還原三視圖的神奇寶盒

浙江省寧波市慈溪實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(315300) 俞 健●

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還原三視圖的神奇寶盒

浙江省寧波市慈溪實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(315300)
俞 健●

三視圖是新教材引進(jìn)的一個(gè)新內(nèi)容，考查難度在逐年遞增.其中關(guān)鍵的難點(diǎn)在于如何能把三視圖還原成空間幾何體.無(wú)論你如何遠(yuǎn)看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，其實(shí)我們所有的問(wèn)題都可以用一個(gè)萬(wàn)能長(zhǎng)方體解決.

高中數(shù)學(xué);三視圖;還原

首先我們應(yīng)該運(yùn)用逆向思維，從出題者的角度看問(wèn)題.出題者先確定空間幾何體，再畫(huà)出其三視圖，要求考生根據(jù)已給出三視圖，解答問(wèn)題.而出題者所給出的所有空間幾何體都必定是某長(zhǎng)方體中的一部分.通過(guò)不同的割補(bǔ)手法，通常有常規(guī)式、切角式和組合式這三種空間幾何體.

一、常規(guī)式——先定底再定頭(常規(guī)幾何體)

三視圖剛出現(xiàn)的幾年，出題者往往選擇一些“普通”的錐體和柱體，最常見(jiàn)的就是三棱錐、四棱錐.給出一個(gè)最“簡(jiǎn)單”的擺放位置，給出三視圖讓我們還原，我們可以根據(jù)三視圖的長(zhǎng)、高、寬繪制一個(gè)能包住該空間幾何體的長(zhǎng)方體盒子，根據(jù)俯視圖確定底面，再根據(jù)其他兩個(gè)視圖估計(jì)是錐體還是柱體，若是柱體，由俯視圖在長(zhǎng)方體的上表面確定上底面，從而得出結(jié)論；若是錐體，則由俯視圖在長(zhǎng)方體的上底面確定頂點(diǎn).

而最近幾年慢慢出現(xiàn)的變化是“普通”幾何體的“不普通”放法，我們先定的底可能是由側(cè)視圖或正視圖，把“普通”的幾何體“放倒”，其實(shí)解題的策略還是一致的.

例1 若某幾何體的三視圖(如右上圖)所示，則這個(gè)幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)等于____，體積等于____.

變1 根據(jù)右面的這個(gè)多面體的三視圖畫(huà)出其直觀圖

思路分析

點(diǎn)評(píng) 不是所有圖形都是從俯視圖入手的.我們還原“普通”幾何體時(shí)首先要確定的是該幾何體的底，分成下上、左右、前后三類(lèi)，左右和前后的順序可根據(jù)線段的虛實(shí)確定.

二、切角式——長(zhǎng)方體切掉簡(jiǎn)單幾何體

這類(lèi)幾何體往往是從長(zhǎng)方體中切去若干個(gè)“普通”錐體與柱體，剩下一個(gè)不規(guī)則幾何體或者不規(guī)則放置的“普通”幾何體.這類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)，往往讓考生不能根據(jù)某個(gè)底，迅速想像出幾何模型，那我們就要拋棄這個(gè)復(fù)雜的結(jié)果，考慮幾何體形成的過(guò)程，簡(jiǎn)單—簡(jiǎn)單 = 復(fù)雜，回避問(wèn)題的復(fù)雜性.

例2 根據(jù)下面這個(gè)多面體的三視圖畫(huà)出其直觀圖

點(diǎn)評(píng) 其實(shí)在某種情況下，由三視圖得出的直觀圖并不一定唯一,其實(shí)這種圖形的變化也多種多樣，我們?cè)陂L(zhǎng)方體周邊切掉的三棱錐或四棱錐也可以在縮小到原棱長(zhǎng)的一半，三分之一等等，這類(lèi)問(wèn)題的空間幾何體原型是最簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體，而切掉的也是常見(jiàn)的比較簡(jiǎn)單的幾何體，對(duì)考生而言，都是比較熟悉和可以想象的，可這樣：簡(jiǎn)單減去簡(jiǎn)單的過(guò)程之后，剩下的幾何體則是我們?nèi)粘Ｉ詈徒虒W(xué)過(guò)程中不常見(jiàn)的幾何體或者是“懸空”放置的一些幾何體.所以，一旦我們遇到一眼不能快速想像“普通”幾何體的問(wèn)題，往往可以考慮這種切邊角料的思路.

三、混搭式——簡(jiǎn)單幾何體的組合

這類(lèi)幾何體往往是幾種常見(jiàn)的幾何體的一個(gè)組合，直觀性比較強(qiáng)，我們也可以先給這個(gè)幾何體定好包圍在外的長(zhǎng)方體，然后把常見(jiàn)的柱錐臺(tái)組合猜想在一起.

例3 (課本P15練習(xí)2)根據(jù)下面這個(gè)多面體的三視圖畫(huà)出其直觀圖如下圖.

其實(shí)這個(gè)圖形的組合還有很多，比如圓錐與圓柱，圓錐與棱柱，棱錐與圓柱，棱錐與球，圓柱與棱柱等等.出題者一般肯定是在棱柱、棱錐、棱臺(tái)及圓柱、圓錐、圓臺(tái)這6中常規(guī)幾何體中選擇2種或3種進(jìn)行一個(gè)組合，明白出題者的命題方向，那么我們解題就能知己知彼，戰(zhàn)無(wú)不勝.

解決了三視圖的還原問(wèn)題，那么接下來(lái)幾何體的表面積，體積等等問(wèn)題都可以迎刃而解，該問(wèn)題較能體現(xiàn)學(xué)生的空間想象能力和學(xué)生對(duì)空間幾何體的認(rèn)知水平，而突破這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要把所有的問(wèn)題化歸到學(xué)生非常熟悉的生活模型中，所以筆者從一個(gè)萬(wàn)能長(zhǎng)方體入手，把所有幾何體原型都裝入這個(gè)萬(wàn)能盒子中，通過(guò)自下而上(或自左往右、自前往后)、簡(jiǎn)—簡(jiǎn)、簡(jiǎn)+簡(jiǎn)的三種構(gòu)造方式來(lái)考慮問(wèn)題，最后再用長(zhǎng)方體的3個(gè)表面為底，驗(yàn)證構(gòu)造的成功與否.有了這個(gè)長(zhǎng)方體的“依靠”，三視圖問(wèn)題再也不是碰運(yùn)氣，而是有法可依.

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1008-0333(2017)10-0037-02