Stokes方程擬應力—速度形式的穩(wěn)定化有限元法

張現強

摘 要：隨著非牛頓流問題在工程領域的廣泛應用，基于擬應力-速度形式的數值格式成為了計算流體力學和計算數學領域的研究熱點。該文針對Stokes方程提出了一種基于擬應力-速度形式的穩(wěn)定化有限元法。擬應力和速度分別采用非協(xié)調矩形元和分片常數元來逼近。該方法通過在通常的混合 Galerkin 形式中添加基于擬應力的梯度跳躍的穩(wěn)定項強化格式的穩(wěn)定性。我們證明該方法是穩(wěn)定的，并具有擬最優(yōu)階精度。

關鍵詞：Stokes方程 擬應力-速度形式 混合有限元 穩(wěn)定化方法 非協(xié)調元

中圖分類號：O241.82 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）03（c）-0213-04

A stabilized Finite Element Method for Stokes Equations Based on Pseudostress-velocity Formulation

Zhang Xianqiang

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan Ningxia， 750021， China）

Abstract： In this paper， we develop and analyze a stabilized nonconforming rectangular finite element method for the stationary Stokes equations based on the pseudostress-velocity formulation. The pseudostress is approximated by nonforming rectangular elements and the velocity by piecewise constants. It is shown that the method is stable and yields quasi-optimal accuracy. Finally， numerical results verifying the theoretical predictions are presented.

Key Words：Stokes equations； Pseudostress-velocity formulation； Mixed finite element； Stabilized methods； Noncomforming element

Stokes方程是流體力學中的一個重要方程，關于其混合有限元法的研究已有很多工作，其中絕大多數是基于其原始變量形式[1-3]。近年來，隨著非牛頓流問題在工程領域的廣泛應用，基于應力-速度-壓力形式的數值格式成為了計算流體力學和計算數學領域的研究熱點。 然而，這類方法都有一個共同問題，即混合有限元空間要滿足所謂的LBB條件。應力張量的對稱性約束使得其有限元空間的構造過于復雜，不利于實際應用[4-5]。

為了解決上述矛盾，一種有效的途徑是引入非對稱的擬應力張量取代原始的應力張量，文獻[6-9]相繼提出并分析了 Stokes 方程和Navier-Stokes方程擬應力-速度和擬應力-速度-壓力形式的混合有限元法。值得注意的是，為了保證這類有限元格式的穩(wěn)定性，我們必須控制擬應力的-范數。 因此，構造這類問題穩(wěn)定收斂的有限元方法并不是一件容易的事。文獻[10-11]針對奇異攝動Darcy-Stokes問題和Darcy-Stokes-Brinkman模型構造了一種新型的非協(xié)調矩形元，該有限元的法向分量和切向分量具有一定意義下的弱連續(xù)性。 該文針對擬應力-速度形式的Stokes方程提出了一種穩(wěn)定化非協(xié)調有限元方法，對擬應力和速度分別采用新型矩形元和分片常數元來逼近，并且通過引入一個基于擬應力在單元邊界上跳躍的穩(wěn)定項來滿足格式的穩(wěn)定性。 通過具體考察非協(xié)調矩形元的特殊性質，我們討論了該文所提格式的穩(wěn)定性和收斂性，給出了誤差估計。

1 模型及初步知識

2 有限元格式

設為區(qū)域的擬一致正則矩形剖分，對任意的剖分單元，記為單元的直徑，網格尺寸，用表示單元的邊，并記。對任意的分片連續(xù)函數，定義其在邊上的跳躍值為

3 誤差分析

4 結語

Stokes方程是描述流體介質運動的基本方程，在科學與工程等領域有廣泛而重要的應用。盡管應力張量具有重要的物理意義，對稱性約束使得其有限元空間的構造過于復雜，不利于計算分析。該文在Stokes方程的擬應力-速度形式的基礎上，采用穩(wěn)定化非協(xié)調混合有限元的方法對其求解，證明了有限元解的存在唯一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。

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