電路分析中的方向與正負(fù)辨識

李春彪　沈威東　朱煥強(qiáng)

【摘要】電路分析過程中，電壓、電流參考方向以及對應(yīng)的電路方程中正負(fù)號的確定直接決定著分析結(jié)果的正確性。然而，紛繁復(fù)雜的方向規(guī)定，導(dǎo)致列方程時(shí)的正負(fù)取向容易產(chǎn)生混亂。本文從電路基本定律基爾霍夫定律出發(fā)，圍繞基于此導(dǎo)出的支路電路法、回路電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法，將電路分析過程中的正負(fù)取值問題進(jìn)行研究整理，供教師或者學(xué)習(xí)者參考。

【關(guān)鍵詞】基爾霍夫定律 方向 正負(fù)取值

【Abstract】In the process of circuit analysis， the positive and negative selection of the terms in the circuit equation according to the reference direction of voltage and current determines the correctness of the results. However， the complexity of the direction results in a great confusion in the selection for adding or subtracting a term when making a circuit equation. We study the criterion in this paper for the selection of positive and negative operation in term of the basic Kirchhoffs circuit law. Three cases on the method for circuit analysis with branch circuit， loop current and node voltage are studied correspondingly.

【Keywords】Kirchhoffs law； direction； positive and negative operation

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）13-0194-03

1.引言

電路分析的基本任務(wù)是分析電路中各個(gè)元件上的電壓和電流以及基于電壓、電流而導(dǎo)出的功率。電路分析時(shí)方程正負(fù)的取法，簡單來說，就是“同正異負(fù)”，也就是“一致為正，不一致為負(fù)”[1-9]。但是，在實(shí)際場合中，要搞清楚這里所說的“一致”是指哪兩者的一致。比如，在出現(xiàn)電壓、電流代數(shù)值的正負(fù)的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候比較的是參考方向與實(shí)際方向的關(guān)系；而在列寫電路元件兩端的電壓和電流關(guān)系的時(shí)候，考查的是電路元件兩端的電壓參考方向和電流參考方向是否關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)時(shí)取正，非關(guān)聯(lián)時(shí)取負(fù)。然而，電路分析中的正負(fù)取值還不至于此，還有其他許多影響正負(fù)取值的因素，包括繞行方向，電流相對于節(jié)點(diǎn)的方向，回路電流方向，電源電壓的方向等等，本文對方向與正負(fù)取值的關(guān)系做一個(gè)研究，給出普遍性的易操作的評判法則，供學(xué)習(xí)者參考。

2.基爾霍夫定律的一分法表達(dá)與二分法表達(dá)

基爾霍夫定律的內(nèi)容說起來很簡單，就兩句話，那就是：在一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的電流之和等于零，在一個(gè)回路的電壓（降）之和等于零，其本質(zhì)是電荷與能量守恒。然而在求和之前，要將電流/電壓的參考方向標(biāo)注出來，因此，求和的時(shí)候，這個(gè)標(biāo)注的電流參考方向就與節(jié)點(diǎn)之間就存在靠近與遠(yuǎn)離，流進(jìn)與流出的關(guān)系，而標(biāo)注的電壓參考方向也與求和的路徑，也就是繞行方向存在著一致與不一致的關(guān)系。這是在利用基爾霍夫定律分析電路時(shí)遇到的第一個(gè)方向問題，求和的基本原則是屬性相同。

如果對照上面的說法，將零放置在等式的一邊，那么等式的另一邊的求和表達(dá)式就應(yīng)該是屬性相同的項(xiàng)才能“求和”。為此，我們選定一個(gè)方向求和（方向?qū)傩韵嗤?，這便是一分法，對應(yīng)的一分法等式為：

ΣI=0ΣU=0 （1）

此時(shí)的基爾霍夫定律電流定律就可以進(jìn)一步表述成：流進(jìn)（或者流出）一個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有電流之和為零，注意這時(shí)隱含一個(gè)條件，就是要將流出（或者對應(yīng)的是流進(jìn)）這個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流通過取負(fù)號轉(zhuǎn)變成概念上的“流進(jìn)電流”，參與到求和中來。建議在一分法列寫電流方程時(shí)，就采用流進(jìn)為正，流出為負(fù)。同樣，基于屬性相同才能求和的思想，基爾霍夫定律電壓定律此時(shí)轉(zhuǎn)而表述成：沿一個(gè)繞行方向（比如為了避免混亂，統(tǒng)一為順時(shí)針方向）的所有電壓降之和為零。這樣也就隱含一個(gè)條件，那就是要將沿著這個(gè)方向的電壓升（或者電動(dòng)勢）通過取負(fù)轉(zhuǎn)變成相同屬性的“電壓降”，參與到求和中來。由于對于電阻元件，其上電壓與電流在取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，有歐姆定律的最簡形式U= IR，因此，繞行方向上電壓的同屬性求和過程中所涉及的正負(fù)也就自然轉(zhuǎn)嫁到電流方向與巡行方向是否一致的裁定中來，在電流方向與巡行方向一致時(shí)，也就對應(yīng)著巡行方向的電壓降，自然的進(jìn)入到求和項(xiàng)，而當(dāng)電流方向與巡行方向相反時(shí)，要通過負(fù)號將相應(yīng)的電壓降糾正到巡行方向上來參與運(yùn)算，因而有了負(fù)號的產(chǎn)生。

基爾霍夫定律還有一種二分法的表述，也就是選定兩個(gè)方向求和，對應(yīng)的二分法等式為：

ΣIin=ΣIoutΣUab_frmline1=Uab_fromline2 （2）

相應(yīng)的基爾霍夫定律電流定律表述成：流進(jìn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出這個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流之和。這里隱含一個(gè)約束關(guān)系，那就是等式左邊是流進(jìn)的各個(gè)來自支路的電流，而等式右邊是流出這個(gè)節(jié)點(diǎn)去各個(gè)支路的電流。同樣，基爾霍夫定律電壓定律二分法的表達(dá)也有正負(fù)的困擾。如（2）式所示，沿著一個(gè)路徑從起點(diǎn)a到終點(diǎn)b處的所有電壓降之和，等于沿著另一個(gè)同始點(diǎn)同終點(diǎn)（同始同終）的路徑上的所有電壓降之和。電路上兩點(diǎn)之間的電壓具有路徑無關(guān)性，表達(dá)成數(shù)學(xué)公式便是：

Uab= Uac+Ucd+Udb=Uae+Uef +Ufb （3）

這時(shí)在列寫電壓方程時(shí)，要將電壓依據(jù)不同的路徑進(jìn)行方向度量。如果元件的電壓在支路1上，也就是從路徑1從a到b，電壓降方向與路徑1的從a到b方向一致，便可以求和，任何與此路徑1方向相反的電壓降自然取負(fù)。同樣，在路徑2的從a到b方向進(jìn)行電壓求和也要將電壓降的參考方向與路徑2的從a到b方向進(jìn)行比對，統(tǒng)一的原則依然是“同正異負(fù)”。

電路分析中導(dǎo)出的量功率也是讓人費(fèi)解的一個(gè)概念，功率定義為網(wǎng)絡(luò)兩端上電壓和電流的乘積。但是為了標(biāo)識這個(gè)網(wǎng)絡(luò)（或者等效為一個(gè)元件）是向外發(fā)出功率還是從外界吸收功率，也參照電阻給出了一個(gè)參考定義，那就是當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)兩端的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，對應(yīng)的電壓電流之積便是這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率。電阻上的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電壓與電流的乘積就是正，表示電阻從外界吸收功率，這一點(diǎn)吻合客觀實(shí)際。如果是電源向電路中供電，電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電壓與電流的乘積是負(fù)，表示電源向外界發(fā)出功率。電路分析過程中，電壓與電流等的正負(fù)取值要參考電壓/電流的參考方向以及列等式時(shí)所關(guān)聯(lián)到的其他方向（包括繞行方向、流進(jìn)方向）等等進(jìn)行正負(fù)取值。正負(fù)號取值的作用是“統(tǒng)一”，原則是“同正異負(fù)”。欲取對正負(fù)號，必須搞清楚等式兩邊是什么樣的求和屬性，正負(fù)取值的作用是將屬性不一樣的項(xiàng)通過取負(fù)號，變成屬性相同的項(xiàng)，參與求和中去。

3.方向與正負(fù)的演變與實(shí)施

3.1 基爾霍夫定律與歐姆定理的一致性

要快速的列寫電路方程還要進(jìn)一步掌握基爾霍夫定律和歐姆定律之間的關(guān)系。實(shí)際上，歐姆定律與基爾霍夫定律是統(tǒng)一的，這一點(diǎn)可以將簡單電路中的處處視為節(jié)點(diǎn)或者在任意回路中驗(yàn)證。如圖1所示，根據(jù)基爾霍夫回路定律，很容易得到端電壓和電路中電流的關(guān)系，取順時(shí)針繞行方向，有ΣU=0，故有：

一致。很多人，習(xí)慣了基爾霍夫定律的表達(dá)式（4）以后，便對歐姆定律的表達(dá)式（5）感到陌生。實(shí)際上，歐姆定律支路電流的表達(dá)式是電源電壓扣除端電壓后通過電阻R1上形成的電流。對于（5）式還有一個(gè)直接的理解就是，在圖1所示的電路中，電源US要對產(chǎn)生參考方向如圖的電流I形成正的貢獻(xiàn)，US的正極處可以理解為發(fā)射正電荷的一端，而端電壓U0要對產(chǎn)生參考方向如圖的電流I形成負(fù)的貢獻(xiàn)，U0的正極同樣可以視為發(fā)射正電荷的一端，U0要通過端點(diǎn)a向支路中注入電流，其方向與參考電流方向相反故而取負(fù)。這一理解在節(jié)點(diǎn)電壓法中要貫徹實(shí)施。

3.2 支路電流法和回路電流法中的正負(fù)號演變與實(shí)施

有了如上關(guān)于方向和正負(fù)的認(rèn)識，就可以對基于基爾霍夫定律的各種電路分析方法進(jìn)行方向和正負(fù)的辨識。支路電流法的方向與正負(fù)確定可以參考圖2所示，圖2是一個(gè)包含很多支路的網(wǎng)絡(luò)。在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處，采用一分法以電流流進(jìn)為正，可以直接列寫各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的電流方程。而在圖中所示回路中，沿著虛線方向巡行一周，將在巡行方向上由電阻產(chǎn)生的電壓降和由電源所產(chǎn)生的電壓降求和，其結(jié)果為零。這里要注意的是，電路中有一條支路包含電流源IS，容易忽略的是恒流源兩端的電壓降，列寫方程時(shí)要特別注意。

回路電流法和網(wǎng)孔電流法本質(zhì)一致，回路電流法更加靈活，下面對回路電流法進(jìn)行討論。回路電流天然地滿足了基爾霍夫電流定律約束，只要補(bǔ)充回路中的電壓約束。如圖3所示，在虛線所示的回路中，沿著順時(shí)針方向?qū)⑺杏呻娮璁a(chǎn)生的電壓降求和，應(yīng)等于沿著逆時(shí)針方向所有電源產(chǎn)生的電壓降（或者順時(shí)針電源電壓升）（對應(yīng)于電壓定律二分法表達(dá)）。這里要注意相鄰回路中的回路電流也在共同支路上的疊加效應(yīng)，故而真正的電壓降必須考慮相鄰回路的回路電流通過各個(gè)共同支路耦合進(jìn)來的量，這種耦合關(guān)系，在電路教科書上稱為互阻?；プ璧恼?fù)取值要看耦合的回路電流與所考查的回路電流在耦合支路處的一致性來確定。如果不同的回路電流在耦合支路處方向相同，取正，否則取負(fù)（原則相同，依然是同正異負(fù)）。這里，對于圖3所示意的電路結(jié)構(gòu)， R1 R2 R3所關(guān)聯(lián)的外回路電流il1il2il3與內(nèi)回路電流il0方向在互阻所在處相反，故而取負(fù)，參與到等式左端的電阻在順時(shí)針方向上的電壓降求和。

值得注意的是，由于有無伴恒流源的存在，回路電流經(jīng)過電流源也會(huì)產(chǎn)生電壓降，但是這個(gè)電壓是未知的，因此，列寫方程時(shí)要假設(shè)出來，如圖3， IS2上的電壓設(shè)為US2，放到等式的右端，由于這個(gè)電壓與等式右邊所暗示的逆時(shí)針方向上的電源電壓降一致，故而取正，這也是較容易想到的。至于受控電壓源提供的電壓ai取負(fù)，那是因?yàn)槠湓诘仁接叶藚⑴c求和，求和屬性依然是逆時(shí)針方向的電壓降，因而取負(fù)。整個(gè)等式在圖3中表示了出來，與我們前面的分析一致。

3.3節(jié)點(diǎn)電壓法中的正負(fù)號演變與實(shí)施

節(jié)點(diǎn)電壓法直接基于歐姆定律的概念，而又借助于基爾霍夫電流定律而直接導(dǎo)出。其核心思想是，假如電路中各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)電壓（在規(guī)定了參考點(diǎn)的電位以后便是節(jié)點(diǎn)電位了）已知，那么就可導(dǎo)出各支路電流，因?yàn)樗^支路便是節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間沒有分叉的部分，節(jié)點(diǎn)電壓已知了，自然能寫出各個(gè)支路的電流。圖4給出了包含各種電路元件的支路結(jié)構(gòu)，包含純電阻，電流源，電壓源，無伴電壓源，受控電壓源、電流源以及無伴受控源等等。下面討論各個(gè)支路的電流，最終給出節(jié)點(diǎn)電壓方程的通式。

假定圖4中各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的電壓un1-un9已知，考查從圖4節(jié)點(diǎn)①處流出的電流，設(shè)定電流的參考方向都是從節(jié)點(diǎn)①出發(fā)，流向別處。針對圖4的各種情況有，

圖中節(jié)點(diǎn)①通過US3虛線連到地，這只是表示一種可能的情況，如果這樣，節(jié)點(diǎn)①的電位就已知了，就是US3，就不再有列寫節(jié)點(diǎn)①處方程的必要了。因此，圖4中不包含這個(gè)連到地的無伴恒壓源，但是卻包含一個(gè)連到節(jié)點(diǎn)⑨的無伴電壓源US4，這時(shí)要假設(shè)其中的電流為iUS4，因此從節(jié)點(diǎn)①流出的電流就是

可以檢查上式右邊是13條含有電源的支路由電源所形成的電流，都是向節(jié)點(diǎn)①流進(jìn)的電流，因此是流進(jìn)節(jié)點(diǎn)電流的總和。因此，節(jié)點(diǎn)電壓法可以理解為由于節(jié)點(diǎn)電壓的存在向節(jié)點(diǎn)發(fā)出去的電流之和等于由于電源的存在而向節(jié)點(diǎn)灌進(jìn)去的電流之和，這個(gè)方向問題基本上就保證了各項(xiàng)取值正負(fù)的理解。方程左端在考慮節(jié)點(diǎn)①的電流時(shí)要減去其他溝通節(jié)點(diǎn)②⑤⑥所產(chǎn)生的電流擠壓效應(yīng)，因?yàn)槠渌?jié)點(diǎn)的作用相對于節(jié)點(diǎn)①也是“灌進(jìn)電流”，而等式左邊都是從節(jié)點(diǎn)①流出去的電流，因此其他節(jié)點(diǎn)電位所形成的電流前面要取負(fù)是自然的事情。這樣就可以徹底理解由節(jié)點(diǎn)電壓法得到的等式（13），其他節(jié)點(diǎn)分析可以參照給出。

4.總結(jié)

電路分析的基本理論是基爾霍夫定律，由此導(dǎo)出的各種方法，包括支路電流法，回路電流法，網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法等是電路分析的基本方法。靈活掌握這些分析方法，關(guān)鍵是結(jié)合電路中電壓電流的參考方向，給出包含正負(fù)號的方程。知道如上方法所對應(yīng)的背后物理意義上的二分法或一分法準(zhǔn)則，就可通過正負(fù)號來統(tǒng)一求和屬性，正確獲取各項(xiàng)代數(shù)求和的加減關(guān)系，最終得到正確的結(jié)果。本文給出的三個(gè)電路分析結(jié)構(gòu)示意圖有助于正確理解上述方法，有效地辨識電路分析過程中的方向與正負(fù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳大中，趙遠(yuǎn)東，盛毅.電路理論與實(shí)踐.北京：清華大學(xué)出版社，2013

[2]李春彪.電路電工基礎(chǔ)與實(shí)訓(xùn)（第二版）.北京：北京大學(xué)出版社，2009

[3]秦曾煌.電工學(xué)（第七版）.北京：高等教育出版社，2010

[4]邱關(guān)源.電路（第五版）.北京：高等教育出版社，2006

[5]李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，2002

[6]包伯成，喬曉華.工程電路分析基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，2013

[7]李春彪.精品課程《電路電工基礎(chǔ)與實(shí)訓(xùn)》建設(shè)芻議.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2007，7（31）

[8]李春彪.電路電工課程教學(xué)模式探索.江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，20（2）

[9]李春彪.“電工學(xué)”課程教學(xué)中的四個(gè)有力杠桿.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)， 2005，27（4）