一類恒成立問題的解題策略探究

貴州省甕安第五中學(xué)(550400) 陳友華●

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一類恒成立問題的解題策略探究

貴州省甕安第五中學(xué)(550400)
陳友華●

高中數(shù)學(xué)中在某些恒成立條件下求參數(shù)取值范圍的問題，可考慮用分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式求解.

恒成立；參數(shù)；取值范圍

恒成立問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及考試中常見的類型，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是歷年高考重點考查和數(shù)學(xué)競賽中的熱點內(nèi)容.它要求學(xué)生具有較強的讀題理解能力，要求學(xué)生全面掌握函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想.涉及恒成立問題的題型語言精煉，解決方法靈活多變，不易把握.但對一類在一定條件下恒成立需求其參數(shù)取值范圍的問題，若能將參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為其它數(shù)學(xué)問題求解，就會化繁為簡，化難為易.由于“分離參數(shù)法”因其思路明確，容易理解，易于掌握，成為解決某些恒成立條件求參數(shù)的最佳方法，下面僅就這類恒成立問題進行剖析.

一、方程恒有解問題

“分離參數(shù)法”的基本思路是源于函數(shù)與方程思想，利用函數(shù)與方程的特殊關(guān)系進行化歸、轉(zhuǎn)換.在含有參數(shù)的方程中，將參數(shù)視為主變量的函數(shù)，若能通過恒等變形，使方程的一邊含有參數(shù)的代數(shù)式，另一邊是只含有主變量的函數(shù)，此時，函數(shù)關(guān)系就明朗化了.只要能夠求出主變量函數(shù)的值域,則參數(shù)的取值范圍就可以轉(zhuǎn)化為不等式問題求解確定了.

例1 關(guān)于x的方程16x+(5 +t)·4x+ 4 = 0恒有解，求實數(shù)t的取值范圍.

例2 設(shè)0≤x≤π，關(guān)于x的方程cos2x+4bsinx+b-2=0恒有兩個不同的解，求b的取值范圍.

分析 原方程可化為：-2sin2x+4bsinx+b-1=0

令t=4sinx+1,∵0≤x≤π，∴1≤t≤5.

二、不等式恒成立問題

在恒成立條件下不等式中參數(shù)的取值范圍問題，因涉及的知識多、范圍廣、綜合性強，對學(xué)生能力要求較髙.如何從題設(shè)條件中篩選出有用信息，借用已有知識結(jié)構(gòu)，展開聯(lián)想，尋找方法,實現(xiàn)突破有一定難度.但如果能將參數(shù)分離出來，建立起明確的關(guān)系式，找到化歸的方向，問題就迎刃而解了.

例3 若{an}是遞增數(shù)列，且對于任意自然數(shù)n，an=n2+λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

解 ∵{an}是遞增數(shù)列，

∴對任意的自然數(shù)n，均有an+1-an>0恒成立,

即2n+1+λ>0.分離參數(shù)，得：

λ>-(2n+1)恒成立.

而-(2n+1)的最大值是-3,從而得：λ>-3.

例4 當(dāng)a為何值時，對區(qū)間[0，3]上的任意實數(shù)x，不等式log(2a2-1)(2x+2)<-1恒成立?

解 對于x∈[0，3]，2x+2>0，下分兩種情況討論：

(2)當(dāng)2a2-1>1，即a2>1時，原不等式可化為：

分離參數(shù)，上不等式組等價于下列不等式組：

三、曲線恒過定點問題

解析幾何中含有參數(shù)的方程的曲線恒過定點問題，主變元與參數(shù)相互交織在一起，學(xué)生往往找不到解決問題的突破口，普遍感到困難.但若將參數(shù)分離出來，問題便可解決了.

例7 已知5m-2n=1，證明直線mx+ny=2恒過定點.

例8 求證：無論m為何值，曲線x2+y2-8mx-4my+40m-25=0恒過定點.

證明 將參數(shù)分離，原方程可化為：x2+y2-25-4m(2x+y+10)=0.

故無論m為何值，曲線恒過定點(3，4)和(5，0).

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