數(shù)學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會思維（中）

鄭毓信

三、努力養(yǎng)成學(xué)生長時(shí)間思考的習(xí)慣與能力

這是諸多數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)共識，即認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要功能之一是有益于人們學(xué)會長時(shí)間的思考。但是，我們在現(xiàn)實(shí)中過分突出了學(xué)生即興思維能力的培養(yǎng)，以致完全忽視了對思考的習(xí)慣與能力的培養(yǎng)。

由以下論述我們可更好地理解切實(shí)糾正后一傾向的重要性。

日本著名數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎獲得者廣中平佑曾明確指出：“思考問題的態(tài)度有兩種：從專業(yè)角度看，一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即時(shí)思考型，一種是較長時(shí)間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。但是，現(xiàn)在的……教育環(huán)境不是一個(gè)充分培養(yǎng)長期思考型的環(huán)境?！瓫]有進(jìn)行長期思考性訓(xùn)練的人，是不會深刻思考問題的?！瓱o論怎樣訓(xùn)練即時(shí)性思考，也不會掌握前面談過的智慧深度?！保ㄒ詮V中平佑，《創(chuàng)造之門》，中國華僑出版社，1991）

“臺灣學(xué)生在歷年國際評比中的數(shù)學(xué)表現(xiàn)、成就表現(xiàn)始終名列前茅，然而……學(xué)生對于數(shù)學(xué)的功用、喜愛和自信心的表現(xiàn)卻始終是倒數(shù)前幾名……呈現(xiàn)出‘高成就、低信心的特征……猜測造成此現(xiàn)象的主要原因來自于考試制度下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特性，學(xué)生為獲取較高分?jǐn)?shù)，必須使用適當(dāng)?shù)难菟惴焖偾蟮么鸢浮瓕W(xué)生少有時(shí)間與機(jī)會發(fā)展自己的思想，學(xué)習(xí)多為被動、背誦及反復(fù)練習(xí)的方式?！盵8]

在此還可特別提及2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主康納曼的名著：《快思慢想（Thinking，F(xiàn)ast and Slow）》（Penguin Books，2011）。這一著作主要集中于日常思維的研究，以下就是作者的主要結(jié)論：這是日常思維的主要特點(diǎn)，即快思占據(jù)了主導(dǎo)地位。但是，盡管后者對于人類的生活與工作都有十分重要的作用，但常常會導(dǎo)致各種系統(tǒng)性的錯誤，并因此造成一定的消極后果。

綜上可見，這就是數(shù)學(xué)教育所應(yīng)發(fā)揮的一個(gè)重要作用，即幫助學(xué)生學(xué)會長時(shí)間的思考，從而切實(shí)減少快思（日常思維）可能出現(xiàn)的弊病。

那么，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生很好地學(xué)會長時(shí)間的思考呢？就當(dāng)前而言，以下一些環(huán)節(jié)可被看成具有特別的重要性，即我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)很好地處理快與慢、多與少、熱鬧與安靜以及學(xué)生的獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系。

例如，盡管以下的論述來自語文教師，但顯然也適用于數(shù)學(xué)教學(xué)。

“如果一節(jié)課的內(nèi)容太多，承載的任務(wù)太重，學(xué)生上課時(shí)很忙碌，思考力就很難得到提升，學(xué)習(xí)力會越來越弱。若課堂只聚焦幾個(gè)核心問題，讓學(xué)生深入思考，看上去學(xué)得少、學(xué)得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，且會越來越強(qiáng)。”（林鶯）

“傳統(tǒng)教學(xué)強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性與主動性，課堂往往呈現(xiàn)出熱鬧的氛圍……而我們……倡導(dǎo)安靜，是否會因靜而冷，冷卻了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，影響學(xué)生的注意力甚至學(xué)習(xí)成效呢？對此，我們在反思中從心理學(xué)角度幫助教師消解困惑，認(rèn)識到人的思維專注進(jìn)入心無旁騖的境界，便走向了潛心靜思，而安靜的氛圍就會保證這種靜思不受干擾?！保州罚?/p>

進(jìn)而，我們顯然也可從同一角度思考數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何處理學(xué)生獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系。這也就如著名數(shù)學(xué)家陳省身先生所指出的：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數(shù)學(xué)問題需要很長時(shí)間。我不知道中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂是否能夠提供很多的思考時(shí)間?！?/p>

綜上可見，我們就應(yīng)明確倡導(dǎo)“認(rèn)真地想，靜靜地聽，輕輕地說”這樣一種學(xué)風(fēng)，努力營造安靜的課堂、思維的課堂、開放的課堂。

顯然，上面的論述也可被看成從又一角度更為清楚地表明了教師引導(dǎo)作用的重要性。就目前的論題而言，我們可做出如下的概括：教師在教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生的獨(dú)立思考提供足夠的時(shí)間與空間。

以下再提供這方面的一個(gè)實(shí)例。

例3圖形的放大與縮小的教學(xué)。

這是蘇教版教材六年級下冊的一個(gè)內(nèi)容。以下是教材中對這一題材的處理方式（見圖3）。

也正因?yàn)榇?，在現(xiàn)實(shí)中，我們經(jīng)常會看到這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，即圍繞上述問題放手讓學(xué)生進(jìn)行探究：“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”在筆者聆聽的一堂展示課中，任課教師對此做了這樣的概括：“讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)圖形放大和縮小的本質(zhì)與規(guī)律?！?/p>

但是，這又是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)?？梢钥吹降囊粋€(gè)現(xiàn)象，即學(xué)生在課堂上似乎只是忙于度量和計(jì)算，卻看不到積極的思維活動！

從而，我們也就應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地思考究竟是什么導(dǎo)致了上述現(xiàn)象的產(chǎn)生。

事實(shí)上，在筆者看來，這正是這方面最為重要的一個(gè)問題，即就上述內(nèi)容的教學(xué)而言，我們?yōu)槭裁匆怀觥胺糯笄昂螅掌拈L有什么關(guān)系，寬呢？”這樣一個(gè)問題？或者說，這一問題究竟是從哪里來的？

具體地說，我們在此首先應(yīng)肯定這樣一個(gè)事實(shí)：放大與縮小并非專門的數(shù)學(xué)概念，而是在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)榇耍@就容易在學(xué)生頭腦中造成一定的混亂，但這也為教學(xué)中很好地滲透數(shù)學(xué)化的思想提供了良好的契機(jī)。

以下就是一些具體的教學(xué)建議。

第一，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)清楚地指明日常視角與數(shù)學(xué)視角的聯(lián)系與區(qū)別。

具體地說，在日常生活中，所謂放大或縮小，主要是指圖形大小的變化，人們在此關(guān)注的主要是各種現(xiàn)實(shí)的需要，包括美學(xué)的思考，等等。

與此相對照，數(shù)學(xué)中所說的放大或縮小，則是指這樣一種變化：盡管圖形的大小有所變化，但其形狀始終保持不變。也正因?yàn)榇?，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)可被看成清楚地表明了數(shù)學(xué)概念的這樣兩個(gè)特征：一是源于現(xiàn)實(shí)，高于現(xiàn)實(shí)。這也就是指，數(shù)學(xué)概念的形成意味著由特殊上升到了一般，從而也就具有更大的普遍性。二是相對于現(xiàn)實(shí)原型而言，數(shù)學(xué)概念的生成是一個(gè)重新建構(gòu)的過程，也是一個(gè)重新定義的過程。

第二，上述課例從一開始就對學(xué)生的探究做出了明確規(guī)定，即要求他們圍繞“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”進(jìn)行研究。因此，盡管從形式上看，學(xué)生似乎處于十分主動的地位，但所說的探究事實(shí)上是一種假探究。因?yàn)?，盡管學(xué)生一直忙于度量與計(jì)算，但看不到積極的思維活動！

與此相對照，教師應(yīng)當(dāng)注重自身指導(dǎo)性工作的啟發(fā)性，即在做出引導(dǎo)的同時(shí)為學(xué)生的主動探究留下充分的空間。例如，從后一角度分析，筆者以為，與上述的問題相比，以下的問題引領(lǐng)更為恰當(dāng)：（1）我們?nèi)绾尉唧w地判斷兩個(gè)圖形的形狀是否一致？或者說，什么可以被看成決定圖形相似的主要因素？（2）就圖形的放大或縮小而言，有哪些成分發(fā)生了變化？又有哪些成分始終保持不變？從更為一般的角度分析，后者直接關(guān)系到了這樣一個(gè)問題，即我們應(yīng)當(dāng)圍繞哪些因素從事平面圖形的研究？或者說，什么可以被看成平面圖形的主要成分？

第三，作為必要的拓展，我們在課堂上或許還可提出這樣一個(gè)問題：就圖形的放大與縮小的實(shí)際應(yīng)用而言，什么是最重要的因素？數(shù)學(xué)中又是如何對此進(jìn)行表征或刻畫的？

不難想到，上述問題涉及比的概念。特別是，相對于放大與縮小等日常語言而言，后者不僅具有更大的精確性，也清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的這樣一個(gè)特征：這是一種定量的研究。

最后，筆者以為，我們或許也可從同一角度更好地理解先學(xué)后教、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)方法或教學(xué)模式的意義：相關(guān)的要求，如學(xué)習(xí)單與微視頻的制作等，顯然要求教師在少而精這一方面做出切實(shí)的努力，不同的教學(xué)模式也為學(xué)生的獨(dú)立思考提供了更大的空間和更多的時(shí)間，包括更加安靜的學(xué)習(xí)環(huán)境。

四、幫助學(xué)生學(xué)會反思

首先應(yīng)當(dāng)指出，對于這里所說的反思，我們既不應(yīng)簡單地理解成一般修養(yǎng)意義上的自我反省，如“吾日三省吾身”等，也不應(yīng)唯一地理解成嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)抽象，即皮亞杰所謂的自反抽象。當(dāng)然，它們之間也有一定的交叉，但這又是這里所說的反思最為基本的一個(gè)含義，即我們?nèi)绾瓮ㄟ^進(jìn)一步的思考發(fā)展已有的認(rèn)識，特別是，能夠想得更清晰、更深入、更全面、更合理（也正因?yàn)榇耍@就不局限于單純的自我糾錯的范圍）。另外，與主要由于外部的促進(jìn)或壓力而進(jìn)行的思考相比，這里所說的反思更加強(qiáng)調(diào)主體的自我意識（從而，這顯然也就不應(yīng)被歸結(jié)為所謂的無痕教育），并能真正成為主體的自覺行為———也正因?yàn)榇?，從時(shí)間的角度看，這并非僅僅是指事后反省，而是應(yīng)當(dāng)成為主體思維活動十分重要的一個(gè)組成部分或基本特性。

當(dāng)然，強(qiáng)調(diào)主體的自我意識與自覺性又不應(yīng)被理解成是一種純粹的先天能力，或是封閉式自我修養(yǎng)的結(jié)果。恰恰相反，后天的學(xué)習(xí)，特別是教師的恰當(dāng)指導(dǎo)在這方面具有十分重要的作用。當(dāng)然，后者在很大程度上取決于教師本身對此是否具有足夠的認(rèn)識，并能在教學(xué)中采取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅc措施很好地加以落實(shí)。

以下就是這方面的一個(gè)具體經(jīng)驗(yàn)。

例4主體性反思：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值追求。（翟長麗，《教育視野》，2015年第12期）

這是作者在這方面的基本認(rèn)識：“當(dāng)前，在課改理念的影響下，數(shù)學(xué)課堂發(fā)生了很大的變化。數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)習(xí)形式越來越多樣化，自主探索、合作交流、實(shí)踐操作等學(xué)習(xí)方式逐漸成為數(shù)學(xué)課堂的主流?？墒?，這些看似豐富的外在形式所生成的學(xué)習(xí)成果是否與學(xué)生主體的內(nèi)在反思、情感體驗(yàn)相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的意義建構(gòu)呢？我們看到在很多形式化的教學(xué)背后，主體性反思是非常缺失的：學(xué)生不善于尋找自己的認(rèn)知錯誤，不善于或不愿意檢驗(yàn)自己的思維過程，不善于反思自己的學(xué)習(xí)策略和情感體驗(yàn)，自主建構(gòu)成了教師牽制下的被動參與?！闭?yàn)榇?，“我們必須把學(xué)會反思納入到學(xué)會學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)性范疇，讓學(xué)會反思成為新時(shí)期學(xué)會學(xué)習(xí)的新視點(diǎn)，成為理想課堂的新追求”。

以下就是這方面的一些具體建議。

第一，創(chuàng)設(shè)反思性問題情境，培養(yǎng)反思意識。

首先，教師要創(chuàng)設(shè)和諧、民主、寬松的環(huán)境氛圍，幫助學(xué)生看到學(xué)習(xí)中的問題，使反思性學(xué)習(xí)活動得以和諧開展。其次，教師可以從學(xué)生的實(shí)際和認(rèn)知水平出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)反思性問題情境，引發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程中的基礎(chǔ)知識、學(xué)習(xí)方法、解題策略、情感體驗(yàn)等做自覺的回顧反思，使不同個(gè)體在思維碰撞中將思維推向深刻，也讓學(xué)生體驗(yàn)到適時(shí)的反思是深化思維的催化劑。

第二，追溯學(xué)習(xí)過程，提高反思能力。

當(dāng)某個(gè)新知教學(xué)告一段落，或探究活動已經(jīng)完畢，或全課教學(xué)即將結(jié)束，此時(shí)更需靜靜回望反思，追溯探究過程，梳理新的信息，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這里的反思學(xué)習(xí)，可以是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的鏈接、串聯(lián)，也可以是對學(xué)習(xí)方式的評估、分析，還可以是對解題策略的總結(jié)、回顧。這種指引回望式的反思學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生的思維由表層走向深刻，邁向成熟。那么，課堂教學(xué)中的哪些環(huán)節(jié)可以進(jìn)行反思呢？

一是課始反思，鏈接經(jīng)驗(yàn)。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平、生活經(jīng)驗(yàn)及教學(xué)實(shí)際內(nèi)容，教師要引領(lǐng)學(xué)生主動尋求新舊知識的鏈接點(diǎn)，喚起學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，找到學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)……可以從這樣幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生反思：這節(jié)課與學(xué)過的哪些知識和方法有關(guān)，這些方法和知識對研究這節(jié)課有何幫助，等等。

二是過程反思，深化思維。

針對不同的數(shù)學(xué)活動，適時(shí)適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比反思、聯(lián)想反思、因果反思、逆向反思等反思性學(xué)習(xí)，不僅可以優(yōu)化算法，還能有效地促進(jìn)學(xué)生反思能力的提高。

三是課尾反思，省思得失。

課尾進(jìn)行的反思總結(jié)，能對一堂課起到畫龍點(diǎn)睛的作用。用短短的幾分鐘，引領(lǐng)學(xué)生對所學(xué)的知識及運(yùn)用的思想方法作一次梳理和反思，不僅可以鞏固新知，而且有助于提升數(shù)學(xué)思想和解題策略，促進(jìn)情感的積極發(fā)展。

第三，探尋出錯根源，提升思維品質(zhì)。

我們在批改作業(yè)和試卷時(shí)，對學(xué)生出現(xiàn)的一些錯誤，常常費(fèi)盡心機(jī)去揣摩學(xué)生產(chǎn)生錯誤的根源，絞盡腦汁思量如何改進(jìn)自己的教學(xué)方法，結(jié)果收效甚微。后來，我嘗試著讓學(xué)生對作業(yè)和考試中的錯誤進(jìn)行反思，探尋出錯根源，并對癥下藥，收到了事半功倍的效果。

最后，相關(guān)教師對這方面工作的重要性做了如下總結(jié)：“數(shù)學(xué)知識不易終身銘記，但數(shù)學(xué)精神會激勵終生；解題技能很難終身掌握，但反思的方法會受用終身?！贾畡t活，思活則深，思深則透，思透則明，思明則新，思新則進(jìn)?！庇?，“反思應(yīng)當(dāng)是一項(xiàng)持之以恒、日積月累的系統(tǒng)工程，需要教師遵循循序漸進(jìn)的原則和一以貫之的耐心扎實(shí)踐行，最終讓學(xué)生進(jìn)入學(xué)會學(xué)習(xí)的至高境界”。

當(dāng)然，除了對課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行分析，我們還應(yīng)采取更為廣泛的視角。例如，就如何幫助學(xué)生想得更清晰、更深入、更全面、更合理而言，以下就是兩個(gè)特別重要的方面。

第一，清楚的表述，有效的互動。

容易想到，為了清楚地說出自己的想法，主體就必然要對自己頭腦中的已有想法作出梳理與檢查。我們顯然也只有更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，才能對其他人所表達(dá)的意見做出適當(dāng)?shù)脑u論，乃至實(shí)質(zhì)性的補(bǔ)充或改進(jìn)。

從上述角度我們也可更好地理解以下做法的適當(dāng)性。

例5關(guān)于知識表述與交流的要求。（課改改到深處是“細(xì)節(jié)”，《人民教育》，2012年9期）

文中明確指出：“數(shù)學(xué)知識表述是個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，決定了課堂交流的深度?！币舱?yàn)榇?，他們對學(xué)生的課前預(yù)習(xí)提出了如下要求：“假設(shè)每一個(gè)知識都讓你自己去講演，你會怎么講？”

以下則是他們關(guān)于交流、傾聽與互動的具體要求：“如果能讓全班同學(xué)在最短時(shí)間內(nèi)理解自己的想法，那么他就是最棒的。如果能夠給他人提出補(bǔ)充，提出一針見血的思路，也是成功的?！?/p>

當(dāng)然，對于不同學(xué)段的學(xué)生而言，我們又應(yīng)提出不同的要求或重點(diǎn)。這也正是以下論述所給予我們的主要啟示：

“不同學(xué)段的小學(xué)生應(yīng)有不同的重點(diǎn)：低年級的認(rèn)知活動以啟動兒童的認(rèn)知機(jī)制為主，鼓勵兒童發(fā)表自己的想法，并傾聽別人的意見而與同伴互動學(xué)習(xí)；中年級的教學(xué)活動以發(fā)展數(shù)學(xué)課堂中的社會性互動為主，使兒童能以澄清的方式對做法是否合理等進(jìn)行討論和辯證；高年級的教學(xué)活動則進(jìn)一步要求學(xué)生在解題活動中提升效率，進(jìn)行比較科學(xué)的解題思考，讓學(xué)生回歸文化傳承的解題方式，以及熟悉一些技巧和知識，后者也應(yīng)成為討論的重點(diǎn)。”（黃敏晃）

第二，很好地把握深度與廣度的辯證關(guān)系。

具體地說，只有采取較為廣闊的視角，我們才能使自己的認(rèn)識更為深入；反之，也只有從更為深入的角度進(jìn)行分析思考，我們才能發(fā)現(xiàn)事物與現(xiàn)象之間的聯(lián)系，包括它們的共同本質(zhì)。

就當(dāng)前而言，我們應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：應(yīng)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去指導(dǎo)教學(xué)，即著力于揭示不同知識內(nèi)容之間的聯(lián)系，可使認(rèn)識進(jìn)一步深入。

以下就是這方面的兩個(gè)實(shí)例。

例6小數(shù)的意義教學(xué)。

從聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，小數(shù)的教學(xué)顯然應(yīng)特別重視這樣一點(diǎn)，即我們應(yīng)當(dāng)將小數(shù)的認(rèn)識與自然數(shù)的認(rèn)識聯(lián)系起來：如果說自然數(shù)的認(rèn)識主要涉及各個(gè)更大的計(jì)數(shù)單位（十、百、千等）的引入，那么，小數(shù)的認(rèn)識則體現(xiàn)了相反方向上的發(fā)展，即引入了若干更小的計(jì)數(shù)單位（0.1、0.01、0.001等）。

進(jìn)而，就相關(guān)的認(rèn)識活動而言，這又可以被看成它們的共同關(guān)鍵，即我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由單一性概念結(jié)構(gòu)向多單位概念結(jié)構(gòu)的必要過渡。特別是，能清楚地建立起這樣三個(gè)認(rèn)識：（1）只有同一數(shù)位上的數(shù)才能直接進(jìn)行加減；（2）同一數(shù)位上的數(shù)的加減與個(gè)位上數(shù)的加減完全相同；（3）進(jìn)位與退位的概念。（更為一般地說，就是位值制的概念）（詳可見另著《國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，人民教育出版社，2004，第10.1節(jié)）

例7分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識教學(xué)。

就分?jǐn)?shù)與倍數(shù)這兩個(gè)概念之間的聯(lián)系而言，我們應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一個(gè)認(rèn)識：除了單位1以外，我們也可用其他的數(shù)作為比較的基本單位。更為具體地說，就倍數(shù)而言，這顯然就是指將兩個(gè)數(shù)之中的較小的數(shù)看作新的計(jì)量單位。與此不同，分?jǐn)?shù)的引入則代表了相反方向上的運(yùn)作，即將較大的數(shù)看成了新的計(jì)量單位。

進(jìn)而，我們顯然也可從上述角度理解教材中的這樣一個(gè)論述：“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體等都可以看作一個(gè)整體。把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示。”這也就是指，上述的認(rèn)識直接關(guān)系到關(guān)于分?jǐn)?shù)意義的這樣一種解釋：整體與部分之間的關(guān)系。

當(dāng)然，與唯一強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)意義的上述理解相比，這又可被看成分?jǐn)?shù)教學(xué)的真正難點(diǎn)：由于分?jǐn)?shù)具有多種不同的意義，因此，作為分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，我們既應(yīng)幫助學(xué)生很好地掌握部分與整體之間的關(guān)系這樣一種具體的解釋，也應(yīng)幫助他們清楚地認(rèn)識到這樣一點(diǎn)：我們在此事實(shí)上是在自然數(shù)以外引進(jìn)了一種新的數(shù)，從而也就從又一角度體現(xiàn)了數(shù)的不斷擴(kuò)展這一重要的數(shù)學(xué)思想。

容易想到，上述實(shí)例也可被看成對教師本身的專業(yè)水準(zhǔn)提出了更高的要求。更為一般地說，這也就是指，如果教師本身不具有積極思考的習(xí)慣與能力，學(xué)生就不可能在這方面取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步；又，“教學(xué)就是要啟動學(xué)生主動思考，……教師自身也必須‘主動思考”[8]。

最后，依據(jù)上述分析，相信讀者可以很好地理解這樣一個(gè)論述：“真正的數(shù)學(xué)頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也是學(xué)校應(yīng)當(dāng)教給學(xué)生的東西。”[9]

（待續(xù)）