待測信號線性驅(qū)動Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)

盧 明，馬松山,2，丁家峰，黃 偉，袁 洪

待測信號線性驅(qū)動Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)

盧 明1，馬松山1,2，丁家峰1，黃 偉3，袁 洪3

(1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，湖南長沙，410083；2.中南大學(xué)先進(jìn)材料超微結(jié)構(gòu)與超快過程研究所，湖南長沙，410083；3.中南大學(xué)湘雅三醫(yī)院，湖南長沙，410013)

針對周期驅(qū)動的Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)存在臨界閾值影響信號檢測精度和對待檢測信號頻率分辨率不高的問題，提出一種以待檢測信號為驅(qū)動力的Duffing振子線性驅(qū)動弱信號檢測系統(tǒng)。該系統(tǒng)以待測信號作為系統(tǒng)線性驅(qū)動信號，利用系統(tǒng)線性驅(qū)動參數(shù)的微小變化會導(dǎo)致系統(tǒng)輸出狀態(tài)發(fā)生改變的特性，對淹沒在背景噪聲中的弱信號進(jìn)行檢測。同時，通過計算系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)和最大李氏指數(shù)，并結(jié)合系統(tǒng)相軌跡狀態(tài)的變化，對該系統(tǒng)檢測信號的可行性進(jìn)行分析。研究結(jié)果表明：該檢測系統(tǒng)大大提高了對微弱信號頻率的分辨能力；檢測精度可達(dá)10?4，即諧波信號頻率與驅(qū)動力頻率之間的相對偏差ω-ω1/ω達(dá)10?4時依然可以檢測；增強(qiáng)系統(tǒng)對噪聲有免疫能力，同時可消除臨界閾值對系統(tǒng)檢測精度的影響，提高系統(tǒng)檢測效率。

Duffing振子；混沌；微弱信號檢測；頻率

混沌理論在弱信號檢測領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，從而使其成為非線性科學(xué)中研究熱點，許多學(xué)者對其基本特點和實際應(yīng)用進(jìn)行了研究[1?5]。目前，利用混沌理論對信號的檢測主要體現(xiàn)在微弱信號的檢測方面，而基于Duffing混沌振子實現(xiàn)微弱信號的檢測是最典型的檢測系統(tǒng)[6?9]。由于Duffing混沌振子對信號初始值具有很強(qiáng)的敏感性，同時對噪聲具有很強(qiáng)免疫性，通過觀察體系相軌跡狀態(tài)的變化，即可實現(xiàn)微弱信號的檢測[10?11]。如范劍等[12]采用周期信號驅(qū)動的方式實現(xiàn)對Duffing狀態(tài)變化的控制，研究了Duffing振子檢測性能；WANG等[13]則研究了Duffing振子在強(qiáng)噪聲背景中進(jìn)行信號檢測的基本原理及其可行性；李月等[14]研究了在噪聲背景下不同微弱方波信號激勵的Duffing振子檢測性能；鄧宏貴等[15]研究了采用小波去噪信號作為驅(qū)動力的改進(jìn)型Duffing振子弱信號檢測方法，克服了對混沌臨界狀態(tài)與周期態(tài)區(qū)別的模糊性。這些針對Duffing系統(tǒng)微弱信號檢測的研究大都采用周期驅(qū)動的Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)，而周期驅(qū)動信號檢測系統(tǒng)存在以下問題：1)該檢測系統(tǒng)由于混沌臨界閾值存在，檢測效率不高；2)該檢測系統(tǒng)的頻率分辨率不高，只有0.03[16]，當(dāng)諧波噪聲頻率與驅(qū)動力頻率之間的相對偏差大于0.03時，系統(tǒng)無法免疫此類諧波噪聲，從而降低系統(tǒng)檢測精度。為此，本文作者提出一種以待測信號為驅(qū)動力，通過線性擾動方式來控制Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)變化而實現(xiàn)弱信號檢測的Duffing振子弱信號檢測方法。在該方法中，用線性驅(qū)動的方式使Duffing系統(tǒng)狀態(tài)的變化得到更精確控制，通過設(shè)置新的系統(tǒng)測量參數(shù)，提高系統(tǒng)對噪聲的免疫程度，進(jìn)一步改善系統(tǒng)檢測性能，消除臨界閾值對檢測系統(tǒng)影響。同時，對該檢測系統(tǒng)在不同頻率與幅值下的最大李雅普諾夫指數(shù)進(jìn)行分析，并利用梅爾尼科夫函數(shù)分析系統(tǒng)狀態(tài)，研究系統(tǒng)相軌跡變化規(guī)律和系統(tǒng)的檢測性能。

1 線性驅(qū)動Duffing振子弱信號檢測模型

在周期驅(qū)動下，Duffing振子弱信號檢測模型可表示為[17?18]

其中：k為阻尼系數(shù)；-x+ x3為非線性恢復(fù)力；γcos(ωt)為周期驅(qū)動信號項；γ為驅(qū)動信號幅值；ω為驅(qū)動信號頻率；Acos(ω1t)為待檢測信號項；A為待測信號幅值；ω1為待測信號頻率；n( t)為背景噪聲項。式(1)對應(yīng)的狀態(tài)方程為

由(2)式可知：當(dāng)0=γ時，系統(tǒng)的相平面為3個奇點，分別為鞍點(0,0)，焦點(1，0)和(?1，0)，且初始狀態(tài)不同，將導(dǎo)致點),(xx˙最終停在2個焦點之一。當(dāng)γ較小時，系統(tǒng)的相軌跡表現(xiàn)為Poincare映射意義下的吸引子，相點將圍繞1個焦點或者另外1個焦點作周期運動。隨著γ增大，系統(tǒng)非線性部分影響增大，系統(tǒng)將進(jìn)入同宿軌道狀態(tài)，如圖1(a)所示；進(jìn)一步增大γ，系統(tǒng)將進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖1(b)所示；但當(dāng)γ增大到超過臨界閾值dγ時，系統(tǒng)非線性部分影響開始減弱，線性振子影響加強(qiáng)，系統(tǒng)將進(jìn)入大周期狀態(tài)，如圖1(c)所示。

圖1 系統(tǒng)相軌跡狀態(tài)和時域狀態(tài)圖Fig.1 System trajectory state and time domain state

在進(jìn)行信號檢測時，需將檢測系統(tǒng)設(shè)置為混沌臨界狀態(tài)。根據(jù)梅爾尼科夫指數(shù)[19]，周期信號驅(qū)動的混沌臨界閾值為由此可得周期信號驅(qū)動的混沌系統(tǒng)臨界閾值隨驅(qū)動信號頻率變化關(guān)系如圖2所示。由圖2可知：對于周期信號驅(qū)動的混沌系統(tǒng)來說，不同的驅(qū)動信號頻率對應(yīng)不同的混沌系統(tǒng)臨界閾值，因此，當(dāng)檢測不同頻率的信號時，需重新設(shè)置系統(tǒng)臨界閾值，這極大地降低了信號的檢測效率；另一方面，該檢測系統(tǒng)的頻率分辨力低于0.03，即ω-ω1/ω＞0.03，當(dāng)諧波噪聲頻率與驅(qū)動力頻率之間的相對偏差大于0.03時，系統(tǒng)無法免疫此諧波噪聲，從而降低系統(tǒng)檢測精度。

圖2 周期信號驅(qū)動Duffing系統(tǒng)臨界閾值與驅(qū)動信號頻率關(guān)系Fig.2 Relationship betw een chaos threshold of periodic driving force signalsand frequency

可見：對周期信號驅(qū)動的Duffing振子系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，系統(tǒng)對待檢測信號頻率敏感程度最低只能達(dá)到10?2[16]，且存在臨界閾值影響。因此，為提高對微弱信號頻率檢測的精度，根據(jù)混沌控制理論，構(gòu)建基于待測信號線性驅(qū)動的Duffing混沌振子檢測系統(tǒng)，其Duffing方程可表示為

其中：β-Acos(ω1t )為輸入系統(tǒng)的待檢測信號項；ω1為待測信號頻率，其狀態(tài)方程為

為研究待測信號線性驅(qū)動Duffing振子弱信號檢測方法的可行性，利用梅爾尼科夫函數(shù)和不同頻率與幅值下的最大李雅普諾夫指數(shù)對其檢測原理進(jìn)行分析。

2 線性驅(qū)動Du ffing振子弱信號檢測可行性分析

利用Duffing振子檢測信號時，系統(tǒng)能否在驅(qū)動信號影響下由混沌狀態(tài)進(jìn)入大周期狀態(tài)是系統(tǒng)能否完成信號檢測的關(guān)鍵，由于梅爾尼科夫(Melnikov)通常用來區(qū)分系統(tǒng)是否進(jìn)入混沌狀態(tài)，因此，利用梅爾尼科夫(Melnikov)對線性驅(qū)動的Duffing振子檢測系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行分析。當(dāng)系統(tǒng)未受到擾動時，式(4)可以表示為Ham ilton系統(tǒng)：

該系統(tǒng)的Hamilton常量可表示為

由式(5)可得系統(tǒng)的2個Hamilton軌道常量：

其中：0()x t和0()y t是系統(tǒng)2條同宿軌道的坐標(biāo)參量，利用式(7)可求得系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)，由此可知系統(tǒng)Melnikov函數(shù)為

將式(7)代入式(8)，可得

根據(jù)Melnikov函數(shù)，若系統(tǒng)能進(jìn)入混沌狀態(tài)，則式(9)將存在零解，也就是說，與式(3)相應(yīng)的Poincare映射中，穩(wěn)定不變行流與不穩(wěn)定不變形流必然相交，即此時出現(xiàn)橫截同宿點，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。因此，只需選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)，線性驅(qū)動的Duffing振子能進(jìn)入混沌狀態(tài)。

梅爾尼科夫函數(shù)存在零解只是系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的必要條件，因此，通過對該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，分析其最大李雅普諾夫指數(shù)，并結(jié)合系統(tǒng)梅爾尼科夫指數(shù)進(jìn)一步分析系統(tǒng)所處狀態(tài)，判斷系統(tǒng)是否能在混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換。

應(yīng)當(dāng)指出的是：只要式(9)有零解，Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)即處于混沌狀態(tài)，因此，參量k和β等可以取不同值。為使問題簡化，設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)為：k=0.5，1=β，3.0=γV，A=0.2V，ω=1 rad/s，并通過數(shù)值計算得到系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)隨待測信號頻率之間的關(guān)系，如圖3所示。從圖3可見：只有當(dāng)輸入待檢測信號的頻率ω1=ω或ω1=3ω時，系統(tǒng)的最大李氏指數(shù)小于0，分別為?0.004 97和?0.003 16，表明系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。而當(dāng)待檢測信號頻率為其他值時，系統(tǒng)最大李氏指數(shù)都大于0，系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)。因此，隨著待測信信號頻率變化，系統(tǒng)可以實現(xiàn)混沌狀態(tài)與周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變。

圖3 系統(tǒng)最大李氏指數(shù)與待檢測信號頻率關(guān)系Fig.3 Relationship between the largest Lyapunov index and themeasured signal frequency

為進(jìn)一步研究系統(tǒng)對待測信號頻率的分辨精度，通過數(shù)值計算ω1=ω，ω1=1.000 1ω及ω1=0.999 9ω時系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，如圖4所示。從圖4(a)可知：當(dāng)待測信號的頻率ω1=ω時，系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)介于?2.0與?0.5之間，全部小于0，因此，式(9)不存在零解，說明系統(tǒng)此時已經(jīng)進(jìn)入周期狀態(tài)。而從圖4(b)和圖4(c)可知：當(dāng)待檢測信號頻率分別取ω1=1.000 1ω和ω1=0.999 9ω時，系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)介于?1.5與0.2之間，出現(xiàn)多個大于0的情況，式(9)存在多個零解，說明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

可見：通過待測信號線性驅(qū)動的方式可以實現(xiàn)系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變。因而在進(jìn)行信號檢測時，只需將待檢測信號輸入Duffing振子檢測系統(tǒng)，通過調(diào)節(jié)信號頻率，當(dāng)系統(tǒng)周期驅(qū)動力信號頻率ω與待檢測信號頻率ω1保持嚴(yán)格一致時，系統(tǒng)相軌跡狀態(tài)

圖4 不同待測信號頻率下系統(tǒng)梅爾尼科夫函數(shù)值Fig.4 ValueofMelnikov function for different frequenciesof signals

將由混沌狀態(tài)進(jìn)入大周期狀態(tài)，從而可完成信號檢測。

3 線性驅(qū)動Du ffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)性能分析

由檢測原理可知，待測信號線性驅(qū)動Duffing振子系統(tǒng)具備弱信號檢測能力，下面進(jìn)一步分析其檢測性能?？紤]到噪聲的影響，此時Duffing振子方程可表示為

其中：()n t為高斯白噪聲信號項。

3.1 系統(tǒng)初始狀態(tài)對檢測效率的影響

從圖1可見：對于周期信號驅(qū)動的Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)時其相圖變化非常明顯，因此，該系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，必須將系統(tǒng)調(diào)整至混沌臨界狀態(tài)，也就是說，在周期信號驅(qū)動的Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)中，待檢測信號的“混沌抑制力”必須在系統(tǒng)臨界狀態(tài)時才能體現(xiàn)。然而，目前混沌臨界閾值的確定主要通過觀察相位狀態(tài)的改變進(jìn)行確定，因此，無法精確地對混沌臨界閾值進(jìn)行確定，且由圖2可知，當(dāng)系統(tǒng)驅(qū)動信號頻率不同時，系統(tǒng)臨界閾值亦不相同，這極大地降低了信號檢測效率。

利用待檢測信號線性驅(qū)動的Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，通過適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)設(shè)置，使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。如前所述，取k=0.5，β=?1， γ=0.3V，ω=1 rad/s，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖5(a)所示。增大系統(tǒng)周期信號的幅值，如取γ=0.5V，此時系統(tǒng)狀態(tài)仍為混沌狀態(tài)，如圖5(b)所示。但在系統(tǒng)周期信號幅值保持不變即同樣取γ=0.3V時，一旦待檢測信號輸入檢測系統(tǒng)，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)立即進(jìn)入大周期狀態(tài)，如圖5(c)所示。通過進(jìn)一步計算得到此時系統(tǒng)的最大李亞普若夫指數(shù)與待測信號幅值的關(guān)系，如圖5(d)所示。可知：當(dāng)輸入系統(tǒng)的待檢測信號幅值逐漸增大時，系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)亦呈增大趨勢，但其值小于0，表明系統(tǒng)處于大周期狀態(tài)。也就是說，當(dāng)輸入系統(tǒng)的待測信號幅值在較大范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)依然能保持大周期狀態(tài)，可見在待檢測信號自驅(qū)動的Duffing振子混沌檢測系統(tǒng)中待檢測信號具有較強(qiáng)的“混沌抑制力”。因此，在實際檢測時，無需將系統(tǒng)調(diào)整至混沌臨界狀態(tài)，消除臨界閾值對檢測系統(tǒng)的影響，從而極大改善系統(tǒng)檢測性能，提高系統(tǒng)信號檢測能力。

3.2 檢測系統(tǒng)對噪聲“免疫”能力分析

圖5 線性驅(qū)動Duffing系統(tǒng)的相軌跡Fig.5 Phase trajectoriesof linear drive Duffing system

對周期信號驅(qū)動的Du ffing系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，周期擾動信號與待檢測信號頻率的偏差應(yīng)小于0.03[16]，即當(dāng)待測信號頻率與周期擾動信號頻率的相對偏差小于0.03時，系統(tǒng)將由混沌狀態(tài)進(jìn)入大周期狀態(tài)，從而完成信號檢測。但在信號檢測過程中，待測信號通常淹沒于系統(tǒng)噪聲和環(huán)境噪聲中，當(dāng)噪聲頻率也與周期驅(qū)動信號頻率的偏差小于0.03時，系統(tǒng)無法分辨噪聲和待檢測信號，從而對檢測結(jié)果造成影響，產(chǎn)生檢測誤差。然而，對于待測信號線性驅(qū)動的Duffing振子信號檢測系統(tǒng)而言，當(dāng)輸入系統(tǒng)的待檢測信號與系統(tǒng)頻率保持一致時，由圖4(a)可知，系統(tǒng)處于大周期狀態(tài)；但當(dāng)待檢測信號頻率與系統(tǒng)頻率的偏差為0.000 1時(如圖4(b)和4(c)所示)，系統(tǒng)即可轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。可見：待測信號線性驅(qū)動的Duffing振子信號檢測系統(tǒng)的頻率分辨力可達(dá)0.000 1，這極大地提高了檢測系統(tǒng)的頻率分辨能力，檢測精度可達(dá)10?4數(shù)量級，即諧波信號頻率與驅(qū)動信號頻率之間的相對偏差ω-ω1/ω達(dá)10?4時依然可以進(jìn)行檢測，從而有效地排除了諧波噪聲對檢測系統(tǒng)性能的影響。由此可知：線性擾動Duffing振子對噪聲具有更強(qiáng)的區(qū)分能力，能進(jìn)一步提高信號檢測能力。在線性驅(qū)動的Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)中，該信號檢測系統(tǒng)擁有較強(qiáng)的頻率分辨能力和混沌抑制力，但利用該系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，對待檢測信號頻率精確度要求較高，且必須對信號頻率進(jìn)行處理，這對系統(tǒng)檢測效率存在較大影響。

4 系統(tǒng)仿真結(jié)果與分析

4.1 系統(tǒng)仿真模型

為進(jìn)一步檢測線性驅(qū)動Duffing振子系統(tǒng)的檢測性能，對其進(jìn)行Matlab/Simulink仿真，仿真模型如圖6所示。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)k=0.5，β=?1，γ=0.3V，ω=1 rad/s，通過仿真，可獲得不同信號頻率下系統(tǒng)的檢測結(jié)果，如表1所示。從表1可知：線性驅(qū)動Duffing弱信號檢測系統(tǒng)能有效完成信號頻率的檢測，提高頻率檢測分辨率，如當(dāng)待檢測信號頻率為0.800 0 rad/s時，普通方法檢測結(jié)果為0.765 6 rad/s，相對誤差達(dá)4.3%，而采用待測信號線性驅(qū)動Duffing振子檢測系統(tǒng)進(jìn)行檢測時，檢測結(jié)果為0.800 3 rad/s，相對誤差為0.003 7%，可知系統(tǒng)擾動系統(tǒng)具有更高的頻率分辨力。

表1 不同頻率下系統(tǒng)檢測結(jié)果Table1 Detection resultsunder different frequencies

進(jìn)一步研究待測信號線性驅(qū)動Duffing弱信號檢測系統(tǒng)對待測信號幅值檢測性能的影響，仿真結(jié)果如表2所示。從表2可知：當(dāng)信噪比相同時，待檢測信號幅值越大，檢測時相對誤差越小，如當(dāng)信噪比為?20 dB，待測信號理論幅值為0.01m V時，系統(tǒng)檢測到的幅值相對誤為4.7%，但當(dāng)待測信號理論幅值為0.1m V時，系統(tǒng)檢測到的幅值相對誤差為3.9%。同時，輸入系統(tǒng)的待檢測信號信噪比越大，系統(tǒng)幅值檢測的相對誤差越小。可見，待測信號線性驅(qū)動Duffing振子檢測系統(tǒng)能有效完成對弱信號的檢測。

圖6 系統(tǒng)仿真模型Fig.6 Simulationmodelof the system

圖7 系統(tǒng)仿真電路圖Fig.7 Simulation circuitof system

表2 線性驅(qū)動系統(tǒng)幅值檢測結(jié)果Table2 Am plitude detection resultsof system

4.2 系統(tǒng)仿真電路設(shè)計

利用Multisim軟件進(jìn)一步對待檢測信號線性驅(qū)動的Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)的電路進(jìn)行設(shè)計。在系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為k=0.5，β=?1的情況下，式(4)可改寫為

與(11)式對應(yīng)的電路狀態(tài)方程為

根據(jù)式(12)，可得到其電路圖，如圖7所示。在此電路中，選定電阻R3=2R1=2R2，C1=C2。利用該仿真電路，可先將電路調(diào)制在混沌狀態(tài)，然后將待檢測信號加入檢測系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)將由混沌狀態(tài)進(jìn)入周期狀態(tài)，證明該仿真電路系統(tǒng)能很好地實現(xiàn)弱信號檢測。

5 結(jié)論

1)提出了待測信號線性驅(qū)動Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)。系統(tǒng)的梅爾尼科夫函數(shù)和最大李雅普諾夫指數(shù)及仿真結(jié)果表明待測信號線性驅(qū)動Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)能很好地實現(xiàn)弱信號的檢測。

2)待測信號線性驅(qū)動Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)能大大提高系統(tǒng)對待檢測信號的頻率分辨力，其頻率檢測精度可達(dá)10?4，從而提升系統(tǒng)噪聲免疫能力。

3)待測信號線性驅(qū)動Duffing振子微弱信號檢測系統(tǒng)能有效地消除在周期信號驅(qū)動Duffing振子檢測系統(tǒng)中的臨界閾值的影響，提高系統(tǒng)檢測效率，實現(xiàn)較強(qiáng)噪聲背景下的微弱周期信號檢測。

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(編輯 陳燦華)

W eak signaldetection system based on
Duffing oscillator w ith linear driven by to-be-detected signal

LUM ing1,MA Songshan1,2,DING Jiafeng1,HUANGWei3,YUAN Hong3

(1.School of Physics and Electronics,Central South University,Changsha410083,China; 2.Institute of Super-m icrostructure and Ultrafast Process in Advanced M aterials,Central South University, Changsha 410083,China; 3.The third X iangya Hospital,Central South University,Changsha 410083,China)

Considering that the weak signal detection methods based on Duffing oscillator w ith periodic driving force signal have the defects that the detection accuracy can be affected by the critical threshold and the frequency resolution is nothigh enough,a new weak signal detectionmethodwas presented based on Duffing oscillator,which wasdriven by the linear perturbation of the to-be-detected signal.In the method,the small change of the linear perturbation parameters could cause the output change,and then this characteristic could be used to detect the w eak signals submerged in the background noise.Meanwhile,based on the Melnikov function and themaximum of Lyapunov exponent,the feasibility of the detection system was analyzed.The results show that themethod can greatly improve the frequency resolution of weak signal,and the precision of the frequency achieves 10?4.It can also enhance the noise immunity ability and elim inate the effectof critical threshold on the precision of the system.

Duffing oscillator,chaos;weak signal detection;frequency

TN911.7

A

1672?7207(2017)03?0721?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.021

2016?03?21；

2016?05?25

國家自然科學(xué)基金資助項目(61172047,11204263)；湖南省科研條件創(chuàng)新專項(2011TT1009)(Projects(6172047,11204263) supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(2011TT1009)supported by the Special Funds of Scientific Research Innovation of Hunan Province)

馬松山，副教授，從事微弱信號處理研究；E-mail:songshan@csu.edu.cn