概率統(tǒng)計(jì)中“伽馬分布”的教學(xué)研究及探討

張艷，周圣武，韓苗，索新麗

摘要：討論了伽馬分布的性質(zhì)，給出伽馬分布的三個(gè)特例及中心極限定理形式，并利用極限分布，得到n充分大時(shí)x2（n）分布和n階愛爾朗分布的上α分位點(diǎn)的近似計(jì)算公式.最后，應(yīng)用伽馬分布給出了指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間并給出了應(yīng)用實(shí)例。

關(guān)鍵詞：伽馬分布；性質(zhì)；極限分布；上分位數(shù)

中圖分類號(hào)：O211.1？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）02-0057-02

一、引言

伽馬分布是概率統(tǒng)計(jì)中一類重要的分布，它和指數(shù)分布、x2分布、愛爾朗（Erlang）分布等一些常見的重要分布都有著密切的聯(lián)系。張永利[1]通過伽馬分布的可加性得到了構(gòu)造卡方分布和均勻分布的方法，本文將通過對(duì)伽馬分布的特征函數(shù)進(jìn)行研究，從特征函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)伽馬分布關(guān)于尺度參數(shù)的可加性，研究伽馬分布及其三個(gè)特例的數(shù)字特征，以及強(qiáng)度為λ的泊松流的第n個(gè)事件出現(xiàn)時(shí)所需要時(shí)間長度的分布問題，應(yīng)用伽馬分布推導(dǎo)指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)形式，并給出應(yīng)用實(shí)例。

定義1.1[2] 若隨機(jī)變量X具有概率密度

f（x）=■xα-1e-βx x>0，0 x≤0.

其中α>0，β>0，則稱X服從參數(shù)為α，β的伽馬（Gamma）分布，記為X～？祝（α，β）；α稱為形狀參數(shù)，β稱為尺度參數(shù)；？祝（α）=■xxα-1e-xdx為？祝函數(shù)，伽馬分布因此而得名。？祝函數(shù)具有以下基本性質(zhì)[1]：？祝（α+1）=α？祝（α），？祝（1）=1，？?！?■，特別，當(dāng)對(duì)于n取自然數(shù)，有？祝（n）=（n-1）！.

伽馬分布的概率密度f（x）是單峰函數(shù)，當(dāng)α>1時(shí)，f（x） 在x=（α-1）/β處達(dá)到最大值，在α<1時(shí)，縱軸為f（x）的漸近線。

二、伽馬分布的特例

設(shè)X～？祝（α，β），當(dāng)α，β取某些特殊值時(shí)，伽馬分布可變?yōu)橐恍┏Ｒ姷姆植?

（1）當(dāng)α=1，β=λ時(shí)，即X～？祝（1，λ），由？祝（1）=1可知 X的概率密度為

f（x）=λe-λx x>0，0 x≤0.

表明X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，可見指數(shù)分布是伽馬分布的一個(gè)特例。

（2）當(dāng)α=■，β=■時(shí)，即X～？?！?，■，X的概率密度為f（x）=■x■e■ x>0，0 x≤0.

這也是自由度為n的x2分布隨機(jī)變量的概率密度，所以 X～x2（n），由此可見x2分布也是伽馬分布的一個(gè)特例。

（3）當(dāng)α=n，β=λ時(shí)，即？祝（n，λ），由？祝（n）=（n-1）！可得

f（x）=■x■e■■ x>0，0 x≤0.

此分布稱為參數(shù)為n和λ的愛爾朗（Erlang）分布[4]。愛爾朗分布被廣泛應(yīng)用于排隊(duì)論與可靠性理論中，它描述了強(qiáng)度為λ的泊松流的第n個(gè)事件出現(xiàn)時(shí)所需要時(shí)間長度的分布。愛爾朗分布是伽馬分布的一個(gè)特例，而指數(shù)分布又是愛爾朗分布的一個(gè)特例，階數(shù)n=1的愛爾朗分布即為指數(shù)分布。

三、伽馬分布的基本性質(zhì)

命題3.1 設(shè)隨機(jī)變量X～？祝（α，β），則X的特征函數(shù) φ（t）為φ（t）=1-■■.

證 X的特征函數(shù)φ（t）為：φ（t）=E（eitX）=■eitxf（x）dx=■■xα-1e-（β-it）xdx，令（β-it）x=u，則上式化為

φ（t）=■■■■uα-1e-udu=■■■？祝（α）=1-■■

命題3.2 伽馬分布具有可加性，即若隨機(jī)變量X～？祝（α1，β），Y～？祝（α2，β），且相互獨(dú)立，則X+Y～？祝（α1+α2，β）.

利用伽馬分布的特征函數(shù)證明可加性非常方便。

證 由特征函數(shù)的性質(zhì)可知，X+Y，Y與X的特征函數(shù)滿足φX+Y（t）=φX（t）φY（t），

由命題3.1可得，可以得到X+Y的特征函數(shù)為

φX+Y（t）=1-■■1-■■=1-■■1-■■

具有這種形式的特征函數(shù)的隨機(jī)變量服從參數(shù)為α1+α2，β的伽馬分布，故X+Y～？祝（α1+α2，β）.

由命題3.2知，兩個(gè)具有相同尺度參數(shù)的相互獨(dú)立伽馬變量之和仍服從伽馬分布，即伽馬分布關(guān)于形狀參數(shù)具有可加性.此可加性對(duì)有限個(gè)具有相同尺度參數(shù)的相互獨(dú)立的伽馬分布變量的情形也是成立的。

命題3.3 具有參數(shù)為n和λ的愛爾朗分布的隨機(jī)變量可以分解為n個(gè)相互獨(dú)立的具有相同參數(shù)λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和。

證 設(shè)X1，X2，Λ，Xn相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.由指數(shù)分布與伽馬分布的關(guān)系可知Xt～？祝（1，λ）（i=1，2，L，n），再由命題3.2 可得

X1+X2+L+Xn～？祝（n，λ），

即？祝（n，λ）分布可以分解為n個(gè)相互獨(dú)立的分布參數(shù)為 λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和。

命題3.4 設(shè)X～？祝（α，β），則

E（xk）=■.

證 X的特征函數(shù)為φ（t）=1-■■，所以X的k階矩為

由命題3.4可知，若X～？祝（α，β），E（X）=α/β，E（X2）=α（α+1）/β2，由此可得X的方差為D（X）=α/β2.特別對(duì)于伽馬分布的三個(gè)特例有以下結(jié)論：

命題3.5 ①若X～？祝（1，λ），則E=（X）=■，D（X）=■；

②若X服從自由度為n的x2分布，即X～？祝（■，■），則 E（X）=n，D（X）=2n；

③若X～？祝（n，λ），則E（X）=■，D（X）=■.

四、極限定理

命題4.1 若Yn～？祝（nα，β），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

■P■≤x=■■e■dt=Φ（x）

證 由于Yn可看成是n個(gè)相互獨(dú)立、服從同一？祝（α，β）分布的隨機(jī)變量X1，X2，Λ，Xn之和，即有Yn=■X■，且EXi=α/β，DXi=α/β2，i=1，2，L，n應(yīng)用獨(dú)立同分布的中心極限定理[2，3]有endprint

■P■≤x=■P■≤x=■■e■dt=Φ（x）.

當(dāng)n充分大時(shí)，近似地有：Yn～N（nα/β，nα/β2）.

對(duì)于卡方分布和愛爾朗分布，當(dāng)n充分大時(shí)，利用命題4.1的極限定理，可以近似得到這兩種分布的上分位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分?jǐn)?shù)的關(guān)系，證明省略。

命題4.2 設(shè)x2α、？祝α（n，λ）、zα分別為卡方分布、愛爾朗分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)，則當(dāng)n充分大時(shí)，有 x2α（n）≈n+■zα，？祝α（n）≈■.

五、應(yīng)用

命題5.1 設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，X的樣本為X1，X2，Λ，Xn則

①參數(shù)λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■，

②指數(shù)分布均值的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■.

證 ①X～E（λ），注意到X～？祝（1，λ），則由命題3.3知：Y=nX=■Xi-？祝（n），其概率密度為fY（y）=■y■e■，y>00， y≤0，令Z=2λY=2nλX，則Z的概率密度為fZ（Z）=■fY■z=■e■■，z>00， z≤0=■e■■，z>00， z≤0 所以Z=2nλX～x2（2n），對(duì)于給定的置信水平1-α，由P{x■■（2n）<2nλX

②指數(shù)分布的均值■的置信水平為1-α的置信區(qū)間：■，■.

例5.1 某電子元件的使用壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，現(xiàn)從一批這種電子元件中隨機(jī)抽取72只進(jìn)行測試，算得平均壽命為x=2580h，求這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間。

解：樣本容量n=72，α=1-0.95=0.05，應(yīng)用x2（2n）分布的上α分位點(diǎn)的近似公式x■■（2n）≈2n+■zα/2，可得x■■（144）≈177.26，x■■（144）≈110.74，

所以這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為■，■≈■，■=（2095.88，3354.96）

注意：樣本比較大時(shí)，也可依據(jù)極限定理，用正態(tài)分布對(duì)大樣本均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，對(duì)于參數(shù)為1/λ的指數(shù)分布，指數(shù)分布均值1/λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間近似地為：■，■，對(duì)于本例，n=72是大樣本，可以用近似方法求平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（2095.88，3354.96）.可見對(duì)于大樣本，兩種方法求得置信區(qū)間幾乎相同，但如果樣本容量較小，用前者給出的置信區(qū)間去做估計(jì)效果比較好。

參考文獻(xiàn)：

[1]張永利.關(guān)于伽馬分布及相關(guān)分布性質(zhì)的一點(diǎn)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012.3：135-140.

[2]周圣武，李金玉，周長新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2007：105，127-138.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：147-153.

[4][美]Sheldon M.Ross著，鄭忠國，詹從贊譯.概率論基礎(chǔ)教程（第8版）[M].北京：人民郵電出版社，2010：174-180.

■P■≤x=■P■≤x=■■e■dt=Φ（x）.

當(dāng)n充分大時(shí)，近似地有：Yn～N（nα/β，nα/β2）.

對(duì)于卡方分布和愛爾朗分布，當(dāng)n充分大時(shí)，利用命題4.1的極限定理，可以近似得到這兩種分布的上分位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分?jǐn)?shù)的關(guān)系，證明省略。

命題4.2 設(shè)x2α、？祝α（n，λ）、zα分別為卡方分布、愛爾朗分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)，則當(dāng)n充分大時(shí)，有 x2α（n）≈n+■zα，？祝α（n）≈■.

五、應(yīng)用

命題5.1 設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，X的樣本為X1，X2，Λ，Xn則

①參數(shù)λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■，

②指數(shù)分布均值的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■.

證 ①X～E（λ），注意到X～？祝（1，λ），則由命題3.3知：Y=nX=■Xi-？祝（n），其概率密度為fY（y）=■y■e■，y>00， y≤0，令Z=2λY=2nλX，則Z的概率密度為fZ（Z）=■fY■z=■e■■，z>00， z≤0=■e■■，z>00， z≤0 所以Z=2nλX～x2（2n），對(duì)于給定的置信水平1-α，由P{x■■（2n）<2nλX

②指數(shù)分布的均值■的置信水平為1-α的置信區(qū)間：■，■.

例5.1 某電子元件的使用壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，現(xiàn)從一批這種電子元件中隨機(jī)抽取72只進(jìn)行測試，算得平均壽命為x=2580h，求這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間。

解：樣本容量n=72，α=1-0.95=0.05，應(yīng)用x2（2n）分布的上α分位點(diǎn)的近似公式x■■（2n）≈2n+■zα/2，可得x■■（144）≈177.26，x■■（144）≈110.74，

所以這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為■，■≈■，■=（2095.88，3354.96）

注意：樣本比較大時(shí)，也可依據(jù)極限定理，用正態(tài)分布對(duì)大樣本均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，對(duì)于參數(shù)為1/λ的指數(shù)分布，指數(shù)分布均值1/λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間近似地為：■，■，對(duì)于本例，n=72是大樣本，可以用近似方法求平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（2095.88，3354.96）.可見對(duì)于大樣本，兩種方法求得置信區(qū)間幾乎相同，但如果樣本容量較小，用前者給出的置信區(qū)間去做估計(jì)效果比較好。

參考文獻(xiàn)：

[1]張永利.關(guān)于伽馬分布及相關(guān)分布性質(zhì)的一點(diǎn)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012.3：135-140.

[2]周圣武，李金玉，周長新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2007：105，127-138.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：147-153.

[4][美]Sheldon M.Ross著，鄭忠國，詹從贊譯.概率論基礎(chǔ)教程（第8版）[M].北京：人民郵電出版社，2010：174-180.

■P■≤x=■P■≤x=■■e■dt=Φ（x）.

當(dāng)n充分大時(shí)，近似地有：Yn～N（nα/β，nα/β2）.

對(duì)于卡方分布和愛爾朗分布，當(dāng)n充分大時(shí)，利用命題4.1的極限定理，可以近似得到這兩種分布的上分位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分?jǐn)?shù)的關(guān)系，證明省略。

命題4.2 設(shè)x2α、？祝α（n，λ）、zα分別為卡方分布、愛爾朗分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)，則當(dāng)n充分大時(shí)，有 x2α（n）≈n+■zα，？祝α（n）≈■.

五、應(yīng)用

命題5.1 設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，X的樣本為X1，X2，Λ，Xn則

①參數(shù)λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■，

②指數(shù)分布均值的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：■，■.

證 ①X～E（λ），注意到X～？祝（1，λ），則由命題3.3知：Y=nX=■Xi-？祝（n），其概率密度為fY（y）=■y■e■，y>00， y≤0，令Z=2λY=2nλX，則Z的概率密度為fZ（Z）=■fY■z=■e■■，z>00， z≤0=■e■■，z>00， z≤0 所以Z=2nλX～x2（2n），對(duì)于給定的置信水平1-α，由P{x■■（2n）<2nλX

②指數(shù)分布的均值■的置信水平為1-α的置信區(qū)間：■，■.

例5.1 某電子元件的使用壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，現(xiàn)從一批這種電子元件中隨機(jī)抽取72只進(jìn)行測試，算得平均壽命為x=2580h，求這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間。

解：樣本容量n=72，α=1-0.95=0.05，應(yīng)用x2（2n）分布的上α分位點(diǎn)的近似公式x■■（2n）≈2n+■zα/2，可得x■■（144）≈177.26，x■■（144）≈110.74，

所以這批電子元件的平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為■，■≈■，■=（2095.88，3354.96）

注意：樣本比較大時(shí)，也可依據(jù)極限定理，用正態(tài)分布對(duì)大樣本均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，對(duì)于參數(shù)為1/λ的指數(shù)分布，指數(shù)分布均值1/λ的置信水平為1-α的置信區(qū)間近似地為：■，■，對(duì)于本例，n=72是大樣本，可以用近似方法求平均使用壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（2095.88，3354.96）.可見對(duì)于大樣本，兩種方法求得置信區(qū)間幾乎相同，但如果樣本容量較小，用前者給出的置信區(qū)間去做估計(jì)效果比較好。

參考文獻(xiàn)：

[1]張永利.關(guān)于伽馬分布及相關(guān)分布性質(zhì)的一點(diǎn)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012.3：135-140.

[2]周圣武，李金玉，周長新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2007：105，127-138.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：147-153.

[4][美]Sheldon M.Ross著，鄭忠國，詹從贊譯.概率論基礎(chǔ)教程（第8版）[M].北京：人民郵電出版社，2010：174-180.