三維Navier-Stokes方程在Morrey空間的正則性準(zhǔn)則

王玉田,遲美玲，李心亮

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

三維Navier-Stokes方程在Morrey空間的正則性準(zhǔn)則

王玉田,遲美玲，李心亮

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

在三維歐式空間中研究了Navier-Stokes方程弱解的正則性準(zhǔn)則，利用能量估計(jì)的方法以及幾類(lèi)不等式，在Morrey空間中得到了關(guān)于形張變量分量的正則性準(zhǔn)則.

Navier-Stokes方程；正則性準(zhǔn)則；Morrey空間；形張變量分量

(1)

式中u=u(x,t)表示速度場(chǎng)；p=p(x,t)表示壓力項(xiàng)；u0(x)表示給定的初始速度場(chǎng)且在分布意義下滿(mǎn)足·u0=0.

Leray[1]與Hopf[2]證明了：若初值u0∈L2(3),則方程(1) 存在弱解u∈L(0,;L2(3))∩L2(0,;H1(3)),這個(gè)弱解被稱(chēng)為L(zhǎng)eray-Hopf弱解.然而，這個(gè)弱解的正則性和唯一性仍然是具有挑戰(zhàn)性的公開(kāi)問(wèn)題.

Serrin[3]提出了如果弱解u(x,t)滿(mǎn)足u(x,t)∈Lp(0,T;Lq(3)),其中<,，則這個(gè)解滿(mǎn)足u(x,t)∈C((0,T)×R3).

BeiraodaVeiga[4]證明了，如果Leray-Hopf弱解滿(mǎn)足ω(x,t)∈Lp(0,T;Lq(3)),其中<,<,那么u(x,t)在(0,T)上是整體的強(qiáng)解.

在過(guò)去的幾年中，關(guān)于速度場(chǎng)梯度分量的正則性準(zhǔn)則被眾多學(xué)者進(jìn)行了研究[5-11].

Zhou[12]得到了涉及一個(gè)分量的正則性準(zhǔn)則，如果<,則弱解在(0,T)上是光滑解.

在文獻(xiàn)[13]中, 作者得到如下涉及一個(gè)分量的正則性準(zhǔn)則].

本文在這個(gè)方向上進(jìn)行進(jìn)一步的探究，利用能量估計(jì)的方法以及幾類(lèi)不等式，在Morrey空間中得到了關(guān)于形張變量分量的正則性準(zhǔn)則.

定理1 設(shè)T>0，u0∈H1(3)且·u0=0,u(x,t)是方程(1)在[0,T]上的弱解，其中初值為u0. 若

(2)

式中r∈[0,1],j=1,2,3

則弱解u(x,t)在[0,T]×3上是強(qiáng)解.

1 預(yù)備知識(shí)

Morrey空間的定義和性質(zhì)如下：

定義1 若1

引理 1[14]若 0≤r≤1，則有如下不等式

2 定理1的證明

為了證明定理1，首先對(duì)方程的光滑解作一些先驗(yàn)估計(jì).

引理2 設(shè)T>0，u0∈H1(3)，且在分布意義下是方程(1)在[0,T)上的弱解，其中u0是初值. 若速度場(chǎng)梯度滿(mǎn)足條件(2),則有

(3)

由分部積分，可得

(4)

下面逐項(xiàng)估計(jì)(4)式的右邊.

(A) 當(dāng)i=j=3時(shí),

C‖σ33hu‖2‖hu‖2≤

(B) 當(dāng)i=j=k(1,2)時(shí),

(?1u1)(?2u2))dx≤

(C) 當(dāng)i≠j=k(1,2)時(shí),

(D) 當(dāng)(i=k≠j)+(i=j≠k)(1,2)時(shí),

(E) 當(dāng)(3=i≠j)+(3=j≠i)時(shí),

綜合(A)-(E),可得如下不等式,

利用Gronwall不等式，可得

因此，若u滿(mǎn)足條件(2)，則引理2得證.

引理3 若T>0，u0∈H1(3)，且在分布意義下·u=0.假設(shè)是方程(1)在[0,T]上的弱解，且初值為u0.若速度場(chǎng)梯度滿(mǎn)足條件(2), 則有

證明 在空間L2(3) 中，方程(1)兩邊同時(shí)乘上-Δhu，得到

顯然

由引理2的證明可知，只需估計(jì)右式的第二項(xiàng).由分部積分可得

(5)

下面逐項(xiàng)估計(jì)(5)式的右邊.

(A)當(dāng)(i=3≠j)+(j=3)時(shí)

(B) 當(dāng)(i,j≠3)時(shí),

綜合(a),(b)以及引理2的證明過(guò)程，可以得到如下不等式

由Gronwall不等式，得到

因此，若u滿(mǎn)足條件(2)，則引理3得證.

利用強(qiáng)解和弱解的經(jīng)典理論，結(jié)合引理2和引理3，證明了定理1.

[1]LERAYJ.Surlemouvementd’unliquidevisqueuxemplissantl’espace[J].ActaMath,1934,63(1): 193-248.

[2]HOPFE. überdieAnfangswertaufgabefürdiehydrodynamisGrundgleichungen[J].MathNachr, 1950,4(1-6): 213-321.

[3]SERRINJ.OntheinteriorregularityofweaksolutionsoftheNavier-Stokesequations[J].ArchRationMechAnal, 1962,9(1): 187-195.

[4]VEIGA.AnewregularityclassfortheNavier-StokesequationsinRn[J].ChineseAnnMath, 1995,16(4): 407-412.

[5]ZHOUY.OneregularitycriteriaintermsofpressurefortheNavier-StokesequationsinR3[J].MathematischeAnnalen， 2006,328(1):173-192.

[6]CAOCS,TITIES.Globalregularitycriterionforthe3DNavier-Stokesequaitonsinvolvingoneentryofthevelocitygradienttensor[J].ArchRationMechAnal, 2011,202(3): 919-932.

[7]ZHOUY,FANJ.Logarithmicallyimprovedregularitycriteriaforthe3DviscousMHDequations[J].ForumMathematicum,2012,24(4):961-708.

[8]GALAS,RAGUSAM.AnewregularitycriterionfortheNavier-Stokesequationsintermsofthetwocomponentsofthevelocity[J].ElectronicJournalofQualitativeTheoryofDifferentialEquations,2016,26:1-9.

[9]ZHANGZJ.Aremarkontheregularitycriterionforthe3DNavier-Stokesequationsinvolvingthegradientofonevelocitycomponent[J].JMathAnalAppl, 2014,414(1): 472-479.

[10]ZhangH.Anewregularitycritierionforthe3DNavier-Stokesequations[J].JounalofAnhuiUniversity, 2012,36(5): 12-15.

[11] 張輝.三維Navier-Stokes方程的正則性準(zhǔn)則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，29(4)：423-430.

[12]ZHOUY.AnewregularitycriterionforNavier-Stokesequationsintermsofthegradientofonevelocitycomponent[J].MethodsApplAnal, 2002,9(4): 563-578.

[13]ZHOUY,POKOMYM.OnaregularitycritierionfortheNavier-Stokesequationsinvolvinggradientofonevelocitycomponent[J].J.Math.Phys., 2009, 50(12): 767-769.

[14]MachiharaS,OzawaT.InterpolationinequalitiesinBesovspaces[J].Proc.Amer.Math.Soc. ,2002,13(5):1 553-1 556.

(編輯：劉寶江)

A regularity criterion for the 3D Navier-Stokes equations in the Morrey spaces

WANG Yu-tian, CHI Mei-ling, LI Xin-liang

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

The regularity criterion for weak solutions to the 3D Navier-Stokes equations is studied. By the energy method and some inequalities, one regularity criterion in terms of one component of the deformation tensors in Morrey spaces is obtained.

Navier-Stokes equations; regularity criterion; Morrey space; one component of the deformation

2016-09-20

王玉田, 女, 15165339057@163.com

1672-6197(2017)04-0076-03

O

A