強(qiáng)震作用下變截面超高橋墩豎向時(shí)滯分析的傳遞矩陣法

程麥理，李青寧，孫建鵬，尹俊紅，閆 磊

強(qiáng)震作用下變截面超高橋墩豎向時(shí)滯分析的傳遞矩陣法

程麥理，李青寧，孫建鵬，尹俊紅，閆 磊

(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西西安，710055)

為探討變截面超高橋墩豎向時(shí)滯效應(yīng)，根據(jù)經(jīng)典梁理論，構(gòu)造典型桿件單元狀態(tài)向量的傳遞關(guān)系，利用達(dá)朗貝爾原理，推導(dǎo)集中質(zhì)量模型節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量的遞推公式，建立等效階形變截面單元的傳遞矩陣法。結(jié)合結(jié)構(gòu)在時(shí)域內(nèi)振動(dòng)波動(dòng)傳播的離散時(shí)間序列性，推導(dǎo)建立變截面單元狀態(tài)向量在離散時(shí)間序列的傳遞關(guān)系，提出研究變截面超高橋墩豎向時(shí)滯效應(yīng)分析的傳遞矩陣法。研究結(jié)果表明：采用傳遞矩陣法計(jì)算的變截面超高扁橋墩地震響應(yīng)結(jié)果與有限差分法計(jì)算結(jié)果基本吻合；對比橋墩中點(diǎn)及橋墩頂節(jié)的起振時(shí)刻，得到該兩點(diǎn)振動(dòng)時(shí)滯為0.07 s，表明傳遞矩陣法能夠有效計(jì)算分析變截面超高橋墩在強(qiáng)震作用下的豎向時(shí)滯。傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果正確、算法可行，可用于指導(dǎo)變截面超高橋墩結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析和設(shè)計(jì)。

強(qiáng)震作用；變截面單元；狀態(tài)向量；傳遞矩陣法；離散時(shí)間序列；時(shí)滯效應(yīng)

由于變截面構(gòu)件在根部能夠承受較大彎矩荷載，且使得建筑跨度和高度有大幅度提升，因而在工程建設(shè)中得到廣泛應(yīng)用，如：高聳的煙囪、水平長懸臂結(jié)構(gòu)和超高橋墩等。在強(qiáng)震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)是一種波動(dòng)[1]，這主要是因?yàn)閯?dòng)載作用處產(chǎn)生的振動(dòng)不能立刻影響到其他部位，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳播需要一定時(shí)間，對于高柔的懸臂結(jié)構(gòu)往往表現(xiàn)的更加明顯。在地勢起伏較大的山區(qū)，為了交通運(yùn)輸方便，需建立存在較大墩高差的橋梁。當(dāng)對該類橋梁進(jìn)行地震動(dòng)分析時(shí)，由于橋墩高度差異引起橋梁主梁接收的振動(dòng)激勵(lì)在時(shí)域內(nèi)不一致，這將導(dǎo)致主梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的空間化和橋梁結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)模式的復(fù)雜化，給橋梁結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析帶來困難。為研究變截面超高橋墩地震動(dòng)響應(yīng)的時(shí)滯效應(yīng)，通過建立階形變截面單元，結(jié)合離散時(shí)間序列的傳遞矩陣法對超高橋墩進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，探討變截面超高橋墩的豎向時(shí)滯效應(yīng)。對于變截面桿件，張?jiān)５萚2]對變截面桿件振動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算及應(yīng)力分布規(guī)律進(jìn)行了研究；侯祥林等[3]探討了變截面受壓桿的承壓臨界荷載問題。為探討建筑結(jié)構(gòu)豎向波動(dòng)時(shí)延性，文獻(xiàn)[4?6]基于波動(dòng)振動(dòng)理論，對建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行了波動(dòng)振動(dòng)研究，并定量的分析了地震波動(dòng)激勵(lì)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)的損傷，由于其采用的方法多是僅考慮一維地震波作用下結(jié)構(gòu)剪切變形的損傷，這與實(shí)際結(jié)構(gòu)空間波動(dòng)振動(dòng)有較大差別，因而該理論的應(yīng)用范圍很受限制。李東升等[7]針對高聳結(jié)構(gòu)研究了地震荷載的豎向延遲性。劉鐵林等[8?9]根據(jù)桿件位移和內(nèi)力協(xié)調(diào)關(guān)系，建立了結(jié)構(gòu)分析的被研究塊體法，探討了框架高聳結(jié)構(gòu)的波動(dòng)特性。結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常用的數(shù)值積分方法能夠較好地考慮時(shí)間增量和結(jié)構(gòu)波動(dòng)振動(dòng)傳播的相關(guān)性，結(jié)合結(jié)構(gòu)構(gòu)件的空間性，提出離散時(shí)間序列的傳遞矩陣法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行波動(dòng)傳播分析。對于傳遞矩陣算法，孫建鵬等[10?11]將傳遞矩陣法與指數(shù)矩陣精細(xì)積分法結(jié)合，建立精細(xì)傳遞矩陣法研究了頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)問題和壓彎桿件的屈曲計(jì)算。韋成龍等[12]利用傳遞矩陣法對變截面連續(xù)箱梁橋的剪力滯及剪切變形效應(yīng)進(jìn)行了研究。芮筱亭等[13?14]根據(jù)艦炮系統(tǒng)的工作原理和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，創(chuàng)立線性多體系統(tǒng)傳遞矩陣法及離散時(shí)間傳遞矩陣法，取得重大研究成果。本文作者根據(jù)經(jīng)典梁理論及變截面構(gòu)件變形協(xié)調(diào)特征，建立了變截面單元。引入質(zhì)心偏移概念，解決了由于截面變化導(dǎo)致的質(zhì)心與桿件單元幾何中心不重合問題。根據(jù)結(jié)構(gòu)在動(dòng)力分析中結(jié)構(gòu)的時(shí)間和空間序列性，建立了變截面單元?jiǎng)恿憫?yīng)分析的空間傳遞矩陣計(jì)算方法。根據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)程分析計(jì)算方法，給出變截面單元?jiǎng)恿Ψ治鰝鬟f矩陣法的計(jì)算流程圖。通過研制變截面單元波動(dòng)分析傳遞矩陣法的Matlab程序，對某超高變截面扁橋墩進(jìn)行時(shí)程分析，探究了變截面超高扁橋墩結(jié)構(gòu)振動(dòng)的時(shí)滯性，并將計(jì)算結(jié)果與有限差分法計(jì)算結(jié)果對比。

1 變截面單元傳遞矩陣建立

根據(jù)經(jīng)典梁理論，考慮構(gòu)件截面尺寸變化對桿件特性的影響，計(jì)入桿件質(zhì)量對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)，引入質(zhì)量偏心概念。將變截面桿件做離散化分析，通過對桿件上下段的桿件等效特性計(jì)算，建立動(dòng)力分析的變截面單元，計(jì)算簡圖如圖1所示。圖中：hl和hp分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的長度；Il和Ip分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的等效慣性矩；Al和Ap分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的等效面積；mi+1為單元的總質(zhì)量。

圖1 變截面桿單元Fig.1 Variable cross-section barelement

為便于分析截面尺寸變化對桿件特性影響，將單元的總質(zhì)量放置于單元的質(zhì)心處。由于單元截面變化使得質(zhì)心位置與單元幾何中心偏移，質(zhì)心距單元i節(jié)點(diǎn)距離為hl，距i+2節(jié)點(diǎn)距離為hp，質(zhì)心處節(jié)點(diǎn)編號為i+1。為便于處理，將該典型單元分為3個(gè)部件，即上部桿件、中部質(zhì)點(diǎn)和下部桿件。

1.1 桿件狀態(tài)向量遞推關(guān)系

圖2所示為梁單元桿端力與位移的分析簡圖。根據(jù)經(jīng)典梁理論[15]，建立桿端力與位移的關(guān)系表達(dá)式：

式中：Il為桿件等效抗彎慣性矩；hl為桿件長度；，為桿件的剪切修正系數(shù)，E和G分別為桿件材料的彈性模量和剪切模量，k′為截面形狀系數(shù)，Al為截面等效面積；N為桿件軸力，Nl=Ni；V和M分別為桿件端部的剪力和彎矩；w，u和θ分別為桿件的軸向位移、橫向位移和截面轉(zhuǎn)角；下角標(biāo)i和i+1分別為桿件上下端的編號。令

圖2 桿件內(nèi)力和變形分析Fig.2 Member forcesand deformation analysis

考慮桿件彎曲變形和剪切變形，距桿件i端z處的橫向位移公式為

根據(jù)式(1)～(5)，推導(dǎo)給出桿件位移、內(nèi)力的迭代表達(dá)式為：

結(jié)合式(6)～(11)，桿件內(nèi)力和桿端位移可表示為矩陣形式

式中：Q=(w, u,θ, N, V, M,1)-1為桿件狀態(tài)向量；Ci

i i為桿件狀態(tài)向量由i端到i+1端的的場傳遞矩陣，各元素可根據(jù)式(6)～(11)推導(dǎo)得到，

1.2 集中質(zhì)量點(diǎn)動(dòng)平衡分析

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是結(jié)構(gòu)慣性力與外荷載相互作用的外在表現(xiàn)。根據(jù)d’Alembert原理[16]對結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行動(dòng)力平衡分析，圖3所示為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力分析簡圖。

對變截面單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量慣性力的作用。根據(jù)節(jié)點(diǎn)i+1處位移連續(xù)、動(dòng)力平衡條件，得以下關(guān)系式

圖3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力分析Fig.3 Dynam ic analysisof particle

式中：角標(biāo)r和d分別表示質(zhì)量節(jié)點(diǎn)上部和下部。

表達(dá)式(13)～(18)可用矩陣表示為

1.3 變截面單元傳遞矩陣

圖4所示為變截面單元分析簡圖。根據(jù)桿件場傳遞場矩陣和質(zhì)量集中處的點(diǎn)傳遞矩陣可知，對于整個(gè)變截面單元，桿件狀態(tài)向量的傳遞矩陣可表示為

圖4 變截面單元分析簡圖Fig.4 Analysisprogram of variable cross-section element

式中：iF為變截面單元總傳遞矩陣。

在工程實(shí)踐中，變截面橋墩主要承受彎曲和剪切作用，軸力對桿件變形的影響較小，可不予考慮。當(dāng)略去桿件軸力影響，根據(jù)式(2)～(4)桿件內(nèi)力與桿端位移的關(guān)系，桿件點(diǎn)傳遞矩陣為

場傳遞矩陣為

根據(jù)變截面單元的組成，單元i+1～i+2段的剪切修正系數(shù)為pα，高度為hp，抗彎慣性矩Ip，結(jié)合場傳遞矩陣和點(diǎn)傳遞矩陣，建立總傳遞矩陣

根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則，推導(dǎo)單元總傳遞矩陣Fi各元素，

2 離散時(shí)間序列的參量傳遞

對桿件進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，引入時(shí)間參量。取時(shí)間積分步長為tΔ，對用速度、加速度表示的i+1節(jié)點(diǎn)處的位移進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并對其截?cái)嗫杀硎緸?/p>

對式(22)中i+1節(jié)點(diǎn)的位移對時(shí)間微分得到恒定速度

由式(22)變換給出變截面單元總傳遞矩陣Fi的參量元素1iu+˙的表達(dá)式

根據(jù)圖4右側(cè)j系列編號，變截面單元整體傳遞關(guān)系可用傳遞矩陣表示為

式中，單元傳遞矩陣Fj可通過式(21)求得。式(25)即為變截面單元?jiǎng)恿Ψ治鰰r(shí)單元狀態(tài)向量的傳遞矩陣計(jì)算公式。

3 邊界條件

邊界條件是結(jié)構(gòu)求解的基礎(chǔ)。在離散時(shí)間序列中，結(jié)構(gòu)波動(dòng)振動(dòng)進(jìn)行求解時(shí)，既定的邊界與時(shí)間序列無關(guān)，即不隨時(shí)間變化。在利用傳遞矩陣法求解結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量各參量時(shí)，其實(shí)質(zhì)是對含邊界條件方程組的求解。用u表示已知位移荷載。

懸臂結(jié)構(gòu)桿件，邊界條件為

當(dāng)一端固定，另一端鉸支時(shí)，邊界條件為

當(dāng)兩端鉸支桿件時(shí)，邊界條件為

當(dāng)兩端固定時(shí)，邊界條件為

4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算流程

本文建立的變截面單元傳遞矩陣算法考慮了結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性，通過引入質(zhì)量中心偏移的位置，使得在計(jì)算中需要對質(zhì)量中心點(diǎn)的位移、速度和加速度求解，從而保證單元計(jì)算的可靠性和正確性。由于結(jié)構(gòu)波動(dòng)分析存在時(shí)間和空間的序列性，因而結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析能夠依據(jù)傳遞算法完成。

根據(jù)本文理論，將變截面單元的傳遞計(jì)算方法整理，建立圖5所示的計(jì)算流程圖。

圖5 動(dòng)力計(jì)算流程圖Fig.5 Flow chartof dynam ic calculation

5 算例

某單向變截面超高鋼筋混凝土扁橋墩，采用C50混凝土，密度2 500 kg/m3，墩高100m，截面形狀為矩形，截面尺寸按線性變化，橋墩每隔20m設(shè)置厚為1.5m的橫隔板。圖6所示為結(jié)構(gòu)橫截面尺寸。在該變截面超高橋墩底部輸入圖7所示的強(qiáng)震位移荷載，分析該結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的豎向時(shí)滯效應(yīng)。

圖6 變截面橋墩橫截面尺寸Fig.6 Size of variable cross-section pier

圖7 動(dòng)位移荷載時(shí)程曲線Fig.7 Dynam ic disp lacement load time history curve

根據(jù)結(jié)構(gòu)特性，結(jié)合本文方法，編制變截面單元波動(dòng)分析傳遞矩陣法的Matlab計(jì)算程序。為校驗(yàn)本文方法的正確性，同時(shí)利用有限差分法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)分析。圖8所示為利用本文方法和有限差分法計(jì)算得到的距墩底x=50m和x=100m處結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)時(shí)程曲線。

圖8 橋墩動(dòng)力位移響應(yīng)Fig.8 Dynam ic displacement responseof pier

由圖8可知：本文方法計(jì)算結(jié)果與有限差分法計(jì)算結(jié)果吻合較好，僅有細(xì)微差異。計(jì)算結(jié)果表明本文方法正確，如對時(shí)間和結(jié)構(gòu)離散的足夠小，本文方法為精確解。對比圖8(a)和圖8(b)可知：x=50m處結(jié)構(gòu)起振時(shí)刻為t=0.08 s，而x=100m處結(jié)構(gòu)的起振時(shí)刻為t=0.15 s，此外對比結(jié)構(gòu)峰值位移出現(xiàn)時(shí)刻均能表明結(jié)構(gòu)超高橋墩的振動(dòng)傳遞具有時(shí)間滯后性。

6 結(jié)論

1)根據(jù)經(jīng)典梁理論，將變截面桿件等效為階形變截面桿單元。通過分析階形變截面單元上、下段及質(zhì)量集中點(diǎn)處狀態(tài)向量的傳遞關(guān)系，建立了變截面單元的傳遞矩陣算法。結(jié)合結(jié)構(gòu)時(shí)程分析的時(shí)間序列性，推導(dǎo)了狀態(tài)向量在離散時(shí)間序列的傳遞矩陣，得到變截面單元波動(dòng)分析的傳遞矩陣法。

2)利用本文方法能夠?qū)ψ兘孛娓邩蚨者M(jìn)行豎向時(shí)滯效應(yīng)計(jì)算，通過與有限差分法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，表明本文方法正確。由于本文方法計(jì)算中利用了矩陣計(jì)算，易于編程，可應(yīng)用于工程實(shí)踐。

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(編輯 趙俊)

Vertical tim e lag effectanalysisof variable cross-section high piers under strong earthquakeexcitation

CHENGMaili,LIQingning,SUN Jianpeng,YIN Junhong,YAN Lei

(Schoolof Civil Engineering,Xi'an University of Architecture and Technology,X i’an 710055,China)

In order to investigate vertical time-lag effect on variable cross-section high bridge pier,typicalmember unit state vector’s transitive relation was constructed according to classical beam theory.According to d’Alembert’s principle, node state vector’s recurrence formula of the lumpedmassmodelwas derived.Equivalent stepped variable cross-section unit’s transfer matrix method is proposed.Considering structure seism ic propagation’s discrete time sequence in time domain,variable cross-section unit state vector’s transitive relation in discrete time sequence was constructed.Transfer matrixmethod to investigate vertical time-lag effect on variable cross-section high bridge pierwas proposed.The results show that seism ic response of variable cross-section high p lat bridge pier calculated by the transfer matrix method is closely related to the finite differencemethod;comparing vibration beginning time ofm iddle position of the pier and top position of the pier,time lag is calculated to be 0.07 s,and the transfermatrixmethod isverified to be useful in analyzing vertical time-lag effecton variable cross-section high bridge pier in strong earthquake.Calculated results by the transfer matrixmethod are correctand thismethod is viable.

strong earthquake excitation;variable cross-section element;state vector;transfermatrix method;discrete timeseries;time-lag effect

TU997

A

1672?7207(2017)03?0787?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.029

2016?04?07；

2016?06?10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078306，51408453)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2013JQ 7007)(Projects(51078306, 51408453)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(2013JQ7007)supported by the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Provinceof China)

程麥理，博士，講師，從事橋梁結(jié)構(gòu)抗震研究；E-mail:cm l3635@163.com