時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether理論*

祖啟航，朱建青

(蘇州科技大學數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009)

時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether理論*

祖啟航，朱建青

(蘇州科技大學數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009)

研究了時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether理論。根據時間尺度上的微積分理論和Delta導數(shù)與Nabla導數(shù)之間關系，建立了時間尺度上Nabla導數(shù)的非完整Lagrange方程。根據時間尺度上Nabla變分問題的Hamilton作用量在無限小變換下的變換性質，建立了Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether等式，并找到了相應的守恒量。最后，舉例說明結果的應用。

時間尺度；Nabla變分；非完整系統(tǒng)；Noether等式；守恒量

1988年德國學者Hilger[1]在他的博士論文中提出時間尺度的微積分理論，其主要目的是把連續(xù)和離散進行統(tǒng)一[2-3]。然而時間尺度上的微積分定理并不是唯一的，一般有兩種方法：一種是針對前跳算子定義的Delta微積分理論，另一種是針對后跳算子定義的Nabla微積分理論[4]。對Delta變分問題的研究已經取得了許多成果[5-10]。事實上在求解最優(yōu)化控制、經濟學模型等領域利用Nabla微積分求解更為方便[11]。2001年，Atici和Guseinov[4]給出了Nabla微積分理論。隨后，Martins和Torres[12]進一步研究了Nabla微積分理論，并將理論推廣到高階系統(tǒng)。Caputo[13]定義了對偶時間尺度，研究了Delta導數(shù)和Nabla導數(shù)之間的變換關系，進一步給出了Nabla導數(shù)的Euler-Lagrange函數(shù)。為了研究不同算子在對應不同導數(shù)情況下的關系，Bourdin[14]對前跳算子在Nabla導數(shù)情況下進行了探討，建立了求導法則，并進一步給出了混合導數(shù)的Euler-Lagrange函數(shù)。

對稱性與守恒量是分析力學研究的一個重要方面。盡管在約束力學系統(tǒng)的對稱性與守恒量方面的研究已經取得了一系列重要成果[15-26]。但對于時間尺度上Nabla變分問題的對稱性與守恒量的研究還很少。Martins和Torres利用Delta微積分和Nabla微積分理論之間關系，通過Delta變分問題的完整力學系統(tǒng)的Noether定理[22]，給出了Nabla導數(shù)的完整力學系統(tǒng)的對稱性，并找到相應的守恒量[27]。本文基于時間尺度的微積分理論，以及Delta導數(shù)和Nabla導數(shù)之間的交換關系，根據時間尺度上Delta變分問題的非完整Lagrange方程，建立了時間尺度上Nabla變分問題的非完整Lagrange方程，結合時間尺度上Delta變分問題的Lagrange系統(tǒng)的Noether相關定理，建立了時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether等式，并找到相應的Noether守恒量。文末，舉例說明相關結論的應用。

1 時間尺度上的微積分理論

時間尺度上Delta (Δ)微積分理論詳見文獻[9]。文章重點介紹Nabla(▽)微積分理論。

后跳算子ρ為

定義2 若σ(t)>t，則稱t為右離散；若σ(t)=t，則稱t為右稠密；若ρ(t)

引理1 如果函數(shù)f在點t處是Δ可微的，那么fσ(t)=f(t)+μ(t)fΔ(t)。

引理2 如果函數(shù)f在點t處是▽可微的，那么fρ(t)=f(t)-ν(t)f▽(t)。

([a,b])*=[-b,a],

函數(shù)f是右稠連續(xù)(左稠連續(xù))當且僅當對偶函數(shù)f*是左稠連續(xù)(右稠連續(xù))；

(f▽)*(-t)=-(f*

如果函數(shù)f:[a,b]→是右稠連續(xù)，則；如果函數(shù)f:[a,b]→是左稠連續(xù)，則▽

一般情況下，對于函數(shù)的Δ和▽導數(shù)具有相同的表達形式，如和函數(shù)、積函數(shù)等，具體證明過程見文獻[12]。Δ導數(shù)與等時變分之間的交換關系[23]，

δqΔ=(δq)Δ,δqσ=(δq)σ

同樣易得▽導數(shù)與等時變分交換關系：

δq▽=(δq)▽,δqρ=(δq)ρ

上式可稱為▽導數(shù)與非等時變分間的交換關系。

2 時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的微分方程

首先考慮由Bohner定義的時間尺度上的基本變分問題[5]

hs(a)=A,hs(b)=B(s=1,…,n)

(1)

再考慮▽導數(shù)形式的基本變分問題

▽t→min,

qs(c)=C,qs(d)=D(s=1,…,n)

(2)

假設時間尺度上動力學系統(tǒng)的運動受g個雙面理想Chetaev型非完整約束

(s=1,…,n;β=1,…,g)

(3)

(4)

式中?if表示函數(shù)f關于第i個變量的偏導數(shù)。則稱(4)式為帶有▽導數(shù)的Chetaev條件。

在基本變分問題(1)下，已知時間尺度上Delta變分問題的非完整力學系統(tǒng)的微分方程為[23]

(s,k=1,…,n)

(5)

根據引理3和定義8可得如下引理。

假設qs是基本變分問題(2)的局部最小值，則根據引理4有

η(-c)=C,η(-d)=D

(6)

(7)

根據對偶時間尺度的等式關系

?3L*(t,w,v)=-?3L(-t,w,-v),

?2L*(t,w,v)=?2L(-t,w,-v)

(8)

易得

(9)

根據引理3的基本公式，可得

(10)

(11)

(s,k=1,…,n;β=1,…,g)

(12)

其中

(13)

則稱方程(12)與時間尺度上非完整系統(tǒng)(3),(11)相應的時間尺度上完整系統(tǒng)的運動方程。

3 時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether定理

▽t

(14)

引入時間和廣義坐標的無線小變換

(15)

這里ε為無限小參數(shù)，τ,ξs為無限小變換的生成函數(shù)。τ:[ta,tb]×n，ξs:[ta,tb]×n是▽可微函數(shù)。假設對任意qs∈V和ε，映射t∈[ta,tb]α(t):=T(t,qs,ε)∈是左稠連續(xù)的函數(shù)，而且它是在新的時間尺度上帶有后跳算子和導數(shù)的一個象。

▽t=

(16)

τ

(17)

其中

τρ(t,qk(t)) =τ(ρ(t),qk(ρ(t))),

τ

證明 根據引理4，▽導數(shù)形式的作用量方程(14)為

I*[ys(·)]=

(18)

(19)

(20)

(21)

利用Δ和▽導數(shù)之間的關系，有如下等式

(22)

利用(9)式，并將(22)式代入(21)式中，得

(23)

(24)

則證得定理1。(17)可稱為時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether等式。

定理2 如果泛函I是定義10下的廣義準對稱不變量，那么有守恒量

(25)

(26)

由(9)和(22)式，上式可進一步得

(27)

令x∈[ta,tb]k?[a,b]k,x=-t，則上式為

(28)

得到守恒量(25)。定理證得。

(25)式可稱為時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的守恒量。

由以上定理可得如下推論

(29)

根據定理2，可得經典的非完整非保守系統(tǒng)的守恒量[29]

(30)

4 算 例

定義時間尺度

已知二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(31)

所受的非完整約束為

(32)

由運動微分方程(11)給出

(33)

由(32)和(33)可得

(34)

由(32)式、(33)和(34)式求得

(35)

根據(17)式和(4)式，可得

(36)

(37)

對(36)式和(37)式進行求解

(38)

所以根據定理2，可得到守恒量

(39)

5 結 論

時間尺度將離散和連續(xù)進行了統(tǒng)一，其微積分有多種表達形式，如Δ型、▽型、α型[6]以及◇混合型等[30],本文主要研究前兩個。雖然Δ導數(shù)與▽導數(shù)，在形式上有諸多相似之處，但在實際計算中兩者又有不同。本文根據對偶時間尺度，利用二者之間的等式關系，建立了▽導數(shù)的非完整力學系統(tǒng)的Lagrange微分方程。根據時間尺度上無限小變換下的廣義準對稱不變量，得到了時間尺度上Nabla變分問題的非完整力學系統(tǒng)的Noether等式和守恒量，并討論了在取特殊條件時，得到相應的經典力學中Noether定理。文章是對時間尺度上Nabla變分問題在分析力學中的應用進行了研究，可進一步拓展到其它力學系統(tǒng)。本文只是研究了▽導數(shù)力學系統(tǒng)的Noether理論，從形式上也是一種特殊情況，文章可進一步研究更為一般情況的表達形式，如◇混合型等力學系統(tǒng)的Noether理論。

致謝：對張毅教授的悉心指導深表感謝！

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Noether theorem for nonholonomic mechanical systems of Nabla variational problem on time scales

ZUQihang,ZHUJianqing

(College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China)

The Noether theorem for nonholonomic mechanical systems of Nabla variational problem on time scales is studied. Firstly, based on the relationship between the Delta calculus and the Nabla calculus on time scales and the theory of time scale, the nonholonomic Lagrange equation for Nabla variational problem on time scales is established. Secondly, according to invariance of the Hamilton action under the infinitesimal transformation of Nabla variational problem on time scales, the Noether identity for nonholonomic mechanical systems is established, and the corresponding Noether conserved quantity is obtained. Finally, an example is presented to illustrate the application of the results.

time scales; Nabla variation; nonholonomic systems; Noether identity；conserved quantity

2016-04-10 基金項目：國家自然科學基金(11572212);蘇州科技大學研究生科研創(chuàng)新計劃(SKCX15_061)

祖啟航(1991年生)，男，研究方向：力學中的數(shù)學方法;E-mail：zqhusts@163.con

朱建青(1962年生)，男， 研究方向：應用數(shù)學;E-mail：zjq@mail.usts.edu.cn

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.01.010

O

A

0529-6579(2017)01-0058-08