淺說中考平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的變換問題

戴枝梅

摘 要：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的變換問題，是中考中重要的題型之一，它以平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似等變換為杠桿，以考查學(xué)生動(dòng)手操作、觀察判斷、計(jì)算推理等能力為主線，這類題往往書寫的少但思維量較大，因而，倍受命題者的青睞，教學(xué)中，我們也應(yīng)倍加關(guān)注。下面以近年來中考中的平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的平移、旋轉(zhuǎn)變換問題為例，供教學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：變換；點(diǎn)坐標(biāo)；平移；旋轉(zhuǎn)

古希臘科學(xué)家阿基米德曾說過：“假如給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整個(gè)地球”，這就是杠桿的力量.在平面直角坐標(biāo)系中，若對(duì)圖形施以平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似等變換，我們將在這些變換“杠桿”下撬出一個(gè)個(gè)新的圖形.

1.1以平移變換為杠桿，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

例1 （宿遷）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，2），將其先向右平移4個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到線段A′B，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為______.

答案：A′ （1，-1 ）

一般地，點(diǎn)（a，b）向上（或下、左、右）平移m個(gè)單位后所得點(diǎn)的坐標(biāo)變化如上關(guān)系圖所示。

例2 （南通）在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M（–4，–1）、N（0，1），將線段MN平移后得到線段M ′N ′（點(diǎn)M、N分別平移到點(diǎn)M ′、N ′的位置，如圖1），若點(diǎn)M ′的坐標(biāo)為（ – 2，2），則點(diǎn)N ′的坐標(biāo)為_________.

分析：將線段MN平移到線段 M′N′，這只強(qiáng)調(diào)了平移的起始與終止位置，而隱去了平移的路徑，為了便于表達(dá)平移前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系，我們可選擇左右平移與上下平移來實(shí)現(xiàn).

由于點(diǎn)M ′（–2，2）與M（–4，–1）的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的差分別為2、3個(gè)單位（圖1），因而，點(diǎn)M（–4，–1）可先右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后到點(diǎn)M ′（–2，2）處.點(diǎn)N（0，1）作同步平移，從而得到點(diǎn)點(diǎn)N ′的坐標(biāo)為（2，4）.

1.2 以旋轉(zhuǎn)變換為杠桿，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

1.2.1 中心對(duì)稱變換（即旋轉(zhuǎn)180°變換）

1.2.1.1 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱變換

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)的同名坐標(biāo)互為相反數(shù).

例3 （十堰）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為___________.

答案：點(diǎn)P′（-m，-n）

1.2.1.2關(guān)于非原點(diǎn)中心對(duì)稱變換

例4 （河南）如圖2，將△ABC 繞點(diǎn)C（0，– 1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C′，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）

（A）（– a，– b） （B）（– a，– b – 1）

（C）（– a，b + 1） （D）（– a，– b – 2）

1.2.1.3析解：如圖1，將點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)A′，可以看作以線段AC為對(duì)角線的矩形ADCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到矩形A′D′C′E′（與下文中的旋轉(zhuǎn)90°呼應(yīng)）.

又知AD=A′D′=a，CD=CD′=b+1，因而，OD=b+2.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（– a，– b – 2），選D.

此外，本題還可通過平移，轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱變換進(jìn)行解決.先看下面一般性問題：

如圖3，若點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對(duì)稱，則點(diǎn)A、B、P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間分別存在什么關(guān)系呢？

我們先將A、B、P向下平移b個(gè)單位，再向左平移a個(gè)單位（即將點(diǎn)P平移到原點(diǎn)O處），得A′（x1-a，y1-b）、B′（x2-a，y2-b）.

于是，由A′與B′關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，從而，有

，進(jìn)而 .

應(yīng)用上述結(jié)論，立即可知例3答案為D.

1.2.2 旋轉(zhuǎn)90°變換

1.2.2.1 以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)90°變換

例5 （福州）如圖4，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，3）.畫出矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的矩形OA1B1C1，并直接寫出的坐標(biāo)A1、B1、C1的坐標(biāo).

答案：A1（0，2）、B1（3，2）、C1（0，3）.

本題中的矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，就如同將“2×3”的火柴盒順時(shí)針方向推倒，因而，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1也就容易確定.這為解決“任意一點(diǎn)P繞另一點(diǎn)Q順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”問題提供一種直觀且易于操作的有效方法，即以線段PQ為對(duì)角線構(gòu)造矩形，且矩形邊平行于坐標(biāo)軸或在坐標(biāo)軸上.如例6.

1.2.2.2 以非原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)90°變換

例6 （青島）如圖5，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，那么點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A.（–3，3） B.（3，– 3） C.（– 2，4） D.（1，4）

本題實(shí)質(zhì)上就是將點(diǎn)A繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得A′.于是，構(gòu)造以CA為對(duì)角線的矩形，再將其繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°（如圖5），從而，易得A′坐標(biāo)為（-3，3）.

中考平面直角坐標(biāo)系中的“點(diǎn)的變換”問題的形式是多樣的，且考查的角度不同，難易度也不盡一樣，而且是多數(shù)“點(diǎn)的變換”都是依負(fù)于其它幾何圖形變換而生成的變換。