方法完全類似，我們可以證明：

由于乘法滿足交換律，我們只需證明上述等式中的一個即可。我們證明后一個，方法仍然是數(shù)學(xué)歸納法：固定a和b，對c用歸納法。

當(dāng)c=0時，a伊（b+0）=a伊b，a伊b+a伊0=a伊b，于是a伊（b+0）=a伊b+a伊0，即c=0時，乘法分配律成立。

假設(shè)a伊（b+c）=a伊b+a伊c，我們來證明a伊（b+ c+）=a伊b+a伊c+。

根據(jù)加法的定義與加法的交換律，b+c+=（c+）+ b=（c+b）+=（b+c）+，于是a伊（b+c+）=a伊（b+c）+，根據(jù)乘法的定義，a伊（b+c）+=a伊（b+c）+a=a伊b+a伊c+ a=a伊b+a伊c+，這樣就完成了歸納。